апельсин Фейнмана
Математики занимаются тем, что строят из идеализированных объектов свой замкнутый мир. Он не требует "проверки на практике" (поясню ниже). Достаточно того, что построения непротиворечивы и опираются на ранее построенное. Так, шаг за шагом, этаж за этажом поднимается здание математики, причём разные башни возводятся с разной скоростью. Время от времени математики пересматривают фундаменты построений, перестраивая при необходимости часть здания заново.
Биохимики живут по другому. Им "проверку на практике" приходится держать в фокусе. Придумали новое лекарство - будьте добры испытать. Ах, вы думали химическая реакция в организме должна идти так-то и так-то? А она почему-то пошла по-другому... Разбирайтесь. Фармакокинетика и фармакодинамика ( PK/PD ) вам в помощь. Врачи живут ещё прагматичнее: лекарство работает - будем использовать. Не знаем точно как там всё действует, но раз лечебный эффект есть, то будем давать больному. Аспирину уже сто лет, а всё ещё разбираются в механизмах действия. Что говорить о новых синтезированных лекарствах?
Физика, наверное, самая близкая к математике наука. Правда, к той части математики, которую называют "прикладной". Теоретическая же математика, похоже, всё ближе сходится с философией. Можно заодно вспомнить традиционную "лестницу наук", но лишь как предельно упрощенную схему. Биолог спросил у химика, химик у физика, физик у математика. Бабка за дедку, дедка за репку. Хотя на деле всё запутаннее: физики сегодня спрашивают у биологов, поскольку интересуются примерами в природе. Когда физик спрашивает что-то у математика (или биолог у физика), то самое сложное - правильная постановка вопроса (тут философ стал бы уточнять, что такое "правильно", "постановка" и даже "вопрос"), обычно формулировка идёт в режиме уточняющих итераций, с каждой стороны делаются небольшие изменения. Хорошо, когда в конце-концов вопрос становится понятен обеим сторонам. Тогда математик просто достаёт с полки готовый ответ. Математика сегодня ушла настолько далеко, что любые задачи физики, просящие поддержки матаппарата, удовлетворятся давно найденным подходом. Причём, разрыв этот всё увеличивается. Математики сегодня работают над тем, что понадобится физикам (если понадобится) лишь через много лет. Разрыв между биологией и химией, думаю, меньше.
Биолог думает: не обожжется ли слизистая горячим напитком? "А какая температура?", - спрашивает он у физика (вместо того, чтобы взять термометр). Физик говорит: примерно такая согласно общепринятой модели. Иногда физики задаются вопросом: а насколько точно описывает формула физический эффект? Речь, понятно, идёт о конкретной формуле и конкретном эффекте. Или по-другому: насколько построенная математическая модель имеет предсказательную силу? Вот, например, задача об остывании кофе ( ссылка на мой старый пост). Решение дифуров давно разобрано по косточкам. Когда-то, ещё в XVIII веке математики этим занимались и нашли всё, что надо для физиков. Тогда они ещё работали вместе с физиками, а Ньютон был и физиком и математиком в одном лице.
Любая модель имеет ограничения. Скажем, остывание по экспонение (главный эффект в задаче о чашке кофе) не учитывает перенос тепла через стенки, испарение, изменение свойств жидкости. Но учёт всех дополнительных эффектов в реальных условиях (материал вашей любимой чашки, крепость такая как вам нравится и т.п.) лишь уточняют решение. В целом всё равно температура падает почти по экспоненте (как и показала экспериментальная проверка). Если же условия специально подобраны, то можно получить парадоксальные результаты ( ссылка на мой старый пост о "парадоксе Мпембы").
Когда физики сталкиваются с математическим парадоксом, то часто (по инерции) продолжают применять свои методы. Например, Фейнман описывал (разумеется, иронизируя), как он столкнулся с парадоксом Банаха-Тарского:
«У тебя есть апельсин, так? Теперь ты разрезаешь этот апельсин на конечное количество кусочков, складываешь их обратно в апельсин, и он становится таким же большим как солнце. Истина или ложь?»
- Между кусочками нет пространства? - Нет.
- Невозможно! Такого просто не может быть.
- Ха! Попался! Идите все сюда! Это теорема Того-то о безмерной мере!
И когда им кажется, что они поймали меня, я напоминаю им: «Но вы сказали апельсин! А апельсиновую кожуру невозможно разрезать на кусочки тоньше атомов».
- Но у нас есть условие непрерывности. Мы можем резать бесконечно!
