Краткая форма опровержения доказательств Кантора
Если не вдаваться в детали, для доказательства того, что вещественные числа нельзя занумеровать натуральными, Кантор для любого произвольного предполагаемого способа нумерации вещественных чисел даёт алгоритм построения некоторого «числа», которого не может быть среди занумерованных.
Построение этого «числа» - ключевой момент доказательства, поскольку именно при помощи рассуждений об этом числе, вроде бы построенном на базе предположения о возможности занумеровать все вещественные числа, опровергается это самое предположение и делается вывод, что верно обратное - то есть занумеровать вещественные числа невозможно.
Само по себе сие содержит логический изъян, поскольку для полноты доказательства недостаточно продемонстрировать, что некоторое предположение приводит к противоречию - кроме того, надо ещё доказать, что к противоречию не приводит отрицание этого предположения. Что совершенно не обязательно.
И сейчас будет как раз тот самый случай, когда отрицание предположения тоже приводит к противоречию.
Предположим, что доказательство Кантора верно и, таким образом, вещественные числа невозможно занумеровать.
Любой конечный текст любого конечного алфавита может быть сохранён в виде последовательности битов, то есть, по сути, любой такой текст всегда является натуральным числом в любой выбранной нами системе кодирования.
Впрочем, это не менее очевидно, если учесть, что любой символ n-значного алфавита (который может включать пробелы, переводы строк и т.п.) может считаться уникальной «цифрой» в n-значной системе счисления, а любой конечный текст, таким образом, будет позиционной записью натурального числа в этой системе. Причём каждый конечный текст соответствует уникальному числу и наоборот.
«Определением» числа мы будем считать что угодно, что с нашей точки зрения позволяет нам его идентифицировать. Например, «определением» можно считать, в том числе, алгоритм построения некоторого числа, что имеет некоторые натяжки, но, так и быть, мы можем допустить и такое тоже.
По техническим причинам любое определение - конечно. Иначе мы просто не могли бы им пользоваться в рассуждениях. Отдельно подчеркну: всегда конечно именно определение, то есть сам текст. Но совершенно не обязательно конечно то, что он определяет.
Мы можем выкинуть все тексты, которые не определяют что-либо, а из каждого набора определяющих одну и ту же сущность оставить какой-то один. Поскольку любое определение - натуральное число, полученное множество определений всё равно можно будет пронумеровать натуральными числами, ведь такие тексты являются подмножеством натуральных чисел в нашей «алфавитной» позиционной записи.
Теперь в качестве того самого, фигурирующего у Кантора, «произвольного способа нумерации вещественных чисел» выберем сопоставление вещественного числа его определению, если таковое вообще есть.
Отдельно отмечу: тут не предполагается, что для всего, что кто-то сочтёт «определением числа», может быть построено число. Напротив, в данном способе нумерации только те числа, которые могут быть построены, сопоставляются определениям.
Предположим, что доказательство Кантора верно и у некоторых чисел не может быть номеров. В нашем способе нумерации сие будет означать, что таким числам гарантированно не сопоставлено никакое определение, то есть его у них нет.
Кантор для доказательства предъявляет именно такое число - такое, у которого гарантированно не будет номера, однако его, с точки зрения Кантора, всё равно можно построить при любом способе нумерации.
То есть в нашем способе нумерации Канторовское число будет одним из тех, у которых нет и не может быть определения. В частности, определения в виде конечного алгоритма построения, описанного на каком-либо языке.
С этого момента у нас остаётся всего три возможных варианта:
Все три варианта говорят о том, что доказательство Кантора не может быть верным.
Либо минимум одна из принятых предпосылок приводит к противоречию. Причём ей не является предположение о возможности занумеровать вещественные числа, поскольку замена оной на её отрицание всё равно приводит к противоречию - противоречиво ещё что-то, кроме неё. А потому система предпосылок противоречива, независимо от данного предположения, то есть мы не можем в ней доказать истинность или ложность предположения о возможности занумеровать вещественные числа.
