Про математику вообще
Оригинал взят у russhatter в Про математику вообще
Вот так выглядит запрос от brasid:
В жизни любого школьника есть момент, когда предмет математика из его жизни исчезает, и возникают вместо него два - "алгебра" и "геометрия". Почему из всех разделов математики изучаются именно эти два, и почему именно в этих программах и объёмах?
Вопрос вызыван смутными воспоминаниями о всё том же курсе "математической логики". Я помню ощущение (очень интересное) слома мозга, точнее слома его алгоритмов, когда на время решения задачи надо было забыть о привычном и действовать непривычно. Там действовали безусловно математические законы, но не те, что в школьных дисциплинах. Т.е. вопрос мог бы звучать: почему в школе мы изучаем алгебру, а не математическую логику, или ещё что-то, о чём я не имею ни малейшего понятия?
* * *
Сразу каюсь: запрос я слегка усёк. В полной формулировке было ещё:
Иначе я так и умру, не узнав, ради чего мне надо было знать, что такое "косинус", "парабола" и "интеграл" (причём я этого уже разумеется не помню).
... и я, пожалуй, не хочу просветлять тут уважаемого brasid, может, оно и ничего страшного, что так сложилось.
И если кто-то боится косинусов и логарифмов: ниже не содержится никаких таких ужасов. Входите безбоязненно. Ужасы, конечно, есть, но все слова, надеюсь, понятные, человеческие...
* * *
...Но на остальное - отвечаю.
Алгебра и геометрия - это два "языка", на сопряжении которых работает математика. Именно на сопряжении: алгебра едет далеко, порождает много, но довольно бессмысленного; геометрия обладает коротким действием, это в определённом роде интуиция, но пока какой-то аналог её не начинает работать там, куда "приехали" - неясно, куда мы приехали. Поэтому в школе учат именно алгебру и именно геометрию. Со временем в нашем социальном мире геометрия сдаёт, и это сильно огорчает.
Здесь, пожалуй, на тему алгебры и геометрии я закончу.
Логика...
1. Ну, во-первых, был такой предмет средневекового знания, его учили в университетах, безо всякой математики: общее/частное, простое/сложное, синтез/анализ - и т.д. В принципе, технически, эту самую логику можно преподавать детям и сейчас, совершенно отдельно от математики. Предмет - разработан достаточно глубоко, на 2-3 года полноценных курсов вполне хватит. Но никто с этим не связывается. Потому, что там, где разводится логика - там появляются психи и демагогия, а у современного научного общества эффективных средств противостояния этим явлениям нет. Да и средневековая схоластика померла в своё время именно от этого. В результате это самое средневековое знание любой современый образованный человек - ну и Вы тоже, разумеется - получает не в виде отдельного предмета, а в качестве бонусов к другим пройденным дисциплинам. А ведь если подумать, это и есть главное, что сохраняет нашу науку - наукой... И тут-то - пламенный привет Аристотелю, которого я в последние годы так часто поминаю.
2. Теперь, что такое "математическая логика", как часть именно математики? Ответ: по методам, та же алгебра и (немножко) геометрия, но только применяемая к логической предметной сфере. Некоторые выводы из этой теории выносят "из кузницы" и представляются к обсуждению научной и философской общественности. Как, к примеру, теорему Гёделя о неполноте - она используется в куче философских рассуждений. Но понимать, как она доказывается - не обязательно. Тут главное: понять, что она говорит, и не вывихнуть себе мозги. См. также след. пункт. И, давайте, в ужасе отпрянем от этой группы абсолютно неприменимых к практике эстетов, от этих сложностей и вернёмся к сравнительно простым вещам - что с ними?
Дополнение Я запугал - а в принципе совершенно зря. На самом деле, в этом "секторе", что-ли происходят сильные и стрёмные вещи. Происходят - уже давно. Уже давно есть заявка на то, что эта деятельность - да ещё приложенная к компьютерам, имеет гигантский потенциал. Просто пока для внешнего наблюдателя результаты выглядят вполне скромно. Но это - интересно вовсе не только "эстетам", просто это очень тяжело для восприятия и пока - ... - ну не готово!
