Отчаявшись
Апдейт спустя неделю, от меня.
Перед тем как браться за решение, пожалуйста, прочтите вот это. Можете считать регламентом, ибо сил больше нет.
Дано: треугольник АВС, равнобедренный, угол при вершине 80 градусов. На площади треугольника произвольно взята точка D, от которой проведены отрезки к вершинам. В получившемся треугольнике АDС угол DАС равен 10 градусам, угол DСА - 30 градусам. Требуется найти угол ВDС (ну, или ВDА, всё равно).
Это школьная задача к экзамену по геометрии за 6 класс. Вчера вечером, когда добрый malsinc угощал халявщиков постоянных посетителей СК корюшкой, привезённой им с болот, злокозненный и нарочно трезвый nihao_62 как бы невзначай вбросил чортову головоломку в массы. В результате следующие два часа нажравшаяся рыбы публика, в том числе двое математиков с профильным образованием, билась над задачкой, угорая от стыда. Угорели, испортили мне полблокнота (все ж с айпадами ходят, одна я, как лох педальный, до сих пор ручкой по бумаге пишу), но не решили.
Дорогие товарищи, вы, вероятно, уже догадались, что я это пишу не просто так, а с целью смутить умы. Сразу говорю: теорему синусов не предлагать, это шестой класс. Более-менее релевантных предположений два: а) в задаче не хватает одного условия, и б) почтенная публика запамятовала какую-то простую теоремку о свойствах равнобедренных треугольников, что всё равно срамота, ибо все они элементарно выводятся. Среди возможных решений наиболее реалистичным было "начертить и померить транспортиром", но, как вы догадываетесь, на экзамене за это выпилят, а сдавать надо.
Предложения и пожелания милости прошу в комменты. За слова "теорема Ферма", "Перельман" и "надо выпить треугольник" буду пиздить веником, не отходя от кассы.
Слава, рыба была божественна. Прости, что испортили тебе вечер.
Матан зло.
Апдейт от falcao:В таких случаях бывает достаточно построить какие-то дополнительные точки, при которых возникают равносторонние треугольники.
Здесь это можно сделать так: пусть E -- такая точка, для которой углы ABE и BAE равны 60 градусам. Поскольку в треугольнике ABC углы при основании составляют по (180-80)/2=50 градусов, то угол EAC оказывается равен 60-50=10 градусам, а угол CBE составляет 80-60=20 градусов.
Поскольку построенный треугольник ABE равносторонний, то AB=BE. Однако мы также знаем, что AB=BC. Значит, BE=BC, и треугольник CBE равнобедренный с углом 20 градусов при вершине. Следовательно, каждый из его углов при основании равен (180-20)/2=80 градусам. Тем самым, угол ACE равен 80-50=30 градусам, как и угол ACD. Поэтому в четырёхугольнике ADCE диагональ AC будет осью симметрии, а диагональ DE ей перпендикулярна.
Рассмотрим треугольник CDE, который также симметричен относительно AC. Поэтому CD=CE, а угол C этого треугольника разбивается прямой AC на два угла в 30 градусов. Отсюда понятно, что CDE -- равносторонний.
Теперь посмотрим на треугольник BCE. Его углы равны 20, 80 и 80 градусов. Внутри него имеется правильный треугольник DCE, откуда понятно, что BD -- ось симметрии обоих этих треугольников. При этой симметрии углы BDC и BDE переходят друг в друга, то есть каждый из них равен (360-60)/2=150 градусов (здесь мы из полного угла сначала вычли угол CDE в 60 градусов).
Ответ: 150 градусов.
