Занимательная математика: Ленчестер, Фиске и убийство линкора
Опровергаю.
Дело об убийстве линкора - дело сложное, и до сих пор не раскрытое. Под вопросом, вообще говоря, даже сам факт убийства. Но, даже если предположить, что труп со следами насильственной смерти всё-таки есть, версий всё равно остаётся много.
По одной из них убийцей линкора стал сам линкор. Речь не о стратегической интерпретации Фридмана, а о техническом варианте. Прогресс в тяжёлой артиллерии привёл к тому, что угроза "сверху" стала неустранимой: сами пушки, снаряды и системы управления огнём стали так хороши, что линкоры в 40-х могли попадать в цель на расстояниях, на которых обеспечить надёжную горизонтальную защиту корабля было невозможно. Попадание снаряда "Массачусетса" в погреб "Жана Бара" стало восклицательным знаком на конце этого предложения: было экспериментально показано, что разнесённая защита не даёт надежды, новые взрыватели обеспечивает подрыв снаряда там, где нужно. Линкор стал "картонным", а это - уже не линкор. Этой версии я тоже в своё время придерживался.
Теперь думаю, что был неправ, или почти неправ. Возможность попаданий на больших дистанциях, на самом деле, практически не изменила динамику эскадренного боя, хотя кажется - должна была бы. В 1905 г. линейный бой представлял собой медленный, непрерывный процесс. Иными словами, морской артиллерийский бой в наибольшей степени соответствовал квадратичным уравнениям Ленчестера, которые как раз и описывают непрерывный процесс, с бесконечно малыми приращениями ущерба за бесконечно малое время. Иными словами, один снаряд или один залп мало что решают в "ленчестеровом бою".
Антитезой "ленчестерового боя" является бой "залповый", дискретный процесс, в котором каждый залп важен. Это естественно, вопрос в количественных оценках - насколько важен должен быть один залп, чтобы динамика изменилась радикально. Задуматься над этой проблемой заставил Бредли Фиске (см. Table I, Table II, Table III), предложивший именно залповую модель - но пришедший к ленчестеровским результатам.
В модели Фиске рассматривается бой сторон А и В, которые обмениваются залпами, равными 1/10 их исходной численности. В одном из примеров разбирается столкновение силы А численностью 1500 (начальный "залп" - 150) и силы В численностью 1000 (начальный "залп" - 100). После уничтожения В силы А сокращаются до 1073. Точное решение уравнение по Ленчестеру - корень квадратный из разницы квадратов исходной численности - даст нам очень близкую величину, 1118.
Модель Фиске можно интерпретировать как столкновение линейных эскадр, в которых линкору для уничтожения линкора же требует сделать 10 залпов. Это, на самом деле, немного, вполне соответствует случаям с "Инвинсиблом", "Индефатигеблом", "Худом", "Бретанью" - и, тем более, с "Жан Баром". Я решил исследовать вопрос подробнее, и ниже на гравике приведены результаты применения двух моделей - Ленчестера и Фиске - для оценки остатка сил А в ситуации, когда исходная численность А составляет 1414 (иными словами, 1000 умножить на корень из двух), а исходная численность В - 1000. Точное решение по Ленчестеру - 1000. Решение по Фиске получено для ситуация, когда число залпов для потопления линкора меняется от 1 (идеальная модель "честного боя") до 100 (примерно соответствует штатному боезапасу).
Рисунок 1. Решение для боя по Ленчестеру (зелёная линия) и Фиске (синяя линяя)
Залповая модель асимптотически стремится к модели Ленчестера. Это понятно - примечательно, что стремится она достаточно быстро. Ниже - начальный фрагмент графика, в более крупном масштабе.