<Интермедия> Вчера, выходя в свете фонарей из электрички на подмосковной станции, оказался лицом... к морде болонки, которую кто-то нёс на руках. И её - болонки - глаза: они выражали много разных эмоций. Вполне мною понимаемых. И я подумал - в свете уже не фонарей, а обсуждающихся ныне проблем эволюции: а ведь мы с этой болонкой - хоть и очень дальние, но родственники! У нас есть общие предки! И именно поэтому я так понимаю выражение её глаз! А думать - собачка в нашем смысле не может. Так устроена эта самая эволюция, что одним потомкам одной и той же, скажем так, землеройки, можно становиться Высокорожденными - другим же надо продолжать вилять хвостом. Но что-то - сохраняется. Как я прочёл в умной популярной книжке Маркова: человек не произошёл от обезьяны, он и есть обезьяна! Но только - что?... Ну да, я, как и многие другие, думают над этим, хотя бы иногда. Нам в помощь - другие случаи, с которыми мы имеем дело: мы же видим, как кто-то сходит с ума или кто-то тупит.... В-общем, мои наблюдения - согласованные в каком-то смысле с другими - говорят, что главный эффект, из-за которого всё это получается - это возможности рефлексии. У человека как-то так перестроился мозг, что он оказался в состоянии наблюдать за собой самим, строить какие-то объяснения самого себя. Просто: смотреться в зеркало; в конце концов, ему потребовалось зеркало!... Казалось бы: мозги человека просто обязаны комплектоваться средствами, блокирующими опасные рефлексии - иначе он просто свихнётся. Но на самом деле, глядя в глаза болонки, надо признать, что мозги устроены наоборот: средства блокировки рефлексии - изначальны, это наша возможность их прорвать - вторична и тем ограниченна.
3. Что происходит, когда человек пытается понять что-то про логику, про то, как можно думать? Простое-сложное - не важно: что-то, с чем он ещё не свыкся? Хотелось бы сказать - снос мозга. Но нет: первый ответ - не происходит НИЧЕГО. Мозг нормального человека просто блокирует попыти заставить себя думать о том, как он думает. Нужна специальная тернировка, чтобы прорваться через этот блок. И - получается. У некоторых. И - да, происходит снос мозга, плата за прорыв. Это занятие и не должно быть бесплатным, так мы устроены! Поэтому учить людей в школе непосредственно "ядрёной" логике - нельзя.
Можно и нужно делать это через методику от Аристотеля, через то, что обсуждалось выше, опосредованно. При таком подходе всё получается, блокировки - стражи наших мозгов - не подают сигнал тревоги, мы спокойно проходим мимо них и уходим довольно далеко вглубь. Так появляется наука - а потом, уже сильно потом, специально обученные люди пытаются посмотреть назад, и назвать простыми именами то, как человек думает. А передать эти сведённые, самые-самые простенькие знания нормальному человеку учёный специалист оказывается не в состоянии: при попытке осознать, стражи в голове у "нормального человека" начинают вопить сиренами!
4. Я уже несколько лет довольно занудно повторяю, и сейчас ещё раз повторю: у нас - математиков, у нас - естественников, у нас - гуманитариев - один общий Аристотель, одна общая Логика. Естественно ожидать, что любой учёный должен думать и изъясняться логически аккуратно. Но почему-то так выходит, что именно математики "заведуют" этим, в сущности, культурным вопросом в наше время. Почему? В этом пункте я постараюсь выдать свой ответ на этот вопрос.