Апдейт второй от zenturion (в высокоучёных спорах я участвовать не буду по природному скудоумию, желающие могут читать со второй страницы, где установили, что в доказательстве есть дырка):
назовем центральную точку E, основание высоты F
ECA = 30
FEC = 180-90-30 = 60
BED = 180-60 = 120
EBD = (180 - 120)/2 = 30
DBC = 40-30 = 10
BDC = 180 - 20 - 10 = 150
И к нему уточняющее дополнение от johnlime:построения:
1. BF перпенд. AC
2. E = пересечение BF и продолжения CD
3. через D проведем DG параллельно АС, для определенности возьмем G на АЕ (жирная точка без имени на рисунке апдейта 2)
цель - вычислить все углы при точке D: 5 штук, включая искомый BDC
0: ADC=140
4. из п.1 АВЕ=40
5. из п.2 =>
5.1 треугольник АЕС = равнобедренный (все треугольники с основанием АС и вершиной на BF равнобедренные)
=> угол АЕС = 120 (у основания 30).
5.2 BED=120 как смежный с FEC=60 (FEC=60 в прямоугольном треугольнике EFC)
5.3 BEA=120 как образующий 360 с BED+AED
6.из п.3
6.1. угол EDG = 30 (не знаю какое правильное слово: т.к. ЕС пересекает параллельные DG и АС под одним углом)
6.2. угол GDА = DAC = 10 - внутренние накрест лежащие при параллельных DG и АС и секущей AD.
=> угол EDA = EDG + GDА = 40
7. у треугольников АВЕ и АDE: АЕ-общая, АЕВ=АЕD=120, ABE=ADE=40, значит они равны.
=> BE=DE
=> EBD - равнобедренный
=> BDE = (180-120)/2 = 30
ну вот теперь все 4 нужных угла найдены, ищем 5-й:
BDC = 360-140-10-30-30
Апдейт третий, от tyrex:
Нужно построить равносторонний треугольник на основании AC. тогда будет очевидно из равенства треугольников понятно каких, что треугольник ABD симметричен относительно биссектрисы угла BAD, то есть, является равнобедренным. отсюда угол BDA=70 получается автоматически.
Дорогие друзья, я не в состоянии проверить это вот прямо сейчас, я устала. Сделайте одолжение, порисуйте сами и, если всё верно, скажите человеку обоим спасибо. С моей стороны, всем спасибо за бесценный опыт. Больше о математике ни слова, никогда, ни за что, ни под каким видом. Я не знала, что вас тут тыщи.
Перед тем как браться за решение, пожалуйста, прочтите вот это. Можете считать регламентом, ибо сил больше нет.
Дано: треугольник АВС, равнобедренный, угол при вершине 80 градусов. На площади треугольника произвольно взята точка D, от которой проведены отрезки к вершинам. В получившемся треугольнике АDС угол DАС равен 10 градусам, угол DСА - 30 градусам. Требуется найти угол ВDС (ну, или ВDА, всё равно).
Это школьная задача к экзамену по геометрии за 6 класс. Вчера вечером, когда добрый malsinc угощал халявщиков постоянных посетителей СК корюшкой, привезённой им с болот, злокозненный и нарочно трезвый nihao_62 как бы невзначай вбросил чортову головоломку в массы. В результате следующие два часа нажравшаяся рыбы публика, в том числе двое математиков с профильным образованием, билась над задачкой, угорая от стыда. Угорели, испортили мне полблокнота (все ж с айпадами ходят, одна я, как лох педальный, до сих пор ручкой по бумаге пишу), но не решили.
Дорогие товарищи, вы, вероятно, уже догадались, что я это пишу не просто так, а с целью смутить умы. Сразу говорю: теорему синусов не предлагать, это шестой класс. Более-менее релевантных предположений два: а) в задаче не хватает одного условия, и б) почтенная публика запамятовала какую-то простую теоремку о свойствах равнобедренных треугольников, что всё равно срамота, ибо все они элементарно выводятся. Среди возможных решений наиболее реалистичным было "начертить и померить транспортиром", но, как вы догадываетесь, на экзамене за это выпилят, а сдавать надо.
Предложения и пожелания милости прошу в комменты. За слова "теорема Ферма", "Перельман" и "надо выпить треугольник" буду пиздить веником, не отходя от кассы.
Слава, рыба была божественна. Прости, что испортили тебе вечер.
Матан зло.
Апдейт от falcao:В таких случаях бывает достаточно построить какие-то дополнительные точки, при которых возникают равносторонние треугольники.
