кофе со сливками
Как вы думаете, что быстрее остынет: (1) чашка горячего кофе, в который сразу добавили порцию сливок, или (2) чашка кофе, которая остывает без сливок, а ровно столько же сливок добавили позже? Численный пример: кофе 250 г, сливок добавляется 60 г, температура сливок 6 градусов. Начальная температура кофе 83 градуса, температура в комнате 22 градуса. Ждем 15 минут, в какой чашке температура ниже?
[ответ]
Простая модель (закон Ньютона-Рихмана): скорость остывания пропорциональна разности температур, то есть T'(t)=c(T-Tв), где Тв - температура воздуха, а все физические свойства (площадь границы раздела, теплоемкость жидкости и проч.) упакованы в константу c. Причем, эта магическая константа не зависит также и от пропорции кофе/сливки. Решение: кофе остывает по экспоненте, далее надо учесть пропорциональный вклад сливок. В рамках такой модели добавление холодных сливок замедляет скорость остывания и (2) остынет быстрее. Иными словами, вклад сливок (в падение температуры скачком) разный при горячем кофе и при уже остывшем (см. графики в комментах).
Формула для численного примера: температура кофе без сливок падает как T(t)=22+61exp(-ct). (см. в комментах bitoff).
В литературе найдена таблица остывания кофе, из которой можно определить константу c (см. в комментариях). Однако данные не очень хорошо ложатся на экспоненту, что приводит к вопросу о точности измерений, а также и о точности модели. Погрешность измерения температуры в таблице указана 0,1 градуса, а оценка разности температур жидкости в чашках по условиям численного примера дает 1-2 градуса.
UPDATE (27/4-29/4). О рамках применимости модели:
[эксперимент]
Данные эксперимента по остыванию кофе (таблица из книги Гулд, Тобочник "Компьютерное моделирование в физике", М. Мир, 1990, стр.35):
1. сравнение результатов измерения из таблицы с экспоненциальной моделью: в последующем посте о "сферическом" кофе. Вывод: данные эксперимента из книги ложатся не так уж плохо на экспоненту, за исключением первых двух-трех точек. Начиная с четвертой точки отклонение менее одного градуса.
2. качественное объяснение резкого падения температуры в начале графика. Вывод: быстрый нагрев чашки, далее падение по экспоненте.
[рисунки]
Нулевое приближение: в чашке температура постоянная, в комнате тоже постоянная; на стенке чашки происходит падение от температуры кофе до температуры воздуха. Все графики раньше показывали температуру как функцию времени, новые рисунки (ниже) показывают температуру как функцию пространства. Первое приближение: не рассматривая профиль температуры внутри стенки (спасибо ln1 за копию рисунка из книги). На рисунке горячий газ и холодная вода, но это для нашего кофе то же самое с точностью до знака (просто разность температур отрицательна).
Мысленно переворачивая рисунок из книги "головой вниз", видим, что температура кофе вблизи стенки падает; равно как и температура воздуха снаружи вблизи стенки выше комнатной. Новый, уточненный рисунок выглядит так: температура постоянна только в центре чашки, ближе к стенке она ниже "средней по чашке". Снаружи чашка тоже теплая (теплее комнатной температуры). Если чашка большая, а комната маленькая, то может повыситься температура в комнате за счет утечки тепла из чашки.
Еще интересный момент: если налить кофе в чашку и, скажем, через минуту вылить, то часть тепла уже будет в стенках чашки. Поэтому профиль температуры будет качественно как на рисунке внизу.
3. когда-нибудь здесь, возможно, появятся свои экспериментальные данные... Не хочется смазать эффект грубой постановкой, а для тщательного приготовления требуется время. UPDATE 6/5/2014. Измерения на машине-автомате.
Практические советы:
1. Если вы хотите как можно быстрее остудить кофе: налейте в металлическую чашку с тонкими стенками, поставьте в холодную воду и помешивайте. Потом добавьте сливки.
2. Если, наоборот, вы желаете сохранить кофе горячим как можно дольше: предварительно прогрейте термос (особенно с металлической колбой), налейте туда кофе под самую пробку, тут же закройте.
[ответ]
Простая модель (закон Ньютона-Рихмана): скорость остывания пропорциональна разности температур, то есть T'(t)=c(T-Tв), где Тв - температура воздуха, а все физические свойства (площадь границы раздела, теплоемкость жидкости и проч.) упакованы в константу c. Причем, эта магическая константа не зависит также и от пропорции кофе/сливки. Решение: кофе остывает по экспоненте, далее надо учесть пропорциональный вклад сливок. В рамках такой модели добавление холодных сливок замедляет скорость остывания и (2) остынет быстрее. Иными словами, вклад сливок (в падение температуры скачком) разный при горячем кофе и при уже остывшем (см. графики в комментах).
