Сетевые кооперативные игры
Эта заметка относится к циклу "Теория Власти". Смотрите Оглавление цикла.
Подцикл "Физика власти". Начало см.
Программа исследований для математика-добровольца
Я уже приблизительно представляю, как может выглядеть математическая теория, на которую должна будет (рано или поздно) опереться физика, изучающая Власть. "Лестница в небо" Щеглова наконец позволила вырвать теорию Власти из липких объятий философии и поставить её на твердые рельсы позитивной науки. Моя задача как физика в этих условиях - предложить адекватную математическую модель, чем я и занимаюсь последние два месяца.
"Мы стояли на плечах гигантов" - сказал низкорослый Ньютон, издевательски намекая на долговязость одного из своих оппонентов. К моменту появления ньютоновской механики, Лейбницем уже были заложены основы дифференциального исчисления. Ньютону оставалось только приложить этот математический аппарат к наблюдаемым в природе феноменам, предварительно развив его в нужном для этого направлении.
На сегодня уже разработан достаточно мощный и изощренный математический аппарат теории игр, развитию которого в нужном нам направлении я бы и хотел придать толчок этой заметкой. "Игрой" математики называют, конечно, не только и не столько игры (с целью развлечения или сомнительного заработка), сколько вообще любые ситуации выбора, в которых проявляется свободная воля человека. Естественно, математики подходили к этой проблеме чисто позитивно, не заморачиваясь глубокой философией о том, что такое свобода воли и проч. По сути, их интересовал не сам человек, а только заложенная в природе человека возможность альтернативы как таковая. Когда людей несколько, возникают интереснейшая интерференция между имеющимися у каждого из них альтернативами. Эту интерференцию и изучает теория игр.
Начиная с великого Нэша, математики активно изучали вопросы кооперации, то есть, проблему выгодности/невыгодности совместного, согласованного, договорного поведения людей в игре. Теория кооперативных игр изучает самые общие вопросы кооперации: в каких случаях выгодно договариваться, а в каких - действовать независимо; в каких выгоднее соблюдать договор, а в каких выгоднее "кинуть" других партнеров.
Решения в игра бывают самые разные. В частности, разрешается образовывать "заговоры" - то есть, такие коалиции, которые совершают "кидок" согласованно.
Устойчивость решения игры - это такая ситуация, когда "кидать" невыгодно никому: ни каждому отдельному участнику, ни любой возможной коалиции участников. К сожалению, в реальной жизни такого рода устойчивость наблюдается достаточно редко. Поэтому последнее время активно развивается теория ограниченных кооперативных игр, в которых устойчивость решения обеспечивается запретом на создание некоторых коалиций. Скажем так, создавать "заговоры" в таких играх нельзя или просто невозможно.
Фактически нам для теории Власти нужно именно это - ограниченные кооперативные игры. Способность человека создавать коалиции имеет свои естественные пределы: в конце концов, человек просто физически не может поддерживать регулярные контакты, если число этих контактов превышает число Данбара. Так что математические теории-монстры, в которых нет никаких ограничений на возможность образования коалиций, представляются пока такими же бесполезными для физики Власти, как и многие другие пусть и красивые, но не имеющие пока применения в физике математические конструкции.
Но контакты между людьми всегда составляются из отдельных пар! Даже если представить себе помещение, в котором общаются между собой множество народа или кто-то залез на броневик и выступает перед толпой - все равно, реальный сколь угодно сложный человеческий контакт всегда состоит из множества отдельных пар (лектор-слушатель).
Потому самое естественное и непринужденное с точки зрения физика ограничение на возможность образования коалиций - это рассматривать любую коалицию как совокупность пар.
Я предлагаю назвать соответствующий раздел теории ограниченных кооперативных игр так: теория игр с сетевой кооперацией. "Сеть" в математике означает то же, что и "граф", то термин "сеть" звучит более по-русски и удобнее с точки зрения возможностей словообразования. Словосочетание "теория игр с кооперацией на графах" тоже неплохо выражает суть дела, однако кажется мне более громоздким.