Либо в доказательстве дан алгоритм построения, который на самом деле ничего не строит и не определяет, и, следовательно, по такой сущности нельзя сделать никаких логических выводов - в том числе, опровергнуть предположение о возможности занумеровать вещественные числа.
Либо утверждение о несуществовании способа нумерации неверно, поскольку минимум один такой способ есть (а реально есть целое множество таких способов, поскольку языков и алфавитов, подходящих для этих целей, существует весьма много, а построить их можно ещё больше).
Доказательство о неравномощности множества и множества всех его подмножеств взаимно однозначно сводимо к доказательству неравномощности натуральных и вещественных чисел, но мы можем даже этим не пользоваться - нам достаточно заменить в вышеприведённых рассуждениях «нумерацию вещественных чисел» на «нумерацию элементов множества всех подмножеств множества натуральных чисел» и прийти к тому же выводу, но теперь уже не про «Канторовское число», а про «Канторовское множество».
Фактически, оба Канторовских доказательства - «самоуничтожающиеся». То есть, если они верны, то из этого следует, что они не могут быть верны. Такое, надо отметить, встречается очень нечасто, а потому вполне понятно, почему это могли не замечать столь долго.
P.S. Что интересно, использованное в статье сопоставление всех чисел, у которых есть определения, этим числам - оверкилл. В том смысле, что для опровержения описанным тут способом достаточно было бы сопоставить определения числам только для тех чисел, определения которых нам известны.
Это не был бы способ нумерации всех вещественных чисел, однако если повторить изложенные в статье рассуждения для этого случая, то выяснится, что даже в его рамках Канторовское число не может иметь номера, а потому либо его определение в принципе не может быть нам известно, либо оно не может быть построено, поскольку процесс его построения внутренне противоречив. Разумеется, второе гораздо более осмысленно, чем первое, и означает, что Канторовское число возможно построить не во всех случаях, а лишь в некоторых, и, таким образом, опровергать общий случай оно не может.
doc-файл
Построение этого «числа» - ключевой момент доказательства, поскольку именно при помощи рассуждений об этом числе, вроде бы построенном на базе предположения о возможности занумеровать все вещественные числа, опровергается это самое предположение и делается вывод, что верно обратное - то есть занумеровать вещественные числа невозможно.
Само по себе сие содержит логический изъян, поскольку для полноты доказательства недостаточно продемонстрировать, что некоторое предположение приводит к противоречию - кроме того, надо ещё доказать, что к противоречию не приводит отрицание этого предположения. Что совершенно не обязательно.
И сейчас будет как раз тот самый случай, когда отрицание предположения тоже приводит к противоречию.
Предположим, что доказательство Кантора верно и, таким образом, вещественные числа невозможно занумеровать.
Любой конечный текст любого конечного алфавита может быть сохранён в виде последовательности битов, то есть, по сути, любой такой текст всегда является натуральным числом в любой выбранной нами системе кодирования.
Впрочем, это не менее очевидно, если учесть, что любой символ n-значного алфавита (который может включать пробелы, переводы строк и т.п.) может считаться уникальной «цифрой» в n-значной системе счисления, а любой конечный текст, таким образом, будет позиционной записью натурального числа в этой системе. Причём каждый конечный текст соответствует уникальному числу и наоборот.
«Определением» числа мы будем считать что угодно, что с нашей точки зрения позволяет нам его идентифицировать. Например, «определением» можно считать, в том числе, алгоритм построения некоторого числа, что имеет некоторые натяжки, но, так и быть, мы можем допустить и такое тоже.
По техническим причинам любое определение - конечно. Иначе мы просто не могли бы им пользоваться в рассуждениях. Отдельно подчеркну: всегда конечно именно определение, то есть сам текст. Но совершенно не обязательно конечно то, что он определяет.
Мы можем выкинуть все тексты, которые не определяют что-либо, а из каждого набора определяющих одну и ту же сущность оставить какой-то один. Поскольку любое определение - натуральное число, полученное множество определений всё равно можно будет пронумеровать натуральными числами, ведь такие тексты являются подмножеством натуральных чисел в нашей «алфавитной» позиционной записи.