Формула для численного примера: температура кофе без сливок падает как T(t)=22+61exp(-ct). (см. в комментах bitoff).
В литературе найдена таблица остывания кофе, из которой можно определить константу c (см. в комментариях). Однако данные не очень хорошо ложатся на экспоненту, что приводит к вопросу о точности измерений, а также и о точности модели. Погрешность измерения температуры в таблице указана 0,1 градуса, а оценка разности температур жидкости в чашках по условиям численного примера дает 1-2 градуса.
UPDATE (27/4-29/4). О рамках применимости модели:
- насколько отличаются свойства кофе и сливок, в какую сторону меняется константа c при смешивании двух этих жидкостей? Сливки как жирная жидкость остывают медленнее, чем вода (чтобы не вводить параметр "крепость кофе"). Поэтому, при добавлении сливок в кофе скорость остывания замедляется не только за счет падения градиента, но и за счет изменения свойств жидкости. Таким образом, жирность сливок способствует усилению эффекта разности температур.
- насколько изменение массы влияет на скорость остывания? В модели масса тоже спрятана в константу c. Если копнуть её, она зависит от теплоемкости С или удельной теплоемкости С/m, где m - масса жидкости. А далее нужно рассматривать тепловой поток через границу жидкость/воздух и через стенки. Рассматривая условия, когда площадь границы раздела не меняется при доливании сливок в кофе (это справедливо при сосуде с вертикальными стенками, например, для цилиндрической чашки) и поток через стенки пренебрежимо мал (это справедливо для кофе в термосе, но вполне допустимо и для керамической чашки - легко убедиться, что закрытая крышкой чашка остывает значительно медленнее), можно считать, что увеличение массы только замедляет скорость остывания. Таким образом, учет увеличения массы таже способствует усилению эффекта разности температур.
- еще один процесс, влияющий на скорость остывания - испарение кофе с поверхности (спасибо belokrylaya за подсказку). Самые быстрые молекулы покидают жидкость и переходят в воздух. Это понижает температуру кофе (температура, напомню, напрямую связана со средней скоростью молекул). Причем, с поверхности горячего кофе испарение происходит интенсивнее. Таким образом, учет испарения опять же способствует усилению эффекта разницы температур.
[эксперимент]
Данные эксперимента по остыванию кофе (таблица из книги Гулд, Тобочник "Компьютерное моделирование в физике", М. Мир, 1990, стр.35):
1. сравнение результатов измерения из таблицы с экспоненциальной моделью: в последующем посте о "сферическом" кофе. Вывод: данные эксперимента из книги ложатся не так уж плохо на экспоненту, за исключением первых двух-трех точек. Начиная с четвертой точки отклонение менее одного градуса.
2. качественное объяснение резкого падения температуры в начале графика. Вывод: быстрый нагрев чашки, далее падение по экспоненте.
[рисунки]
Нулевое приближение: в чашке температура постоянная, в комнате тоже постоянная; на стенке чашки происходит падение от температуры кофе до температуры воздуха. Все графики раньше показывали температуру как функцию времени, новые рисунки (ниже) показывают температуру как функцию пространства. Первое приближение: не рассматривая профиль температуры внутри стенки (спасибо ln1 за копию рисунка из книги). На рисунке горячий газ и холодная вода, но это для нашего кофе то же самое с точностью до знака (просто разность температур отрицательна).
Мысленно переворачивая рисунок из книги "головой вниз", видим, что температура кофе вблизи стенки падает; равно как и температура воздуха снаружи вблизи стенки выше комнатной. Новый, уточненный рисунок выглядит так: температура постоянна только в центре чашки, ближе к стенке она ниже "средней по чашке". Снаружи чашка тоже теплая (теплее комнатной температуры). Если чашка большая, а комната маленькая, то может повыситься температура в комнате за счет утечки тепла из чашки.
Еще интересный момент: если налить кофе в чашку и, скажем, через минуту вылить, то часть тепла уже будет в стенках чашки. Поэтому профиль температуры будет качественно как на рисунке внизу.
3. когда-нибудь здесь, возможно, появятся свои экспериментальные данные... Не хочется смазать эффект грубой постановкой, а для тщательного приготовления требуется время. UPDATE 6/5/2014. Измерения на машине-автомате.
Практические советы:
1. Если вы хотите как можно быстрее остудить кофе: налейте в металлическую чашку с тонкими стенками, поставьте в холодную воду и помешивайте. Потом добавьте сливки.
2. Если, наоборот, вы желаете сохранить кофе горячим как можно дольше: предварительно прогрейте термос (особенно с металлической колбой), налейте туда кофе под самую пробку, тут же закройте.