Итак, в общем виде "игра с сетевой кооперацией" - это некоторое множество игроков N, для каждого из которых имеется некоторый спектр выбора Sn и некоторая функция "полезности" или "выигрыша", значение которой зависит не только от выбора данного игрока, но и от выбора всех прочих игроков: fn(S1,S2...Sn...).
При этом либо каждая пара игроков может образовать коалицию, и вести взаимовыгодные совместные действия, либо задано некоторое множество "возможных пар" - то есть, граф или сеть допустимых связей между игроками. Таким образом, любая коалиция в такой игре представляет собой некоторый подграф или подсеть графа/сети допустимых связей.
При этом возможности каждого участника n определенным образом расширяются: теперь он может не только сделать индивидуальный выбор Sn из спектра возможных, но также и заключить договор с тем из участников, с которым его связывает связь в сети допустимых связей (иначе говоря, ребро в графе допустимых связей). Если визави согласится на эту сделку, то предполагается, что если связь между игроками k и m установлена, то далее эта пара действует совместно, используя весь имеющийся у них спектр возможных действий Sk*Sm с целью наибольшего выигрыша для каждого из них.
Можно попытаться сразу сделать следующий стандартный для теории кооперативных игр шаг: предполагая, что все участники действуют максимально разумно, априори приписать каждой возможной коалиции некоторый "гарантированный выигрыш", вычисляемый по правилу минимакса/максимина (вообще говоря, на множестве смешанных стратегий, что соответствует самому оптимальному с точки зрения теории игр поведению данной пары). А значит, далее можно не рассматривать конкретные наборы Sn для каждого игрока, автоматически предполагая, что он ведет себя наиболее рациональным образом. При этом математическое описание игры резко упрощается!
Теперь набор возможных стратегий каждого игрока сводится к выбору какого-то набору из множества допустимых для него связей. А вся игра в целом - это отображение подсети/подграфа реализованных в каком-либо случае связей в множество гарантированных выигрышей для каждого из игроков.
Продолжение:
Кажется, Власть - это не кооперация, а торг
Подцикл "Физика власти". Начало см.
Программа исследований для математика-добровольца
Я уже приблизительно представляю, как может выглядеть математическая теория, на которую должна будет (рано или поздно) опереться физика, изучающая Власть. "Лестница в небо" Щеглова наконец позволила вырвать теорию Власти из липких объятий философии и поставить её на твердые рельсы позитивной науки. Моя задача как физика в этих условиях - предложить адекватную математическую модель, чем я и занимаюсь последние два месяца.
"Мы стояли на плечах гигантов" - сказал низкорослый Ньютон, издевательски намекая на долговязость одного из своих оппонентов. К моменту появления ньютоновской механики, Лейбницем уже были заложены основы дифференциального исчисления. Ньютону оставалось только приложить этот математический аппарат к наблюдаемым в природе феноменам, предварительно развив его в нужном для этого направлении.
На сегодня уже разработан достаточно мощный и изощренный математический аппарат теории игр, развитию которого в нужном нам направлении я бы и хотел придать толчок этой заметкой. "Игрой" математики называют, конечно, не только и не столько игры (с целью развлечения или сомнительного заработка), сколько вообще любые ситуации выбора, в которых проявляется свободная воля человека. Естественно, математики подходили к этой проблеме чисто позитивно, не заморачиваясь глубокой философией о том, что такое свобода воли и проч. По сути, их интересовал не сам человек, а только заложенная в природе человека возможность альтернативы как таковая. Когда людей несколько, возникают интереснейшая интерференция между имеющимися у каждого из них альтернативами. Эту интерференцию и изучает теория игр.
Начиная с великого Нэша, математики активно изучали вопросы кооперации, то есть, проблему выгодности/невыгодности совместного, согласованного, договорного поведения людей в игре. Теория кооперативных игр изучает самые общие вопросы кооперации: в каких случаях выгодно договариваться, а в каких - действовать независимо; в каких выгоднее соблюдать договор, а в каких выгоднее "кинуть" других партнеров.
