Делим единички

Apr 26, 2016 18:43

Пусть N - целое число, последняя цифра которого - семёрка. Докажите что существует число вида 111...111 (т.е., его десятичная запись состоит только из единичек), которое делится на N.

задачки, математика

Leave a comment

Comments 5

mathclimber April 27 2016, 00:29:25 UTC
Да, согласен. Но есть совсем элементарное решение... :)

Reply

relf April 27 2016, 00:42:54 UTC

Куда уж элементарнее? К тому же построение конструктивное и работает для всех последних цифр, когда есть решение (т.е. кроме 0 и 5).

Reply

mathclimber April 27 2016, 11:11:31 UTC
Ну, всё-таки, надо Теорему Эйлера знать. Лично я про неё совсем забыл уже.

А решение имелось в виду такое: рассмотрим числа 1, 11, 111, ..., 111...111, N+1 штуку. Очевидно, из них есть по крайней мере парочка, у которых остаток от деления на N один и тот же. Вычтем, получим число вида 111...111000...000, которое делится на N. Но, поскольку N не делится ни на 2, ни на 5, нули можно смело отбросить.

Reply


Leave a comment

Up