4.1. Чем заведуют математики? Некими абстрактными конструкциями. Что такое тут "заведовать"? Это иметь интерес их употреблять, постоянно упражняться, прикладывать их к чему попало, к чему интересно. Видите? Тут есть слово "интерес" - он имеет иррациональное происхождение, но это не важно, главное, он есть, а "абстрактные конструкции" существуют этим интересом. Хотите - вслед за многими психами считайте математиков некоей мафией, которые преследуют свои тёмные интересы. Так, по крайней мере, ясно. Не очень справедливо, но ясно. Среди "абстрактных конструкций" имеется к примеру такая, которая называется "булева алгебра", и квалифицированный математик должен уметь с ней обращаться. К чему это? Да к тому, что если взять то, что написано у Аристотеля и попытаться формализовать (ещё одно слово с неким иррациональным подтекстом), то получится именно булева алгебра. То есть если математик имеет навык (иррациональность! мозг!) обращения с булевой алгеброй, ему, в принципе практически проще разбираться с логическими рассуждениями, чем другим учёным. Он - это свойство алгебры - возможность провести некие манипуляции формально, не задумываясь о смысле, но с гарантией правильности результата, это быстрее и надёжнее.
То есть, переходя на язык конспирологии: есть специально обученные люди, десантники которые легче других могут проводить логические построения, лазить по вертикальным стенам и спрыгивать с пяти метров . С какими целями они это делают - мы ещё в нашей палате не решили, но точно что с какими-то.
4.2. Заведуют математики абстрактными конструкциями - и это значит, что есть нечто, чего математики лишены. Все остальные учёные - как естественники, так и гуманитарии - работают с реальными явлениями. Которые существуют, и как-то там устроены, и как-то там взаимодействуют между собой. Не знаешь, как - пойди понаблюдай за этими явлениями и посмотри! Не придумывай! Всё, разумеется, не так-то просто, многие вещи нельзя увидеть, но всё равно: если чем-то занимаешься, есть уверенность, что что-то существует объективно, это нельзя придумать абы как, это можно проверить. Сами объекты изучения включают неким способом логику, логическую разметку. Видны флажки - и видно, зашёл ли ты за них.
Математики же занимаются абстрактным, тем, что проверить какой бы то ни было практикой нельзя, только другой абстракцией. Флажки не видны. В этой ситуации если они логически ошибаются - значит всё. Если есть какая-никакая практика - она запретит совсем уж чушь - но логика сама по себе опасна именно абсолютной беззащитностью перед ложью: добавь в мешок с "проверенными" утверждениями любую самую мелкую чушь - ... и уже всё, всё сломалось, ВСЁ. И - есть постоянная практика: в реальных работах реальных математиков содержатся ошибки. Их чинят. Вспомните свои собственные занятия математикой! Вы ведь большую часть времени потратили вовсе не на постижение знания, а именно на работу над ошибками! Над достаточно сложными ошибками! Пройдя школькый курс, и оглянувшись, Вы можете заметить: что такое "парабола" и "интеграл" - Вы положим, забыли. Но сколько же Вы ходили по граблям! И это - самое главное. Именно это и означает, что Вас учили математике. Цинично? Наверное... А вот некоторым - нравится!
* * *
Кроме трёх китов - геометии, алгебры, логики, я бы ещё выделил особенно четвёртого: теорию вероятностей. Её роль в современном мире стремительно растёт. Дело в том, что это - единственный из "китов", который системно изучает то, что вариантов, возможностей бывает очень и очень много, гигантское количество. Остальные "киты" идут от простого к сложному - а этот устроен наоборот. А современный мир как раз неустранимо сложен и многообразен. Ну и ещё: именно через теорию вероятности идут ниточки, связывающие современную математику и сколь-нибудь содержательные современные математические приложения. Но подробнее об этом говорить я не готов.
PS. Текст появился в результате обсуждения прежних текстов, может быть, кому-то интересно, вот ссылки:
http://russhatter.livejournal.com/138182.html
http://ivanov-petrov.livejournal.com/336987.html
Ну, и, наверное, будет что-то ещё. Тема большая.