- Нет, вы сказали апельсин, поэтому я принял, что вы имеете в виду настоящий апельсин.
Честно говоря, Фейнман в той ситуации мыслил даже не как физик, а как биолог. Он "зацепился" за кожуру и представил апельсин как биологический объект. Далее он сказал (уже как физик), что кожуру нельзя нарезать на кусочки тоньше атомов. Вот эта ключевая фраза в оригинале: You can't cut the orange peel any thinner than the atoms. Конечно, даже для того, чтобы разделить кожуру на атомы потребуется энергия: механически "измолоть в труху", потом разбить молекулы (например, с помощью химических реакций). Биолог в этот момент остановился и сказал бы: "Это уже не апельсин". Но Фейнман остановился на один шаг глубже: разделение на атомы ещё допустимо, но разделение на "кусочки тоньше атомов" невозможно. Представляете какое количество энергии потребовалось бы для расщепления всех атомов? (Оставляем за кадром как расщепление приводит к бомбе). Просто Фейнман использовал "атом" в буквальном смысле: "неделимый". Когда математики сказали, что могут резать бесконечно, он выкрутился - настоящий апельсин бесконечно резать нельзя.
Посмотрим внимательнее на теорему Банаха-Тарского ( ссылка на ru_math). Фигура (шар) известного объёма разрезается специальным образом, затем эти части путём параллельного переноса и поворота упаковываются в новую фигуру уже другого объёма ("апельсин в солнце"). Идея в том, что невозможно определить объём хитро отрезанной части, состоящей из бесконечного числа рассеянных точек. Это и есть "безразмерная мера" в пересказе Фейнмана. Как пишет википедия: impossible to define the volumes of the considered subsets, as they are chosen with such a large porosity. Части пористые, настолько пористые, что приходится спрашивать: "А что такое объём?" Хорошо, когда в руках куб или другая фигура с чёткой границей. Объём облака с его нечёткой границей уже определить затруднительно, а как определить объём роя пчёл? Ладно если рой летит компактно, а если пчёлки рассеялись? Речь идёт об объёме внутри роя, не о суммарном объёме всех пчёл (это уточнение на случай, если я выразился недостаточно ясно).
Граница может принимать замысловатую форму, загибаться внутрь, иметь разрывы и т.д., что впору сказать: границы-то нет, это наше воображение её рисует. Поэтому и об объёме внутри такой "границы" говорить невозможно. В порах одной части находятся точки, принадлежащие другой части. Всё перемешано. Но число частей, согласно математикам, конечно. Каждая точка знает, какой части она принадлежит (есть правило). Давайте раскрасим шар согласно правилу. Итак, сначала каждая точка исходной фигуры получает свой цвет. Затем звучит команда: по цветам - разойдись! Части путём параллельного переноса расходятся: кто вправо, кто влево, кто куда. Перенос параллельный, так как форму части (то есть, расстояние между точками одной части) нельзя менять. А затем все части путём поворотов и параллельных переносов упаковываются в фигуру другого объёма.
Объём не сохраняется, так как невозможно проследить его изменение в процессе разрезания. Но нет и правила "сохранения объёма". Он не сохраняется ни в физике, ни в химии, ни в биологии (Малышева любит проводить в "Здоровье" такие химико-биологические опыты). Надо отметить, что измерение объёма, даже если граница чёткая, часто является непростой задачей. Так Архимед, найдя способ измерения объёма короны (изделия довольно сложной формы), выскочил из ванны с криком "Эврика!". С измерением массы у него проблем не было. Положил корону на весы и всё. Какой бы сложной формы она ни была Земля притянет все точки сразу. Проинтегрирует, так сказать.
Конечно, Фейнман развлекался с друзьями-математиками. Они пытались подловить его, а он их. Они ему "безразмерную меру", а он им "атомы". Пинг-понг. Но он мог бы сказать примерно так: "А давайте взвесим каждую из ваших частей!" Понятно, что суммарная масса не изменится (не возникают же новые точки в процессе разрезания). Закон сохранения массы есть. Поэтому итоговая фигура размером с Солнце будет иметь ту же массу, что и исходная. Просто она из очень пористых частей состоит :)
Дополнение 13.7.2015. Такой рабоче-крестьянский подход рубит "парадокс" как гордиев узел. Физику всего лишь нужно уметь "вешать в граммах", поэтому: был объект - проделали с ним какой-то фокус - и снова объект подвергается физической проверке. Физика не спорит с математикой, она слушает, но потом берёт и просто взвешивает. У неё ощущение мира тактильное. А вот математике не требуется контактов с материальным миром, она развивается по своим правилам, все проверки у неё внутренние. Поэтому карта освоенной математиками территории расширяется, но все объекты карты находятся в мире идеального.