Рисунок 2. Решение для боя по Ленчестеру (зелёная линия) и Фиске (синяя линяя)
На втором рисунке видно, что даже в том случае, когда потребное число залпов на унчитожение линкора равно четырём, решение по Фиске - около 900, в то время как по Ленчестеру - 1000. Иными словами, по-настоящему существенное изменение динамики "залпового боя" по сравнению с непрерывным происходит только в том случае, когда для уничтожения цели достаточного одного залпа - в модели "честного боя". Такая ситуация была характерна для сражений авианосцев - но не для линкоров. И, коль скоро динамика эскадренного сражения сохранилась, а ценность бронирования сохранялась в ситуациях, отличных от боя на предельных дистанциях - то говорить о трагических последствиях для линкора в данном случае не приходится.
Это, впрочем, не значит, что ситуация, когда линейные корабли способны поражать жизненно-важные части противника, совсем не отличается от ситуации с медленным поджариванием а-ля Цусима. Если в детерминистской модели отличия невелики, то на практике необходимо принимать во внимание роль случая. В "сокрушительной" парадигме преимущество в 1-2 корабля становится маргинальным - даже в предельном случае 2:1 (все знают, о каком случае я говорю). В сражении эскадр роль случая уменьшается. Считать, когда именно она становится пренебрежимо малой, мне не хочется - инуитивно это что-то в районе 4-5 кораблей. Иными словами, случайная потеря одного корабля не должна существенно менять баланс сил. Следствие из этого вывода - обязательный перенос флага с линейного корабля на корабль, не бьющийся в линии.
Интересен ещё один вопрос - а что, если одна сторона может сокрушать, а другой приходится тушить врага на медленном огне? Ниже - график, на котором рассмотрено противостояние сил в соотношении 1414:1000, при этом линкорам сильнейшей стороны (А) требуется 40 залпов для уничтожения противника, а для стороны В этот показатель меняется от 1 до 40.
Рисунок 3. Остаток сил А (синяя линия) и сил В (красная линия) при изменении относительной эффективности огня
Видно, что сторона В выигрывает бой до тех пор, пока эффективность её огня более чем в два раза превышает эффективность огня стороны А. Иными словами, перед нами - классика Ленчестера. Для компенсации численного превосходства (а оно равно корню из двух) требует превосходство в эффективности, равное квадрату отношение сил сторон (в данном случае - двукратное, точка перелома соответствует ситуации, когда линкорам В требуется 20 залпов, ликорам А - 40). Для компенсации двукратного численного превосходства требуется четырёхкратное качественное.
Последнее можно приложить сразу к двум очень интересным ситуациям. Одна - противостояние немецких и британских линейных крейсеров. В котором двукратное превосходство британце было возможно. Четырёхкратное превосходство немцев могло соответствовать ситуации, когда, при равной точности стрельбы, для потопления британского корабля достаточно 5 попаданий, а для выводна из строя немецкого - требуется 20, что примерно соответствует паре "Фон дер Танн" - "Индефатигебл", но не работает для пары "Тайгер" - "Дерффлингер", и тем более для пары "Лайон" - "Зейдлитц". Иными словами, при двукратном перевесе британцев и сравнимой точности стрельбы шансы сторон были бы равны, и даже, скорее, в пользу британцев - как, например, в несостоявшемся сражении линейных крейсеров 28 августа 1914 г.
Другой гипотетический сценарий - бой линкоров типа "Ямато" с америкаскими "дубинками". Здесь речь могла идти о двух-трёхкратном превосходстве американцев. И если превосходство японцев в "эффективности" как 4:1 было возможным, то вариант 9:1 реальным не был. Впрочем, идеология "качественного превосходства" в квадратичном мире "Ленчестера-Фиске" всегда выглядит слабо, и идея "суперлинкора" к ней неприменима.
P.S. Так же всё вышесказанное позволяет по-новому взглянуть на динамику таранного боя броненосцев (если требуется хотя бы 3-4 попытки для успеха, численность снова начинает играть ключевую роль) и потенциальные сражения суперброненосцев 80-х годов XIX в.