Вот так выглядит запрос от brasid:
В жизни любого школьника есть момент, когда предмет математика из его жизни исчезает, и возникают вместо него два - "алгебра" и "геометрия". Почему из всех разделов математики изучаются именно эти два, и почему именно в этих программах и объёмах?
Вопрос вызыван смутными воспоминаниями о всё том же курсе "математической логики". Я помню ощущение (очень интересное) слома мозга, точнее слома его алгоритмов, когда на время решения задачи надо было забыть о привычном и действовать непривычно. Там действовали безусловно математические законы, но не те, что в школьных дисциплинах. Т.е. вопрос мог бы звучать: почему в школе мы изучаем алгебру, а не математическую логику, или ещё что-то, о чём я не имею ни малейшего понятия?
* * *
Сразу каюсь: запрос я слегка усёк. В полной формулировке было ещё:
Иначе я так и умру, не узнав, ради чего мне надо было знать, что такое "косинус", "парабола" и "интеграл" (причём я этого уже разумеется не помню).
... и я, пожалуй, не хочу просветлять тут уважаемого brasid, может, оно и ничего страшного, что так сложилось.
И если кто-то боится косинусов и логарифмов: ниже не содержится никаких таких ужасов. Входите безбоязненно. Ужасы, конечно, есть, но все слова, надеюсь, понятные, человеческие...
* * *
...Но на остальное - отвечаю.
Алгебра и геометрия - это два "языка", на сопряжении которых работает математика. Именно на сопряжении: алгебра едет далеко, порождает много, но довольно бессмысленного; геометрия обладает коротким действием, это в определённом роде интуиция, но пока какой-то аналог её не начинает работать там, куда "приехали" - неясно, куда мы приехали. Поэтому в школе учат именно алгебру и именно геометрию. Со временем в нашем социальном мире геометрия сдаёт, и это сильно огорчает.
Здесь, пожалуй, на тему алгебры и геометрии я закончу.
Логика...
1. Ну, во-первых, был такой предмет средневекового знания, его учили в университетах, безо всякой математики: общее/частное, простое/сложное, синтез/анализ - и т.д. В принципе, технически, эту самую логику можно преподавать детям и сейчас, совершенно отдельно от математики. Предмет - разработан достаточно глубоко, на 2-3 года полноценных курсов вполне хватит. Но никто с этим не связывается. Потому, что там, где разводится логика - там появляются психи и демагогия, а у современного научного общества эффективных средств противостояния этим явлениям нет. Да и средневековая схоластика померла в своё время именно от этого. В результате это самое средневековое знание любой современый образованный человек - ну и Вы тоже, разумеется - получает не в виде отдельного предмета, а в качестве бонусов к другим пройденным дисциплинам. А ведь если подумать, это и есть главное, что сохраняет нашу науку - наукой... И тут-то - пламенный привет Аристотелю, которого я в последние годы так часто поминаю.
2. Теперь, что такое "математическая логика", как часть именно математики? Ответ: по методам, та же алгебра и (немножко) геометрия, но только применяемая к логической предметной сфере. Некоторые выводы из этой теории выносят "из кузницы" и представляются к обсуждению научной и философской общественности. Как, к примеру, теорему Гёделя о неполноте - она используется в куче философских рассуждений. Но понимать, как она доказывается - не обязательно. Тут главное: понять, что она говорит, и не вывихнуть себе мозги. См. также след. пункт. И, давайте, в ужасе отпрянем от этой группы абсолютно неприменимых к практике эстетов, от этих сложностей и вернёмся к сравнительно простым вещам - что с ними?
Дополнение Я запугал - а в принципе совершенно зря. На самом деле, в этом "секторе", что-ли происходят сильные и стрёмные вещи. Происходят - уже давно. Уже давно есть заявка на то, что эта деятельность - да ещё приложенная к компьютерам, имеет гигантский потенциал. Просто пока для внешнего наблюдателя результаты выглядят вполне скромно. Но это - интересно вовсе не только "эстетам", просто это очень тяжело для восприятия и пока - ... - ну не готово!