Биохимики живут по другому. Им "проверку на практике" приходится держать в фокусе. Придумали новое лекарство - будьте добры испытать. Ах, вы думали химическая реакция в организме должна идти так-то и так-то? А она почему-то пошла по-другому... Разбирайтесь. Фармакокинетика и фармакодинамика ( PK/PD ) вам в помощь. Врачи живут ещё прагматичнее: лекарство работает - будем использовать. Не знаем точно как там всё действует, но раз лечебный эффект есть, то будем давать больному. Аспирину уже сто лет, а всё ещё разбираются в механизмах действия. Что говорить о новых синтезированных лекарствах?
Физика, наверное, самая близкая к математике наука. Правда, к той части математики, которую называют "прикладной". Теоретическая же математика, похоже, всё ближе сходится с философией. Можно заодно вспомнить традиционную "лестницу наук", но лишь как предельно упрощенную схему. Биолог спросил у химика, химик у физика, физик у математика. Бабка за дедку, дедка за репку. Хотя на деле всё запутаннее: физики сегодня спрашивают у биологов, поскольку интересуются примерами в природе. Когда физик спрашивает что-то у математика (или биолог у физика), то самое сложное - правильная постановка вопроса (тут философ стал бы уточнять, что такое "правильно", "постановка" и даже "вопрос"), обычно формулировка идёт в режиме уточняющих итераций, с каждой стороны делаются небольшие изменения. Хорошо, когда в конце-концов вопрос становится понятен обеим сторонам. Тогда математик просто достаёт с полки готовый ответ. Математика сегодня ушла настолько далеко, что любые задачи физики, просящие поддержки матаппарата, удовлетворятся давно найденным подходом. Причём, разрыв этот всё увеличивается. Математики сегодня работают над тем, что понадобится физикам (если понадобится) лишь через много лет. Разрыв между биологией и химией, думаю, меньше.
Биолог думает: не обожжется ли слизистая горячим напитком? "А какая температура?", - спрашивает он у физика (вместо того, чтобы взять термометр). Физик говорит: примерно такая согласно общепринятой модели. Иногда физики задаются вопросом: а насколько точно описывает формула физический эффект? Речь, понятно, идёт о конкретной формуле и конкретном эффекте. Или по-другому: насколько построенная математическая модель имеет предсказательную силу? Вот, например, задача об остывании кофе ( ссылка на мой старый пост). Решение дифуров давно разобрано по косточкам. Когда-то, ещё в XVIII веке математики этим занимались и нашли всё, что надо для физиков. Тогда они ещё работали вместе с физиками, а Ньютон был и физиком и математиком в одном лице.
Любая модель имеет ограничения. Скажем, остывание по экспонение (главный эффект в задаче о чашке кофе) не учитывает перенос тепла через стенки, испарение, изменение свойств жидкости. Но учёт всех дополнительных эффектов в реальных условиях (материал вашей любимой чашки, крепость такая как вам нравится и т.п.) лишь уточняют решение. В целом всё равно температура падает почти по экспоненте (как и показала экспериментальная проверка). Если же условия специально подобраны, то можно получить парадоксальные результаты ( ссылка на мой старый пост о "парадоксе Мпембы").
Когда физики сталкиваются с математическим парадоксом, то часто (по инерции) продолжают применять свои методы. Например, Фейнман описывал (разумеется, иронизируя), как он столкнулся с парадоксом Банаха-Тарского:
«У тебя есть апельсин, так? Теперь ты разрезаешь этот апельсин на конечное количество кусочков, складываешь их обратно в апельсин, и он становится таким же большим как солнце. Истина или ложь?»
- Между кусочками нет пространства? - Нет.
- Невозможно! Такого просто не может быть.
- Ха! Попался! Идите все сюда! Это теорема Того-то о безмерной мере!
И когда им кажется, что они поймали меня, я напоминаю им: «Но вы сказали апельсин! А апельсиновую кожуру невозможно разрезать на кусочки тоньше атомов».
- Но у нас есть условие непрерывности. Мы можем резать бесконечно!
- Нет, вы сказали апельсин, поэтому я принял, что вы имеете в виду настоящий апельсин.
