Что хотелось бы понять
Не по теме этого постинга -- http://avva.livejournal.com/2144076.html
0. Над этой задачей я много думал в юности, и что-то даже из этого произросло. Сейчас представляется, что она важна скорее как основная стимулирующая задача в определенной области, чем сама по себе.
а) Что можно сказать о рядах Гильберта кошулевых алгебр? Рациональны ли они?
б) Что можно сказать о рядах Гильберта 1-зависимых стационарных 0-1-последовательностей? Мероморфны ли они?
в) Как правильно включить кошулевы операды в контекст вопросов а)-б)? (Для кошулевых модулей это более понятно.) Выполнена ли для них соответствующая гипотеза?
1. Эта задача являет собой пример конфликта между разумом и чувством -- она явно неразрешима, но очень хочется, и польза могла бы быть, если бы могла (мыслятся приложения к задаче 8а).
а) Научиться работать с кокольцами, неплоскими над базовым кольцом.
б) Что такое относительная кошулевость для колец/коколец/полуалгебр, не (ко)плоских над базовым (ко)кольцом?
2. Эта задача чуть больше похожа на разрешимую, и польза тоже была бы (например, для задачи 3а).
а) Будем рассматривать башни: алгебра над коалгеброй над алгеброй над коалгеброй... Как построить производный функтор тензорно-котензорного произведения для таких башен высоты больше условных двух с половиной (для которых это известно)?
б) В той же ситуации, как построить производное комодульно-контрамодульное соответствие.
3. Этой задачей и ее окрестностями сейчас занимаются очень известные люди. Пункт б) может быть очень трудным.
а) Что такое полубесконечные (ко)гомологии тейтовских алгеброидов Ли?
б) Что такое полубесконечные (ко)гомологии инд-про-инд-про-векторных пространств со структурами алгебр Ли?
4. Эта задача очень интересная, но неправильно поставлена. Как охарактеризовать абсолютные группы Галуа (правильнее -- рассматриваемые вместе с циклотомическим характером) среди всех проконечных групп?
5. Эта задача явно очень важная. Пункт б) представляется ключом к пункту а).
а) Что можно сказать о поведении когомологий Галуа с постоянными/циклотомическими коэффициентами в расширениях полей с группами Галуа более сложными, чем циклические и диэдральные (для которых это известно)?
б) Как описываются конечные точные последовательности перестановочных представлений конечных групп с целыми или конечными коэффициентами?
6. Эта задача явно очень важная и трудная, кроме, может быть, последнего пункта, о трудности которого судить невозможно, поскольку он является задачей на изобретение гипотез.
а) Кошулева ли алгебра Милнора поля по модулю простого числа?
б) Как насчет разнообразных дальнейших гипотез модульной кошулевости (возникающих в задачах 5а) и 7)?
в) Следует ли предполагать кошулевость алгебры Милнора поля характеристики ноль, помноженной тензорно на рациональные числа?
7. Эта задача очень красивая и трудная. Правда ли, что силовские подгруппы абсолютной группы Галуа максимального (одноступенно) радикального расширения произвольного поля свободны?
8. Последние два пункта этой задачи являются вопросами исключительной важности; первый -- их маленький и слабенький кусочек.
а) Как описать производную категорию мотивов Артина-Тейта с конечными коэффициентами в терминах абсолютной группы Галуа поля? (Для мотивов Тейта ответ известен и выводит на задачу 6а); для мотивов Артина ответ несложен и доставляет связь с задачей 5б).
б) Как описать производную категорию мотивов с конечными коэффициентами в терминах абсолютной группы Галуа поля?
в) Как описать производную категорию мотивных пучков (скажем, Тейта) с конечными коэффициентами над схемой в терминах этальной топологии этой схемы?
09.05.2010. Update: пункты 1б) и 8а) можно признать решенными; зато имеет смысл добавить пункт 8в).
0. Над этой задачей я много думал в юности, и что-то даже из этого произросло. Сейчас представляется, что она важна скорее как основная стимулирующая задача в определенной области, чем сама по себе.
а) Что можно сказать о рядах Гильберта кошулевых алгебр? Рациональны ли они?
б) Что можно сказать о рядах Гильберта 1-зависимых стационарных 0-1-последовательностей? Мероморфны ли они?
в) Как правильно включить кошулевы операды в контекст вопросов а)-б)? (Для кошулевых модулей это более понятно.) Выполнена ли для них соответствующая гипотеза?
1. Эта задача являет собой пример конфликта между разумом и чувством -- она явно неразрешима, но очень хочется, и польза могла бы быть, если бы могла (мыслятся приложения к задаче 8а).
а) Научиться работать с кокольцами, неплоскими над базовым кольцом.
б) Что такое относительная кошулевость для колец/коколец/полуалгебр, не (ко)плоских над базовым (ко)кольцом?
2. Эта задача чуть больше похожа на разрешимую, и польза тоже была бы (например, для задачи 3а).
а) Будем рассматривать башни: алгебра над коалгеброй над алгеброй над коалгеброй... Как построить производный функтор тензорно-котензорного произведения для таких башен высоты больше условных двух с половиной (для которых это известно)?
б) В той же ситуации, как построить производное комодульно-контрамодульное соответствие.
3. Этой задачей и ее окрестностями сейчас занимаются очень известные люди. Пункт б) может быть очень трудным.
а) Что такое полубесконечные (ко)гомологии тейтовских алгеброидов Ли?
б) Что такое полубесконечные (ко)гомологии инд-про-инд-про-векторных пространств со структурами алгебр Ли?
4. Эта задача очень интересная, но неправильно поставлена. Как охарактеризовать абсолютные группы Галуа (правильнее -- рассматриваемые вместе с циклотомическим характером) среди всех проконечных групп?
5. Эта задача явно очень важная. Пункт б) представляется ключом к пункту а).
а) Что можно сказать о поведении когомологий Галуа с постоянными/циклотомическими коэффициентами в расширениях полей с группами Галуа более сложными, чем циклические и диэдральные (для которых это известно)?
б) Как описываются конечные точные последовательности перестановочных представлений конечных групп с целыми или конечными коэффициентами?
6. Эта задача явно очень важная и трудная, кроме, может быть, последнего пункта, о трудности которого судить невозможно, поскольку он является задачей на изобретение гипотез.
а) Кошулева ли алгебра Милнора поля по модулю простого числа?
б) Как насчет разнообразных дальнейших гипотез модульной кошулевости (возникающих в задачах 5а) и 7)?
в) Следует ли предполагать кошулевость алгебры Милнора поля характеристики ноль, помноженной тензорно на рациональные числа?
7. Эта задача очень красивая и трудная. Правда ли, что силовские подгруппы абсолютной группы Галуа максимального (одноступенно) радикального расширения произвольного поля свободны?
8. Последние два пункта этой задачи являются вопросами исключительной важности; первый -- их маленький и слабенький кусочек.
а) Как описать производную категорию мотивов Артина-Тейта с конечными коэффициентами в терминах абсолютной группы Галуа поля? (Для мотивов Тейта ответ известен и выводит на задачу 6а); для мотивов Артина ответ несложен и доставляет связь с задачей 5б).
б) Как описать производную категорию мотивов с конечными коэффициентами в терминах абсолютной группы Галуа поля?
в) Как описать производную категорию мотивных пучков (скажем, Тейта) с конечными коэффициентами над схемой в терминах этальной топологии этой схемы?
09.05.2010. Update: пункты 1б) и 8а) можно признать решенными; зато имеет смысл добавить пункт 8в).