Решения задач 1 тура олимпиады "Третье тысячелетие" для 6 класса
Условия - на http://matholimp.livejournal.com/1411146.html .
1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
Решение. Год состоит из 365 или 366 дней, т.е. из 52 полных недель и ещё одного или двух дней. Значит, всего в течение года 52 или 53 понедельника.
Так как месяц не может быть короче 28 дней, то каждый месяц содержит не менее четырёх понедельников. Их 12∙4=48. Остальные 4 или 5 «лишних» понедельников добавятся к разным месяцам и сделают эти месяцы «тяжёлыми».
Ответ: Если год начинается с понедельника (или високосный год начинается с воскресенья), то он содержит 5 тяжёлых месяцев. В остальных случаях их 4.
2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
Решение. Достаточно перебрать варианты.
Ответ: 3∙4=12 и 7∙8=56.
3. Саша зачеркнул на 25-й странице учебника все слова, в которых нет буквы А, потом он зачеркнул все слова, в которых нет буквы Б, а потом он нашел все слова, где есть и буква О, и буква А, и тоже зачеркнул их. Костя на той же странице своего учебника зачеркнул слова, где нет Б, но есть А или О (возможно, обе сразу), и после этого он зачеркнул все слова, где нет ни буквы А, ни буквы О. Могло ли у Саши остаться незачеркнутыми больше слов, чем у Кости?
Решение. Достаточно показать на кругах Эйлера. У Кости незачеркнутыми останутся все слова, в которых есть буквы А и Б. А у Саши - только те из этих слов, в которых нет буквы О.
Ответ: Нет.
4. В каждом из двух классов по 30 учеников. Мальчиков в первом классе в 2 раза больше, чем во втором, а девочек - в 3 раза меньше, чем во втором. Сколько мальчиков и девочек в каждом классе?
Решение. Исходя из условия, можно составить уравнения:
Для 1 класса: M∙2+D=30 ,
Для 2 класса: M+D∙3=30 , где M - количество мальчиков во 2 классе, а D - количество девочек в 1 классе.
Перепишем 2 полученных уравнения:
M∙2+D=30,
M+D∙3=30
Из 1-го уравнения получаем:
D=30- M∙2
Из 2-го получаем:
M=30- D∙3=30-(30-M∙2)∙3=30-(30∙3-M∙2∙3)=30-90+M∙6
M=M∙6-60
60=5M
M=12
Тогда D=30-12∙2=6
Итого:
В 1 классе - 6 девочек и 24 мальчика
Во 2 классе - 12 мальчиков и 18 девочек.
Ответ: В 1 классе - 6 девочек и 24 мальчика. Во 2 классе - 12 мальчиков и 18 девочек.
5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
Решение. Удорожание на 18 рублей происходит из-за добавления двух линеек, двух карандашей и двух ручек. Значит, комплект "ручка+карандаш+линейка" стоит 9 рублей. Но так как "три ручки + четыре карандаша + линейка" дороже его ровно на 17
рублей, то именно столько и стоят две лишних ручки и три лишних карандаша.
Ответ: 17 рублей.
6. Первоначально на доске написано число 1. Разрешается любое написанное на доске число умножить на 2 или переставить в нём цифры. Можно ли таким образом получить 209?
Решение. Эту задачу удобно решать с конца:
209 - 920 - 460 - 230 - 320 - 160 - 610 - 305 - 530 - 265 - 256 - 128 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
Ответ: можно.
1. Назовём «тяжёлым» месяц, в котором пять понедельников. Сколько тяжёлых месяцев может быть в течение года?
Решение. Год состоит из 365 или 366 дней, т.е. из 52 полных недель и ещё одного или двух дней. Значит, всего в течение года 52 или 53 понедельника.
Так как месяц не может быть короче 28 дней, то каждый месяц содержит не менее четырёх понедельников. Их 12∙4=48. Остальные 4 или 5 «лишних» понедельников добавятся к разным месяцам и сделают эти месяцы «тяжёлыми».
Ответ: Если год начинается с понедельника (или високосный год начинается с воскресенья), то он содержит 5 тяжёлых месяцев. В остальных случаях их 4.
2. Андрей перемножил две последовательные цифры и получил в итоге двузначное число, записываемое двумя последовательными цифрами. Найдите все такие примеры.
Решение. Достаточно перебрать варианты.
Ответ: 3∙4=12 и 7∙8=56.
3. Саша зачеркнул на 25-й странице учебника все слова, в которых нет буквы А, потом он зачеркнул все слова, в которых нет буквы Б, а потом он нашел все слова, где есть и буква О, и буква А, и тоже зачеркнул их. Костя на той же странице своего учебника зачеркнул слова, где нет Б, но есть А или О (возможно, обе сразу), и после этого он зачеркнул все слова, где нет ни буквы А, ни буквы О. Могло ли у Саши остаться незачеркнутыми больше слов, чем у Кости?
Решение. Достаточно показать на кругах Эйлера. У Кости незачеркнутыми останутся все слова, в которых есть буквы А и Б. А у Саши - только те из этих слов, в которых нет буквы О.
Ответ: Нет.
4. В каждом из двух классов по 30 учеников. Мальчиков в первом классе в 2 раза больше, чем во втором, а девочек - в 3 раза меньше, чем во втором. Сколько мальчиков и девочек в каждом классе?
Решение. Исходя из условия, можно составить уравнения:
Для 1 класса: M∙2+D=30 ,
Для 2 класса: M+D∙3=30 , где M - количество мальчиков во 2 классе, а D - количество девочек в 1 классе.
Перепишем 2 полученных уравнения:
M∙2+D=30,
M+D∙3=30
Из 1-го уравнения получаем:
D=30- M∙2
Из 2-го получаем:
M=30- D∙3=30-(30-M∙2)∙3=30-(30∙3-M∙2∙3)=30-90+M∙6
M=M∙6-60
60=5M
M=12
Тогда D=30-12∙2=6
Итого:
В 1 классе - 6 девочек и 24 мальчика
Во 2 классе - 12 мальчиков и 18 девочек.
Ответ: В 1 классе - 6 девочек и 24 мальчика. Во 2 классе - 12 мальчиков и 18 девочек.
5. Три ручки, четыре карандаша и линейка вместе стоят 26 рублей, а пять ручек, шесть карандашей и три линейки - 44 рубля. Сколько стоят вместе две ручки и три карандаша?
Решение. Удорожание на 18 рублей происходит из-за добавления двух линеек, двух карандашей и двух ручек. Значит, комплект "ручка+карандаш+линейка" стоит 9 рублей. Но так как "три ручки + четыре карандаша + линейка" дороже его ровно на 17
рублей, то именно столько и стоят две лишних ручки и три лишних карандаша.
Ответ: 17 рублей.
6. Первоначально на доске написано число 1. Разрешается любое написанное на доске число умножить на 2 или переставить в нём цифры. Можно ли таким образом получить 209?
Решение. Эту задачу удобно решать с конца:
209 - 920 - 460 - 230 - 320 - 160 - 610 - 305 - 530 - 265 - 256 - 128 - 64 - 32 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.
Ответ: можно.