Честно говоря, Фейнман в той ситуации мыслил даже не как физик, а как биолог. Он "зацепился" за кожуру и представил апельсин как биологический объект. Далее он сказал (уже как физик), что кожуру нельзя нарезать на кусочки тоньше атомов. Вот эта ключевая фраза в оригинале: You can't cut the orange peel any thinner than the atoms. Конечно, даже для того, чтобы разделить кожуру на атомы потребуется энергия: механически "измолоть в труху", потом разбить молекулы (например, с помощью химических реакций). Биолог в этот момент остановился и сказал бы: "Это уже не апельсин". Но Фейнман остановился на один шаг глубже: разделение на атомы ещё допустимо, но разделение на "кусочки тоньше атомов" невозможно. Представляете какое количество энергии потребовалось бы для расщепления всех атомов? (Оставляем за кадром как расщепление приводит к бомбе). Просто Фейнман использовал "атом" в буквальном смысле: "неделимый". Когда математики сказали, что могут резать бесконечно, он выкрутился - настоящий апельсин бесконечно резать нельзя.
Посмотрим внимательнее на теорему Банаха-Тарского ( ссылка на ru_math). Фигура (шар) известного объёма разрезается специальным образом, затем эти части путём параллельного переноса и поворота упаковываются в новую фигуру уже другого объёма ("апельсин в солнце"). Идея в том, что невозможно определить объём хитро отрезанной части, состоящей из бесконечного числа рассеянных точек. Это и есть "безразмерная мера" в пересказе Фейнмана. Как пишет википедия: impossible to define the volumes of the considered subsets, as they are chosen with such a large porosity. Части пористые, настолько пористые, что приходится спрашивать: "А что такое объём?" Хорошо, когда в руках куб или другая фигура с чёткой границей. Объём облака с его нечёткой границей уже определить затруднительно, а как определить объём роя пчёл? Ладно если рой летит компактно, а если пчёлки рассеялись? Речь идёт об объёме внутри роя, не о суммарном объёме всех пчёл (это уточнение на случай, если я выразился недостаточно ясно).
Граница может принимать замысловатую форму, загибаться внутрь, иметь разрывы и т.д., что впору сказать: границы-то нет, это наше воображение её рисует. Поэтому и об объёме внутри такой "границы" говорить невозможно. В порах одной части находятся точки, принадлежащие другой части. Всё перемешано. Но число частей, согласно математикам, конечно. Каждая точка знает, какой части она принадлежит (есть правило). Давайте раскрасим шар согласно правилу. Итак, сначала каждая точка исходной фигуры получает свой цвет. Затем звучит команда: по цветам - разойдись! Части путём параллельного переноса расходятся: кто вправо, кто влево, кто куда. Перенос параллельный, так как форму части (то есть, расстояние между точками одной части) нельзя менять. А затем все части путём поворотов и параллельных переносов упаковываются в фигуру другого объёма.
Объём не сохраняется, так как невозможно проследить его изменение в процессе разрезания. Но нет и правила "сохранения объёма". Он не сохраняется ни в физике, ни в химии, ни в биологии (Малышева любит проводить в "Здоровье" такие химико-биологические опыты). Надо отметить, что измерение объёма, даже если граница чёткая, часто является непростой задачей. Так Архимед, найдя способ измерения объёма короны (изделия довольно сложной формы), выскочил из ванны с криком "Эврика!". С измерением массы у него проблем не было. Положил корону на весы и всё. Какой бы сложной формы она ни была Земля притянет все точки сразу. Проинтегрирует, так сказать.
Конечно, Фейнман развлекался с друзьями-математиками. Они пытались подловить его, а он их. Они ему "безразмерную меру", а он им "атомы". Пинг-понг. Но он мог бы сказать примерно так: "А давайте взвесим каждую из ваших частей!" Понятно, что суммарная масса не изменится (не возникают же новые точки в процессе разрезания). Закон сохранения массы есть. Поэтому итоговая фигура размером с Солнце будет иметь ту же массу, что и исходная. Просто она из очень пористых частей состоит :)
Дополнение 13.7.2015. Такой рабоче-крестьянский подход рубит "парадокс" как гордиев узел. Физику всего лишь нужно уметь "вешать в граммах", поэтому: был объект - проделали с ним какой-то фокус - и снова объект подвергается физической проверке. Физика не спорит с математикой, она слушает, но потом берёт и просто взвешивает. У неё ощущение мира тактильное. А вот математике не требуется контактов с материальным миром, она развивается по своим правилам, все проверки у неё внутренние. Поэтому карта освоенной математиками территории расширяется, но все объекты карты находятся в мире идеального.