Ликбез по кватернионам, часть 10: Интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка: nabbla1

nabbla1

Ликбез по кватернионам, часть 10: Интегрирование угловых скоростей, методы 2-го порядка

Mar 22, 2018 11:14

Осторожно, спойлеры!

Снова применим обозначение

(без него нам было бы совсем туго, с коэффициентами наподобие 3840)

Норма этого кватерниона составит:

Как мы видим, теперь норма будет возрастать значительно медленнее - ошибка по ней имеет четвёртый порядок вместо второго, как было в предыдущем методе. Тем не менее, норма монотонно растёт, и время от времени её необходимо корректировать.

Отнормируем кватернион:

Сравнивая с разложением синуса и косинуса в ряд, обнаруживаем, что первой будет проявляться ошибка в синусе - в нашем Μ2норм вообще нет слагаемого с третьей степенью! Ошибка в кватернионе составит:

Ошибка по углу будет вдвое больше (поскольку в кватернионах используются половинные углы) и составит

то есть ошибка уменьшилась всего лишь в два раза, сохранив ту же самую кубическую зависимость от шага интегрирования!

При использовании метода «первого порядка» нам было нужно 12 умножений и 12 сложений для перемножения кватернионов. Добавим сюда ещё три умножения на Δt/2 - получится 15m + 12a.

В данном методе 2-го порядка придётся использовать 16 умножений и 12 сложений для перемножения кватернионов, ведь скалярная часть больше не равна единице! К тому же, нам нужно найти квадрат модуля вектора конечного поворота, после чего поделить его на 8 - эти операции требуют ещё 4 умножения и 2 сложения, так что в итоге получаем 23 умножения и 14 сложений, что делает этот метод на 40..50% более затратным, чем предыдущий.

Но если мы, чтобы сохранить то же количество вычислений, увеличим шаг на 40%, то суммарная ошибка как раз и возрастёт в два раза, за которые мы боролись - игра не стоит свеч. Разве что норма почти остаётся на месте, да всё равно не до конца.

Проверка на нашем примере позволяет подтвердить изложенные оценки - ошибка действительно снижается в два раза, а норма за 72 шага становится равной 1,000033.

Модифицированный метод второго порядка
Оценивая ошибки двух методов, приведённых выше, можно заметить интересную особенность: введение слагаемого второго порядка не влияет (разве что слагаемым четвёртого порядка) на скалярную (действительную) часть кватерниона после его нормировки, тогда как слагаемое третьего порядка в векторной части явно от него зависит. Так почему бы не найти такое слагаемое, чтобы и его «подогнать» под правильный ответ?

Ответ будем искать в виде:

Норма будет равна:

Отнормируем кватернион:

(здесь мы учитывали слагаемые до третьего порядка включительно)

Как и ожидалось, скалярная компонента не зависит от α, тогда как коэффициент при φ3 в векторной компоненте мы можем задать какой угодно. Выберем его так, чтобы векторная компонента соответствовала разложению синуса в ряд:

Искомая формула для модифицированного метода второго порядка выглядит так:

Всё отличие - вместо 1/8 у нас тут стоит 1/12.

И мы уже знаем, что ошибка третьего порядка (связанная с нелинейностью - с угловым ускорением мы здесь ничего сделать не можем!) у нас уйдёт. А как насчёт четвёртого порядка?
Снова запишем норму кватерниона:

Разложим величину, обратную к норме, в ряд Тэйлора, до 4-го порядка включительно:

Теперь отнормируем кватернион, оставляя слагаемые до пятого порядка включительно:

Обнаруживается чудесная вещь: слагаемое четвёртого порядка тоже оказалось абсолютно верным, тогда как расхождение кроется в пятом порядке и составляет:

Ошибка по углу будет вдвое больше (поскольку в кватернионах используются половинные углы) и составит

потрясающий результат, ведь не только ошибка интегрирования при уменьшении шага вдвое падает в 16 раз, но и число в знаменателе стоит огромное!

В нашем примере, всё так же используя шаг 5 градусов и сделав 72 шага (полный оборот), получаем ошибку по углу 2,9×10-5 градуса, или 0,1''.

Улучшение по сравнению с методом «первого порядка» составило 7 500 раз (!). Норма кватерниона растёт втрое медленнее, чем в методе «первого порядка», в нашем примере она достигла значения 1,023 за весь оборот. Это не так хорошо, как в обычном методе «второго порядка», рассмотренного выше, но всё равно очень достойно.

Данный метод был предложен в статье [Захарин М.И., Сокол В.Ф., Вычисление координат вектора ориентации при переменном шаге получения квазикоординат // Кибернетика и вычислительная техника - 1986 - Вып. 69. - С. 52-57]. Если она у кого-то есть в бумажном или электронном виде - напишите, пожалуйста, в ЛС.

Эта статья и её основные результаты были упомянуты в книге "Введение в теорию Бесплатформенных Инерциальных Навигационных Систем (БИНС)" Бранца и Шмыглевского, 1992 года.

Осталось обсудить методы интегрирования более высоких порядков, и разобраться: а какой же из них применять? И практические примеры.

моделирование, кватернионы-это просто (том 1), математика, работа