Проблема Кондо
Это - попытка выполнить данное как-то sowa обещание и попробовать рассказать математикам (и сочувствующим) о современной теоретической физике.
Я выбрал проблему Кондо, которая удовлетворяет обоим условиям, уместным как предпосылки такого рассказа:
1. Она на самом деле важна в современной теоретической физике и стимулировала развитие методов квантовой теории многих частиц как, пожалуй, никакая другая задача. В то же время, она сравнительно малоинтересна для приложений и, тем самым, представляет собой чистый случай задачи, интересной по внутренним причинам.
2. Я ее люблю. Первую работу по проблеме Кондо написал в 1981 году, с тех пор регулярно ей занимался (наряду с другими делами). Одной из работ (work) по этой теме я, в основном, обязан своей нынешней работой (job) и связанным с ней относительным благополучием.
Предпосылки для дальнейшего
Я считаю известным, что:
1.Состояние многоэлектронной системы описывается антисимметричной волновой функцией, которая, в случае невзаимодействующих электронов, может быть представлена как слэтеровский детерминант, построенный из одноэлектронных функций соответствующей задачи.
2.Проекция спина (внутреннего углового момента) электрона на произвольное направление может принимать только два значения, вверх или вниз.
3.Электроны в металле описываются состояниями, соответствующими более-менее свободному движению. Состояния с наинизшей энергией заняты, причем в каждом состоянии с заданным импульсом может находиться не более двух электронов, отличающихся проекцией спина. Энергия последнего занятого состояния (или первого свободного, для металла это одно и тоже, так как спектр непрерывный) называется энергией Ферми.
4.В идеальной кристаллической решетке при температуре равной нулю электроны в металле движутся без всякого сопротивления. Последнее определяется рассеянием электронов на дефектах (скажем, примесях - атом золота, замещающий атом меди, и т.п.) и на тепловых колебаниях атомов - фононах. С ростом температуры сопротивление металла, в норме, растет, так как растет амплитуда атомных колебаний, на которых рассеиваются электроны.
На самом деле (и это было известно экспериментально с начала двадцатого века) сопротивление некоторых (даже большинства) металлов при достаточно низких температурах обращается в ноль. Это - явление сверхпроводимости, куда более известное, чем «эффект Кондо», но с теоретической точки зрения, пожалуй, более простое.
В экспериментах, выполненных в 1930х, обнаружилось, что сопротивление благородных металлов (медь, золото, серебро - они не сверхпроводящие) при сильном понижении температуры не исчезает, как при сверхпроводимости, и даже не уменьшается, как предписывали стандартные теории (меньше фононов - меньше источников рассеяния), а, наоборот, растет. По этому поводу выдвигались самые фантастические идеи, вплоть до утверждения о некоем непонятном законе природы, в силу которого, если сопротивление при нулевой температуре не обращается в ноль (сверхпроводимость), оно должно обращаться в бесконечность. Все это оказалось ерундой. Выяснилось, что подрост сопротивления всегда невелик. Более того, выяснилось, что эффект зависит от чистоты образца и, скорее всего, не является внутренним свойством металлов, а зависит от примесей. Тут надо сказать, что большинство теоретиков (не говорю о белоручках из фундаментальной физики, говорю о скромных рабочих лошадках из конденсированного состояния) на дух не переносят «грязи» и дефектов и, если явление связано с ними, теряют к нему всякий интерес.
В 1964 году японский теоретик Кондо рассмотрел задачу о рассеянии электронов в металле на магнитной примеси, то есть, на примеси с нескомпенсированным спином и магнитным моментом (например, железо, кобальт или марганец в золоте, серебре или меди). Взаимодействие электронного спина со спином примеси он считал малым (такое взаимодействие - оно называется s-d обменным - было введено в науку в 1946 году С.В.Вонсовским). Кондо поэтому использовал, как обычно, теорию возмущений (в квантовой механике она называется борновским приближением). Было уже известно, что в ведущем порядке (втором, так как первый зануляется) ничего интересного не происходит - обычная добавка к постоянному (не зависящему от температуры) электросопротивлению, как для простых, немагнитных примесей. Кондо рассмотрел следующий, третий порядок, и обнаружил, что соответствующая поправка логарифмически зависит от температуры, а при температуре, стремящейся к нулю, формально стремится к бесконечности, что означает неприменимость теории возмущений. Температура, при которой это случается (поправка сравнивается с ведущим членом разложения) получила название температуры Кондо.
Работа Кондо объяснила (после 30 с лишним лет непоняток) рост сопротивления с понижением температуры. Осталось, однако, понять, каков все-таки физический механизм, ответственный за этот рост, и что делать при температурах ниже кондовской, когда теория возмущений не работает.
