Неплоская кошулевость и замена базового кольца
Продолжение http://posic.livejournal.com/381885.html
Ответ в постинге по ссылке вряд ли верен, зато я теперь придумал другой. Предлагается дать, наконец, ход старинному наблюдению, что кошулевость неотрицательно градуированной алгебры от ее нулевой компоненты зависит слабо.
Пусть G -- точная категория с подкатегориями Gi, эквивалентными категории конечно-порожденных проективных модулей над кольцом R, снабженная антиэквивалентностью, сдвигающей Gi, морфизмов между объектами из разных Gi в G нет, первые Ext'ы между ними все идут в одну сторону. Тогда из G бьет функтор присоединенного градуированного фактора в категорию конечно-порожденных градуированных проективных R-модулей.
Пусть S->R -- морфизм колец. Рассмотрим следующую странноватую конструкцию. Объектами категории H будем считать тройки (объект X категории G; конечно-порожденный градуированный проективный S-модуль M; изоморфизм R⊗SM ≅ gr X). Тогда имеется забывающий функтор H->G, сюрьективный на объектах. Утверждается, что он биективен на всех Extn при n>0.
Какой ответ дает это утверждение на вопросы по ссылке (в предположении, что можно подобрать такое S, что Extn(R,R(n)) суть проективные с какой-нибудь стороны S-модули), довольно понятно. Отсюда же должно следовать, что если имеется неотрицательно градуированная алгебра A с нулевой компонентой R, являющаяся проективным левым R-модулем, и морфизм колец S->R, такой что R является проективным левым S-модулем, то алгебра B, получающаяся заменой из алгебры A заменой нулевой компоненты с R на S и оставлением всех остальных компонент неизменными, кошулева тогда и только тогда, когда алгебра A кошулева. Если все это верно, конечно.
Update: все же не буквально так, конечно. Функтор биективен на всех Extn при n>1, а также на Ext1 между объектами, градуировочные носители присоединенных факторов которых не пересекаются; в общем же случае он на Ext1 только сюрьективен.
Ответ в постинге по ссылке вряд ли верен, зато я теперь придумал другой. Предлагается дать, наконец, ход старинному наблюдению, что кошулевость неотрицательно градуированной алгебры от ее нулевой компоненты зависит слабо.
Пусть G -- точная категория с подкатегориями Gi, эквивалентными категории конечно-порожденных проективных модулей над кольцом R, снабженная антиэквивалентностью, сдвигающей Gi, морфизмов между объектами из разных Gi в G нет, первые Ext'ы между ними все идут в одну сторону. Тогда из G бьет функтор присоединенного градуированного фактора в категорию конечно-порожденных градуированных проективных R-модулей.
Пусть S->R -- морфизм колец. Рассмотрим следующую странноватую конструкцию. Объектами категории H будем считать тройки (объект X категории G; конечно-порожденный градуированный проективный S-модуль M; изоморфизм R⊗SM ≅ gr X). Тогда имеется забывающий функтор H->G, сюрьективный на объектах. Утверждается, что он биективен на всех Extn при n>0.
Какой ответ дает это утверждение на вопросы по ссылке (в предположении, что можно подобрать такое S, что Extn(R,R(n)) суть проективные с какой-нибудь стороны S-модули), довольно понятно. Отсюда же должно следовать, что если имеется неотрицательно градуированная алгебра A с нулевой компонентой R, являющаяся проективным левым R-модулем, и морфизм колец S->R, такой что R является проективным левым S-модулем, то алгебра B, получающаяся заменой из алгебры A заменой нулевой компоненты с R на S и оставлением всех остальных компонент неизменными, кошулева тогда и только тогда, когда алгебра A кошулева. Если все это верно, конечно.
Update: все же не буквально так, конечно. Функтор биективен на всех Extn при n>1, а также на Ext1 между объектами, градуировочные носители присоединенных факторов которых не пересекаются; в общем же случае он на Ext1 только сюрьективен.