Здесь это можно сделать так: пусть E -- такая точка, для которой углы ABE и BAE равны 60 градусам. Поскольку в треугольнике ABC углы при основании составляют по (180-80)/2=50 градусов, то угол EAC оказывается равен 60-50=10 градусам, а угол CBE составляет 80-60=20 градусов.
Поскольку построенный треугольник ABE равносторонний, то AB=BE. Однако мы также знаем, что AB=BC. Значит, BE=BC, и треугольник CBE равнобедренный с углом 20 градусов при вершине. Следовательно, каждый из его углов при основании равен (180-20)/2=80 градусам. Тем самым, угол ACE равен 80-50=30 градусам, как и угол ACD. Поэтому в четырёхугольнике ADCE диагональ AC будет осью симметрии, а диагональ DE ей перпендикулярна.
Рассмотрим треугольник CDE, который также симметричен относительно AC. Поэтому CD=CE, а угол C этого треугольника разбивается прямой AC на два угла в 30 градусов. Отсюда понятно, что CDE -- равносторонний.
Теперь посмотрим на треугольник BCE. Его углы равны 20, 80 и 80 градусов. Внутри него имеется правильный треугольник DCE, откуда понятно, что BD -- ось симметрии обоих этих треугольников. При этой симметрии углы BDC и BDE переходят друг в друга, то есть каждый из них равен (360-60)/2=150 градусов (здесь мы из полного угла сначала вычли угол CDE в 60 градусов).
Ответ: 150 градусов.
Апдейт второй от zenturion (в высокоучёных спорах я участвовать не буду по природному скудоумию, желающие могут читать со второй страницы, где установили, что в доказательстве есть дырка):
назовем центральную точку E, основание высоты F
ECA = 30
FEC = 180-90-30 = 60
BED = 180-60 = 120
EBD = (180 - 120)/2 = 30
DBC = 40-30 = 10
BDC = 180 - 20 - 10 = 150
И к нему уточняющее дополнение от johnlime:построения:
1. BF перпенд. AC
2. E = пересечение BF и продолжения CD
3. через D проведем DG параллельно АС, для определенности возьмем G на АЕ (жирная точка без имени на рисунке апдейта 2)
цель - вычислить все углы при точке D: 5 штук, включая искомый BDC
0: ADC=140
4. из п.1 АВЕ=40
5. из п.2 =>
5.1 треугольник АЕС = равнобедренный (все треугольники с основанием АС и вершиной на BF равнобедренные)
=> угол АЕС = 120 (у основания 30).
5.2 BED=120 как смежный с FEC=60 (FEC=60 в прямоугольном треугольнике EFC)
5.3 BEA=120 как образующий 360 с BED+AED
6.из п.3
6.1. угол EDG = 30 (не знаю какое правильное слово: т.к. ЕС пересекает параллельные DG и АС под одним углом)
6.2. угол GDА = DAC = 10 - внутренние накрест лежащие при параллельных DG и АС и секущей AD.
=> угол EDA = EDG + GDА = 40
7. у треугольников АВЕ и АDE: АЕ-общая, АЕВ=АЕD=120, ABE=ADE=40, значит они равны.
=> BE=DE
=> EBD - равнобедренный
=> BDE = (180-120)/2 = 30
ну вот теперь все 4 нужных угла найдены, ищем 5-й:
BDC = 360-140-10-30-30
Апдейт третий, от tyrex:
Нужно построить равносторонний треугольник на основании AC. тогда будет очевидно из равенства треугольников понятно каких, что треугольник ABD симметричен относительно биссектрисы угла BAD, то есть, является равнобедренным. отсюда угол BDA=70 получается автоматически.
Дорогие друзья, я не в состоянии проверить это вот прямо сейчас, я устала. Сделайте одолжение, порисуйте сами и, если всё верно, скажите человеку обоим спасибо. С моей стороны, всем спасибо за бесценный опыт. Больше о математике ни слова, никогда, ни за что, ни под каким видом. Я не знала, что вас тут тыщи.