<Интермедия> Вчера, выходя в свете фонарей из электрички на подмосковной станции, оказался лицом... к морде болонки, которую кто-то нёс на руках. И её - болонки - глаза: они выражали много разных эмоций. Вполне мною понимаемых. И я подумал - в свете уже не фонарей, а обсуждающихся ныне проблем эволюции: а ведь мы с этой болонкой - хоть и очень дальние, но родственники! У нас есть общие предки! И именно поэтому я так понимаю выражение её глаз! А думать - собачка в нашем смысле не может. Так устроена эта самая эволюция, что одним потомкам одной и той же, скажем так, землеройки, можно становиться Высокорожденными - другим же надо продолжать вилять хвостом. Но что-то - сохраняется. Как я прочёл в умной популярной книжке Маркова: человек не произошёл от обезьяны, он и есть обезьяна! Но только - что?... Ну да, я, как и многие другие, думают над этим, хотя бы иногда. Нам в помощь - другие случаи, с которыми мы имеем дело: мы же видим, как кто-то сходит с ума или кто-то тупит.... В-общем, мои наблюдения - согласованные в каком-то смысле с другими - говорят, что главный эффект, из-за которого всё это получается - это возможности рефлексии. У человека как-то так перестроился мозг, что он оказался в состоянии наблюдать за собой самим, строить какие-то объяснения самого себя. Просто: смотреться в зеркало; в конце концов, ему потребовалось зеркало!... Казалось бы: мозги человека просто обязаны комплектоваться средствами, блокирующими опасные рефлексии - иначе он просто свихнётся. Но на самом деле, глядя в глаза болонки, надо признать, что мозги устроены наоборот: средства блокировки рефлексии - изначальны, это наша возможность их прорвать - вторична и тем ограниченна.
3. Что происходит, когда человек пытается понять что-то про логику, про то, как можно думать? Простое-сложное - не важно: что-то, с чем он ещё не свыкся? Хотелось бы сказать - снос мозга. Но нет: первый ответ - не происходит НИЧЕГО. Мозг нормального человека просто блокирует попыти заставить себя думать о том, как он думает. Нужна специальная тернировка, чтобы прорваться через этот блок. И - получается. У некоторых. И - да, происходит снос мозга, плата за прорыв. Это занятие и не должно быть бесплатным, так мы устроены! Поэтому учить людей в школе непосредственно "ядрёной" логике - нельзя.
Можно и нужно делать это через методику от Аристотеля, через то, что обсуждалось выше, опосредованно. При таком подходе всё получается, блокировки - стражи наших мозгов - не подают сигнал тревоги, мы спокойно проходим мимо них и уходим довольно далеко вглубь. Так появляется наука - а потом, уже сильно потом, специально обученные люди пытаются посмотреть назад, и назвать простыми именами то, как человек думает. А передать эти сведённые, самые-самые простенькие знания нормальному человеку учёный специалист оказывается не в состоянии: при попытке осознать, стражи в голове у "нормального человека" начинают вопить сиренами!
4. Я уже несколько лет довольно занудно повторяю, и сейчас ещё раз повторю: у нас - математиков, у нас - естественников, у нас - гуманитариев - один общий Аристотель, одна общая Логика. Естественно ожидать, что любой учёный должен думать и изъясняться логически аккуратно. Но почему-то так выходит, что именно математики "заведуют" этим, в сущности, культурным вопросом в наше время. Почему? В этом пункте я постараюсь выдать свой ответ на этот вопрос.
