Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 7 класса
Условия - на http://matholimp.livejournal.com/1411359.html .
1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
Решение. Год состоит из 365 или 366 дней, т.е. из 52 полных недель и ещё одного или двух дней. Значит, всего в течение года 52 или 53 понедельника.
Так как месяц не может быть короче 28 дней, то каждый месяц содержит не менее четырёх понедельников. Их 12∙4=48. Остальные 4 или 5 «лишних» понедельников добавятся к разным месяцам и сделают эти месяцы «тяжёлыми».
Ответ: Если год начинается с понедельника (или високосный год начинается с воскресенья), то он содержит 5 тяжёлых месяцев. В остальных случаях их 4.
2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
Решение. Достаточно перебрать варианты.
Ответ: 3∙4=12 и 7∙8=56.
3. Сумма трех натуральных чисел равна 100. Какое наименьшее возможное значение может принимать НОК этих чисел?
Решение.
Пример: НОК(40, 40, 20)=40.
Оценка. Все три числа не могут быть равными, поскольку 100 не делится на 3.
Значит, либо они все попарно неравны, либо два равны, а третье отличается.
Случай 1. ac, а значит, он равен хотя бы 2с≥66. Тогда b ≤ c/2, a ≤c/2, откуда 100=a+b+c ≤ c+c/2+c/2, c≥ 50. В этом случае НОК не меньше 50.
Случай 2а. a=b≤ c аналогичен.
Случай 2б. a≤b=c. Как и в пункте 1, можно считать, что c делится на a, поэтому с ≤ a/2, 100 = a+b+c ≤ c/2 + 2c, откуда, c≥40, то есть НОК ≥40.
Ответ: 40.
4. Докажите, при любой расстановке чисел 1, 2, …, 10 по кругу найдутся три соседних числа с суммой не менее 18.
Решение. Рассмотрим все числа, кроме 1. Очевидно, их можно разбить на три тройки.
В то же время сумма этих девяти чисел равна 2+3+...+10=54, поэтому хотя бы в одной
из троек сумма не меньше 18.
5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
Решение. Удорожание на 18 рублей происходит из-за добавления двух линеек, двух карандашей и двух ручек. Значит, комплект "ручка+карандаш+линейка" стоит 9 рублей. Но так как "три ручки + четыре карандаша + линейка" дороже его ровно на 17
рублей, то именно столько и стоят две лишних ручки и три лишних карандаша.
Ответ: 17 рублей.
6. Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается на 11, заканчивается на 11 и делится на 7. Объясните, почему это число является наименьшим из удовлетворяющих условию.
Ответ: 11011.
Решение. Достаточно забраковать все меньшие натуральные числа: 11, 111, 1111.
1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
Решение. Год состоит из 365 или 366 дней, т.е. из 52 полных недель и ещё одного или двух дней. Значит, всего в течение года 52 или 53 понедельника.
Так как месяц не может быть короче 28 дней, то каждый месяц содержит не менее четырёх понедельников. Их 12∙4=48. Остальные 4 или 5 «лишних» понедельников добавятся к разным месяцам и сделают эти месяцы «тяжёлыми».
Ответ: Если год начинается с понедельника (или високосный год начинается с воскресенья), то он содержит 5 тяжёлых месяцев. В остальных случаях их 4.
2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
Решение. Достаточно перебрать варианты.
Ответ: 3∙4=12 и 7∙8=56.
3. Сумма трех натуральных чисел равна 100. Какое наименьшее возможное значение может принимать НОК этих чисел?
Решение.
Пример: НОК(40, 40, 20)=40.
Оценка. Все три числа не могут быть равными, поскольку 100 не делится на 3.
Значит, либо они все попарно неравны, либо два равны, а третье отличается.
Случай 1. ac, а значит, он равен хотя бы 2с≥66. Тогда b ≤ c/2, a ≤c/2, откуда 100=a+b+c ≤ c+c/2+c/2, c≥ 50. В этом случае НОК не меньше 50.
Случай 2а. a=b≤ c аналогичен.
Случай 2б. a≤b=c. Как и в пункте 1, можно считать, что c делится на a, поэтому с ≤ a/2, 100 = a+b+c ≤ c/2 + 2c, откуда, c≥40, то есть НОК ≥40.
Ответ: 40.
4. Докажите, при любой расстановке чисел 1, 2, …, 10 по кругу найдутся три соседних числа с суммой не менее 18.
Решение. Рассмотрим все числа, кроме 1. Очевидно, их можно разбить на три тройки.
В то же время сумма этих девяти чисел равна 2+3+...+10=54, поэтому хотя бы в одной
из троек сумма не меньше 18.
5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
Решение. Удорожание на 18 рублей происходит из-за добавления двух линеек, двух карандашей и двух ручек. Значит, комплект "ручка+карандаш+линейка" стоит 9 рублей. Но так как "три ручки + четыре карандаша + линейка" дороже его ровно на 17
рублей, то именно столько и стоят две лишних ручки и три лишних карандаша.
Ответ: 17 рублей.
6. Найдите наименьшее натуральное число, которое начинается на 11, заканчивается на 11 и делится на 7. Объясните, почему это число является наименьшим из удовлетворяющих условию.
Ответ: 11011.
Решение. Достаточно забраковать все меньшие натуральные числа: 11, 111, 1111.