Теперь в качестве того самого, фигурирующего у Кантора, «произвольного способа нумерации вещественных чисел» выберем сопоставление вещественного числа его определению, если таковое вообще есть.
Отдельно отмечу: тут не предполагается, что для всего, что кто-то сочтёт «определением числа», может быть построено число. Напротив, в данном способе нумерации только те числа, которые могут быть построены, сопоставляются определениям.
Предположим, что доказательство Кантора верно и у некоторых чисел не может быть номеров. В нашем способе нумерации сие будет означать, что таким числам гарантированно не сопоставлено никакое определение, то есть его у них нет.
Кантор для доказательства предъявляет именно такое число - такое, у которого гарантированно не будет номера, однако его, с точки зрения Кантора, всё равно можно построить при любом способе нумерации.
То есть в нашем способе нумерации Канторовское число будет одним из тех, у которых нет и не может быть определения. В частности, определения в виде конечного алгоритма построения, описанного на каком-либо языке.
С этого момента у нас остаётся всего три возможных варианта:
- Мы пришли к противоречию - определение «Канторовского числа» дано в виде конечного текста, однако из рассуждений следует, что такого текста не может быть.
- На самом деле, текст, которым описан процесс построения «Канторовского числа», только показался осмысленным - он не имеет смысла и никакого числа не определяет.
- При такой системе нумерации вещественные числа всё-таки можно занумеровать.
Все три варианта говорят о том, что доказательство Кантора не может быть верным.
Либо минимум одна из принятых предпосылок приводит к противоречию. Причём ей не является предположение о возможности занумеровать вещественные числа, поскольку замена оной на её отрицание всё равно приводит к противоречию - противоречиво ещё что-то, кроме неё. А потому система предпосылок противоречива, независимо от данного предположения, то есть мы не можем в ней доказать истинность или ложность предположения о возможности занумеровать вещественные числа.
Либо в доказательстве дан алгоритм построения, который на самом деле ничего не строит и не определяет, и, следовательно, по такой сущности нельзя сделать никаких логических выводов - в том числе, опровергнуть предположение о возможности занумеровать вещественные числа.
Либо утверждение о несуществовании способа нумерации неверно, поскольку минимум один такой способ есть (а реально есть целое множество таких способов, поскольку языков и алфавитов, подходящих для этих целей, существует весьма много, а построить их можно ещё больше).
Доказательство о неравномощности множества и множества всех его подмножеств взаимно однозначно сводимо к доказательству неравномощности натуральных и вещественных чисел, но мы можем даже этим не пользоваться - нам достаточно заменить в вышеприведённых рассуждениях «нумерацию вещественных чисел» на «нумерацию элементов множества всех подмножеств множества натуральных чисел» и прийти к тому же выводу, но теперь уже не про «Канторовское число», а про «Канторовское множество».
Фактически, оба Канторовских доказательства - «самоуничтожающиеся». То есть, если они верны, то из этого следует, что они не могут быть верны. Такое, надо отметить, встречается очень нечасто, а потому вполне понятно, почему это могли не замечать столь долго.
P.S. Что интересно, использованное в статье сопоставление всех чисел, у которых есть определения, этим числам - оверкилл. В том смысле, что для опровержения описанным тут способом достаточно было бы сопоставить определения числам только для тех чисел, определения которых нам известны.
Это не был бы способ нумерации всех вещественных чисел, однако если повторить изложенные в статье рассуждения для этого случая, то выяснится, что даже в его рамках Канторовское число не может иметь номера, а потому либо его определение в принципе не может быть нам известно, либо оно не может быть построено, поскольку процесс его построения внутренне противоречив. Разумеется, второе гораздо более осмысленно, чем первое, и означает, что Канторовское число возможно построить не во всех случаях, а лишь в некоторых, и, таким образом, опровергать общий случай оно не может.
doc-файл