4.1. Чем заведуют математики? Некими абстрактными конструкциями. Что такое тут "заведовать"? Это иметь интерес их употреблять, постоянно упражняться, прикладывать их к чему попало, к чему интересно. Видите? Тут есть слово "интерес" - он имеет иррациональное происхождение, но это не важно, главное, он есть, а "абстрактные конструкции" существуют этим интересом. Хотите - вслед за многими психами считайте математиков некоей мафией, которые преследуют свои тёмные интересы. Так, по крайней мере, ясно. Не очень справедливо, но ясно. Среди "абстрактных конструкций" имеется к примеру такая, которая называется "булева алгебра", и квалифицированный математик должен уметь с ней обращаться. К чему это? Да к тому, что если взять то, что написано у Аристотеля и попытаться формализовать (ещё одно слово с неким иррациональным подтекстом), то получится именно булева алгебра. То есть если математик имеет навык (иррациональность! мозг!) обращения с булевой алгеброй, ему, в принципе практически проще разбираться с логическими рассуждениями, чем другим учёным. Он - это свойство алгебры - возможность провести некие манипуляции формально, не задумываясь о смысле, но с гарантией правильности результата, это быстрее и надёжнее.
То есть, переходя на язык конспирологии: есть специально обученные люди, десантники которые легче других могут проводить логические построения, лазить по вертикальным стенам и спрыгивать с пяти метров . С какими целями они это делают - мы ещё в нашей палате не решили, но точно что с какими-то.
4.2. Заведуют математики абстрактными конструкциями - и это значит, что есть нечто, чего математики лишены. Все остальные учёные - как естественники, так и гуманитарии - работают с реальными явлениями. Которые существуют, и как-то там устроены, и как-то там взаимодействуют между собой. Не знаешь, как - пойди понаблюдай за этими явлениями и посмотри! Не придумывай! Всё, разумеется, не так-то просто, многие вещи нельзя увидеть, но всё равно: если чем-то занимаешься, есть уверенность, что что-то существует объективно, это нельзя придумать абы как, это можно проверить. Сами объекты изучения включают неким способом логику, логическую разметку. Видны флажки - и видно, зашёл ли ты за них.
Математики же занимаются абстрактным, тем, что проверить какой бы то ни было практикой нельзя, только другой абстракцией. Флажки не видны. В этой ситуации если они логически ошибаются - значит всё. Если есть какая-никакая практика - она запретит совсем уж чушь - но логика сама по себе опасна именно абсолютной беззащитностью перед ложью: добавь в мешок с "проверенными" утверждениями любую самую мелкую чушь - ... и уже всё, всё сломалось, ВСЁ. И - есть постоянная практика: в реальных работах реальных математиков содержатся ошибки. Их чинят. Вспомните свои собственные занятия математикой! Вы ведь большую часть времени потратили вовсе не на постижение знания, а именно на работу над ошибками! Над достаточно сложными ошибками! Пройдя школькый курс, и оглянувшись, Вы можете заметить: что такое "парабола" и "интеграл" - Вы положим, забыли. Но сколько же Вы ходили по граблям! И это - самое главное. Именно это и означает, что Вас учили математике. Цинично? Наверное... А вот некоторым - нравится!
* * *
Кроме трёх китов - геометии, алгебры, логики, я бы ещё выделил особенно четвёртого: теорию вероятностей. Её роль в современном мире стремительно растёт. Дело в том, что это - единственный из "китов", который системно изучает то, что вариантов, возможностей бывает очень и очень много, гигантское количество. Остальные "киты" идут от простого к сложному - а этот устроен наоборот. А современный мир как раз неустранимо сложен и многообразен. Ну и ещё: именно через теорию вероятности идут ниточки, связывающие современную математику и сколь-нибудь содержательные современные математические приложения. Но подробнее об этом говорить я не готов.
PS. Текст появился в результате обсуждения прежних текстов, может быть, кому-то интересно, вот ссылки:
http://russhatter.livejournal.com/138182.html
http://ivanov-petrov.livejournal.com/336987.html
Ну, и, наверное, будет что-то ещё. Тема большая.