парадокс ТВ

[kulivets]

Пару дней назад прочитал в книжке Мартина Гарднера "Математические головоломки и развлечения" очередной любопытный парадокс теории вероятностей, вообще говоря, весьма богатой на парадоксы. Приведу цитату из книги:
"Мистер Смит сообщает, что у него двое детей и по крайней мере один из них мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок мистера

Comments

[o_nik_s]

*Долго думала...*

Мне думается, что здравый смысл ассоциирует "второй ребенок" с "младшим ребенком". А это возможно только когда ММ и МД, т.е. 1/2.

А вот при постановке вопроса "Какова вероятность того, что оба ребёнка мистера Смита - мальчики?" (что по сути то же самое, но совсем по другому сформулировано) он бы уже считал по другому.

ИМХО

[kulivets]

Здравый смысл тут явно подводит. Думаю ты права, что формулировка "Какова вероятность того, что второй ребёнок мистера Смита тоже мальчик?" толкает его на неправильное решение. Начинает казаться, что независимо от первого факта, он либо мальчик, либо девочка с одинаковой вероятностью. Прямо как в широко известном приколе о том, что вероятность встретить на улице динозавра = 1/2. :D
Меня в этой задаче не так сильно удивил ответ 1/3 (я конечно ошибся бы, но их объяснение кажется мне понятным), сколько тот факт, что, например, если бы Смит сказал, что мальчик это тот, чей вес(рост) больше(меньше), а может и номер в году месяца рождения больше (вариантов можно придумать массу). То вероятность того, что второй ребёнок -- мальчик выросла бы с 1/3 до 1/2. Вот как важна возможность упорядочения в ТВ! Это как-то в голове до конца не уложилось...

[o_nik_s]

Дык сейчас у нас информация о "совместном" событии (мальчиком м.б. либо один либо второй, причем какой именно - неизвестно), а будет - о независимых. Т.е. какая разница мальчик или девочка первый ребенок - мы просто ищем вероятность рождения мальчика - а это 1/2. Была условная вероятность с зависимыми событиями, получили - "безусловную" (ну или условную с независимыми событиями).
По-моему так.

[o_nik_s]

Или если по формуле условной вероятности

[v_paranoid]

Думаю, что ряд ММ, МД, ДМ вербализуется так:
ММ - по кр.мере один мальчик, и второй тоже мальчик
МД - по кр.мере один мальчик,
ДМ - по кр.мере один мальчик.
Таким образом МД и ДМ тождественны а значит никакой 1/3 нет. По первому вопросу получаем честную 1/2.

Возможно текст некорректно переведен?
Или мне стоит перечитать теорвер )))

[kulivets]

Пусть нужно рассчитать вероятность того, что при выбросе двух кубиков выпадут числа в сумме равные 6. Если упорядочить кубики, то нас устроят варианты 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1. Всего возможных вариантов 6*6=36. Вероятность равна 4/36 = 1/9.
По твоей логике получается, что варианты 1+5 и 5+1, а также 2+4 и 4+2 попарно неразличимы (так как порядок ты предлагаешь не учитывать). И вероятность будет равна 3/36 = 1/12. Я правильно тебя понял?

[v_paranoid]

Похоже на то )

[v_paranoid]

Не, не похоже. Если учитывать попарно неразличимые варианты, то всего вариантов будет меньше 36.

[skamsk2]

Всё так сложно в задачке... 2 ребёнка, один из них точно мальчик. Другой или мальчик или девочка - значит 1/2!

[kulivets]

:-) Нет, не 1/2, так только кажется.
Пусть вероятность рождения мальчика такая же, как вероятность рождения девочки и равна 1/2 (или 50%). Будем рассматривать все семьи, в которых по два ребёнка. Тогда в среднем,
25% семей будут иметь старшую дочь и младшую дочь (ДевочкаДевочка),
25% семей старшую дочь и младшего сына (ДевочкаМальчик),
25% семей старшего сына и младшую дочь (МальчикДевочка) и
25% семей старшего сына и младшего сына (МальчикМальчик).
Теперь мы случайно взяли семью с двумя детьми, и оказалось, что один из детей (старший или младший, неизвестно) мальчик. Какова вероятность того, что второй тоже мальчик? Из приведенных выше групп видно, что в 50% семей второй будет девочка и только в 25% второй мальчик.
По законам теории вероятностей нужно составить дробь:
Доля_интересующих_нас_случаев/Доля_всех_случаев_которые_удовлетворяют_заданному_условию =
МальчикМальчик/(ДевочкаМальчик+МальчикДевочка+МальчикМальчик) = 25%/(25%+25%+25%) = 1/3.

[v_paranoid]

Если вероятность рождения = 1/2 и мы стали упорядочивать детей,
то надо считать не вероятность "иметь старшую дочь И младшую дочь",
а вероятность "после рожения дочери, родить еще одну дочь" - а она, видимо, ниже.

Запутался :-)
Вроде когда мы переходим к серии событий, то конкретная серия сама становится "метасобытием". И надо условную вероятность считать.

[v_paranoid]

Понял, что меня смущает в исходной задаче!
Фраза "перебрав три равновероятных возможности -- ММ, МД, ДМ".
Они не равновероятные.

Назад в будущее )

[v_paranoid]

Пошуршав по сети, выяснил, что:

1. Мартин Гарднер признал неточность/неоднозначность формулировки своего вопроса и позже опубликовал более развернуто и вопрос и решения.

2. Общественность и математики продолжают обсуждать эту задачку и ее вариации с разных сторон :-)))

Приведу свой перевод одного из объяснений Гарднера:
Возьмем произвольно семью с 2 детьми; пусть отец - мр.Смит.
Положим, что если в семье два мальчика, то Смит говорит, "По кр.мере один из них мальчик".
Если в семье две девочки, Смит говорит, "По кр.мере одна из них девочка".
Если в семье мальчик и девочка, то Смит подбрасывает монетку, т.е. произвольно говорит либо про мальчика - либо про девочку.
В такой формулировке задача имеет ответ - 1/2.

Забавно, что есть варианты задачи с мальчикоцентрированным Смитом и с девочкоцентрированным :-)

Вот интересная статья
http://arxiv.org/pdf/1102.0173.pdf
викиhttp://en.wikipedia.org/