Ищу продолжение

[janka_x]

Небольшой только фрагмент из архива в новой интерпретации, требуется доказать существование инварианта. На последней картинке соседние хорды пересекаются под углом 45°. Какой следующий член этой последовательности задач? Пока не нашел.
[См. дальше]

Comments

[gaz_v_pol]

В выпуклом многоугольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей к сторонам равна нулю.

Источник: Прасолов В.В. "Задачи по планиметрии.", задача 13.19 (ссылка)

Аналогичное утверждение верно в пространстве. В выпуклом многограннике сумма расстояний от любой внутренней точки до граней постоянна тогда и только тогда, когда сумма векторов единичных внешних нормалей к граням равна нулю.

Было бы интересно найти критерий -- если один n-угольник лежит внутри другого, при каких обстоятельствах сумма площадей частей как у Вас в примере 3 не зависит от расположения. (ответ мне не известен)

[janka_x]

Я пробовал искать такие многоугольники, но похоже, что указанное свойство имеет место только для правильных 2n-угольников.

Я хочу скачать X Rumer 7.0.10 Elite?

[anonymous]

Я хочу бесплатно xrumer 7.0.10 Elite?
Дайте мне адрес , пожалуйста!
Это лучшая программа для массового размещения на форумах ! XRumer может сломать большинство видов каптч !

[manzga]

Пусть на плоскости задан произвольный выпуклый n-угольник A1…An и произвольная точка O. Ориентированным расстоянием от точки O до стороны AiA(i+1) назовем число h(O,i), такое, что | h(O,i)| равен расстоянию от точки О до прямой (AiA(i+1)), а sgn(h(O,i)) = 1, если точка О и многоугольник A1…An лежат в одной полуплоскости относительно прямой (AiA(i+1)) и -1 в противном случае.

В сделанных обозначениях площадь многоугольника A1…An вычисляется по формуле

S(A1…An) = Const*sum((|AiA(i+1)|*h(O,i)),i,1,n) (*)
Точно Const не помню, но, вроде, 1/3.

Если A1…An - правильный n-угольник, то (*) сокращается на |AiA(i+1)| и получается, что в любом правильном n-угольнике сумма ориентированных расстояний от любой точки плоскости до его сторон постоянна и равна (1/Const)*S(A1…An)/|AiA(i+1)|.

[manzga]

Я немного подумал и пришел к выводу, что формула (*) справедлива для любого n-угольника без самопересечений. Т.о. для того, что бы сума ориентированных расстояний до произвольной точки плоскости для данного n-угольника была постоянной достаточно, что бы длины всех его сторон были равны.

Аналогично для трехмерного случая достаточно, что бы площади всех граней были равны.

[janka_x]

Да, с ориентированными расстояниями у Вас интересно. Спасибо за формулу! Я это использовал для построения моделей в GSP. Сумма расстояний от внутренней точки до сторон будет постоянной и для равноугольных многоугольников. А для внешних точек я и не смотрел ещё. Если рассмотреть правильный треугольник и точку плоскости, то ей можно сопоставить ориентированные расстояния, которые называют трилинейными координатами, где-то про это читал. Но вот интересно, где их можно применить ещё, в каких других задачах?

[manzga]

Ориентированные расстояния можно использовать при построении кратного интеграла Римана, больше я, вроде, с ними не сталкивался.

Срочный ремонт холодильников в Москве и ближайшем Под

[anonymous]

Срочный ремонт холодильников в Москве и ближайшем подмосковье.
Без выходных и праздников. 24 часа. Умеренные цены, качество, гарантия до 3-х лет, скидки льготникам.
Выезд мастера в день подачи заявки.
Тел. (495) 220-31-78. Ждем Вас на нашем сайте http://remholod.msk.ru/

Избрание видео камеры

[anonymous]

Водонепроницаемая экшен-камера. Целиком новая, компактная и в своём роде уникальная [url=http://www.centroline.ru видеокамера[/url] для экстремальных видов спорта и активного отдыха.Она представляет собой мини-камеру, которая позволят вам отсылать записанное фото и видео торчком для особенный айфон, смартфон разве планшетный компьютер, а также позволяет воззриться в режиме реального времени по каналу беспроводной связи Wi-Fi.