Парадокс бясконцасьці
Успомнілася задача па мат. аналізе, пра якую распавядаў на 1 курсе
непаўторны майстар Чупрыгін: Ёсьць бясконцае цела вярчэньня
("трубка"), якое звужаецца па законе R=1/z (z - каардыната ўздожд
восі трубкі). Колькі спатрэбіцца фарбы: а) каб пафарбаваць сьценкі
трубкі; б) цалкам заліць яе. Разьвязваньне: а) Элемэнт плошчы
паверхні сьценак трубкі ёсць даўжынёй "колца" 2*pi*R, памножанай на
бясконца малы элемэнт "падоўжнай" даўжыні dz. Поўная плошча
вылічаецца як інтэграл функцыі 2*pi*R=2*pi*(1/z) зь межамі
інтэграваньня ад z0 да бясконцасьці (z0 няроўная нулю, бо тут 1/z
мае асаблівасьць). У выніку інтэграваньня атрымоўваецца:
S=2*pi*(ln\infty-ln z0). Такім чынам, плошча ёсьць бясконцай і фарбы
спатрэбіцца бясконцая колькасьць. б) Элемэнт аб'ёму трубкі ёсьць
плошчай папярочнага сечыва pi*R^2, памножанай на той сама ж элемэнт
dz. Аб'ём вылічаецца як інтэграл функцыі pi*R^2=pi/(z^2) ад z0 да
бясконцасьці. Інтэграваньне дае V=-pi*(1/\infty-1/z0)=pi/z0, г. зн.
аб'ём ня ёсьць бясконцым!
Такім чынам, каб пафарбаваць трубу, нам патрэбная бясконцая
колькасьць фарбы, а каб заліць яе - концая!
непаўторны майстар Чупрыгін: Ёсьць бясконцае цела вярчэньня
("трубка"), якое звужаецца па законе R=1/z (z - каардыната ўздожд
восі трубкі). Колькі спатрэбіцца фарбы: а) каб пафарбаваць сьценкі
трубкі; б) цалкам заліць яе. Разьвязваньне: а) Элемэнт плошчы
паверхні сьценак трубкі ёсць даўжынёй "колца" 2*pi*R, памножанай на
бясконца малы элемэнт "падоўжнай" даўжыні dz. Поўная плошча
вылічаецца як інтэграл функцыі 2*pi*R=2*pi*(1/z) зь межамі
інтэграваньня ад z0 да бясконцасьці (z0 няроўная нулю, бо тут 1/z
мае асаблівасьць). У выніку інтэграваньня атрымоўваецца:
S=2*pi*(ln\infty-ln z0). Такім чынам, плошча ёсьць бясконцай і фарбы
спатрэбіцца бясконцая колькасьць. б) Элемэнт аб'ёму трубкі ёсьць
плошчай папярочнага сечыва pi*R^2, памножанай на той сама ж элемэнт
dz. Аб'ём вылічаецца як інтэграл функцыі pi*R^2=pi/(z^2) ад z0 да
бясконцасьці. Інтэграваньне дае V=-pi*(1/\infty-1/z0)=pi/z0, г. зн.
аб'ём ня ёсьць бясконцым!
Такім чынам, каб пафарбаваць трубу, нам патрэбная бясконцая
колькасьць фарбы, а каб заліць яе - концая!