Решения в игра бывают самые разные. В частности, разрешается образовывать "заговоры" - то есть, такие коалиции, которые совершают "кидок" согласованно.
Устойчивость решения игры - это такая ситуация, когда "кидать" невыгодно никому: ни каждому отдельному участнику, ни любой возможной коалиции участников. К сожалению, в реальной жизни такого рода устойчивость наблюдается достаточно редко. Поэтому последнее время активно развивается теория ограниченных кооперативных игр, в которых устойчивость решения обеспечивается запретом на создание некоторых коалиций. Скажем так, создавать "заговоры" в таких играх нельзя или просто невозможно.
Фактически нам для теории Власти нужно именно это - ограниченные кооперативные игры. Способность человека создавать коалиции имеет свои естественные пределы: в конце концов, человек просто физически не может поддерживать регулярные контакты, если число этих контактов превышает число Данбара. Так что математические теории-монстры, в которых нет никаких ограничений на возможность образования коалиций, представляются пока такими же бесполезными для физики Власти, как и многие другие пусть и красивые, но не имеющие пока применения в физике математические конструкции.
Но контакты между людьми всегда составляются из отдельных пар! Даже если представить себе помещение, в котором общаются между собой множество народа или кто-то залез на броневик и выступает перед толпой - все равно, реальный сколь угодно сложный человеческий контакт всегда состоит из множества отдельных пар (лектор-слушатель).
Потому самое естественное и непринужденное с точки зрения физика ограничение на возможность образования коалиций - это рассматривать любую коалицию как совокупность пар.
Я предлагаю назвать соответствующий раздел теории ограниченных кооперативных игр так: теория игр с сетевой кооперацией. "Сеть" в математике означает то же, что и "граф", то термин "сеть" звучит более по-русски и удобнее с точки зрения возможностей словообразования. Словосочетание "теория игр с кооперацией на графах" тоже неплохо выражает суть дела, однако кажется мне более громоздким.
Итак, в общем виде "игра с сетевой кооперацией" - это некоторое множество игроков N, для каждого из которых имеется некоторый спектр выбора Sn и некоторая функция "полезности" или "выигрыша", значение которой зависит не только от выбора данного игрока, но и от выбора всех прочих игроков: fn(S1,S2...Sn...).
При этом либо каждая пара игроков может образовать коалицию, и вести взаимовыгодные совместные действия, либо задано некоторое множество "возможных пар" - то есть, граф или сеть допустимых связей между игроками. Таким образом, любая коалиция в такой игре представляет собой некоторый подграф или подсеть графа/сети допустимых связей.
При этом возможности каждого участника n определенным образом расширяются: теперь он может не только сделать индивидуальный выбор Sn из спектра возможных, но также и заключить договор с тем из участников, с которым его связывает связь в сети допустимых связей (иначе говоря, ребро в графе допустимых связей). Если визави согласится на эту сделку, то предполагается, что если связь между игроками k и m установлена, то далее эта пара действует совместно, используя весь имеющийся у них спектр возможных действий Sk*Sm с целью наибольшего выигрыша для каждого из них.
Можно попытаться сразу сделать следующий стандартный для теории кооперативных игр шаг: предполагая, что все участники действуют максимально разумно, априори приписать каждой возможной коалиции некоторый "гарантированный выигрыш", вычисляемый по правилу минимакса/максимина (вообще говоря, на множестве смешанных стратегий, что соответствует самому оптимальному с точки зрения теории игр поведению данной пары). А значит, далее можно не рассматривать конкретные наборы Sn для каждого игрока, автоматически предполагая, что он ведет себя наиболее рациональным образом. При этом математическое описание игры резко упрощается!
Теперь набор возможных стратегий каждого игрока сводится к выбору какого-то набору из множества допустимых для него связей. А вся игра в целом - это отображение подсети/подграфа реализованных в каком-либо случае связей в множество гарантированных выигрышей для каждого из игроков.
Продолжение:
Кажется, Власть - это не кооперация, а торг