Следующий важный шаг был сделан почти сразу, независимо - советским (тогда) теоретиком Абрикосовым и американцем Сулом. Воспользовавшись известным из квантовой теории поля методом суммирования расходимостей, они показали, что при температуре Кондо возникает резонанс в электронном рассеянии - электрон как бы эффективно «прилипает» к примеси. Однако, использованный ими метод был необоснован (ниоткуда не следовало, что отброшенные члены менее важны, чем те, что учитывались при суммировании), не описывал корректно, как скоро выяснилось, поведение при низких температурах и не прояснял физический смысл происходящего. В частности, было совершенно непонятно, что происходит со спином примеси.
Через пару лет Фил Андерсон открыл совершенно поразительное математическое явление (оно называется андерсоновская катастрофа ортогональности), которое явилось ключом к пониманию и «проблемы Кондо», и многих других родственных задач (таких как «краевая сингулярность в рентгеновских спектрах»… в общем, многих). Суть дела вот в чем. Теория возмущений основана на предположении, что состояние возмущенной системы мало отличается от состояния невозмущенной. Рассмотрим два основных состояния невзаимодействующих электронов, два слэтеровских детерминанта. Один соответствует свободным электронам, другой - электронам, рассеянным некоторым статическим, локализованным в пространстве потенциалом. Оказывается, в пределе большого числа электронов перекрытие этих двух состояний в точности равно нулю! Равно нулю, вообще говоря, также и перекрытие между состояниями, соответствующими двум разным потенциалам.
Что происходит, когда электрон с энергией, равной энергии Ферми, подлетает к магнитной примеси? Допустим, у него спин направлен вверх, а у примеси вниз. В результате s-d обменного взаимодействия оба спина перевернулись (при сохранении, понятно, полного спина). Но изменение состояния примеси, в силу катастрофы ортогональности, означает полную перестройку состояния всей остальной многоэлектронной системы! Это значит, что, несмотря на то, что электроны считаются невзаимодействующими, задача существенно многочастичная. Более того, она существенно затрагивает все электроны. Число Авогадро электронов, и все важны. И как такое решать?
Если задача многочастичная и не решается точно, в современной теорфизике есть, в общем, только две стратегии: среднее поле и ренормгруппа (группа перенормировок - в действительности, полугруппа, обратные операции обычно не определены). Среднее поле - это когда эффективное число степеней свободы, реально важных для поведения системы, конечно. Здесь не тот случай. Просто выбросить бесконечно много степеней свободы не удается, они все важны. Но, как понял Андерсон (с соавторами), можно рассмотреть последовательность выбрасываний части степеней свободы. Эта последовательность обладает полугрупповыми свойствами, и можно сказать (они смогли это только качественно), к какому состоянию мы придем после бесконечного числа преобразований. В контексте проблемы Кондо, оказалось, что магнитная примесь становится немагнитной - ее спин в точности компенсируется «шубой» налипших (вспомним о сул-абрикосовском резонансе!) электронов. Шел 1970 год.
Еще через четыре года Кеннет Вильсон сделал из ренормгруппы количественный метод и нашел "численно точное" решение проблемы Кондо. Это было одно из первых применений «по делу» компьютеров в теорфизике. В этом смысле, успех работы Вильсона имел колоссальные последствия. В параллель, Вильсон применил похожую программу к теории «критического поведения», решив одну из самых сложных и самых важных проблем статистической физики, но это другая история. Я хочу подчеркнуть просто, что ноги тут проросли из малосущественной, на первый взгляд, особенности сопротивления некоторых металлов за счет «грязи».
Продолжение следует, если на то будет народная воля
Я выбрал проблему Кондо, которая удовлетворяет обоим условиям, уместным как предпосылки такого рассказа:
1. Она на самом деле важна в современной теоретической физике и стимулировала развитие методов квантовой теории многих частиц как, пожалуй, никакая другая задача. В то же время, она сравнительно малоинтересна для приложений и, тем самым, представляет собой чистый случай задачи, интересной по внутренним причинам.
2. Я ее люблю. Первую работу по проблеме Кондо написал в 1981 году, с тех пор регулярно ей занимался (наряду с другими делами). Одной из работ (work) по этой теме я, в основном, обязан своей нынешней работой (job) и связанным с ней относительным благополучием.
Предпосылки для дальнейшего
Я считаю известным, что:
1.Состояние многоэлектронной системы описывается антисимметричной волновой функцией, которая, в случае невзаимодействующих электронов, может быть представлена как слэтеровский детерминант, построенный из одноэлектронных функций соответствующей задачи.
2.Проекция спина (внутреннего углового момента) электрона на произвольное направление может принимать только два значения, вверх или вниз.
3.Электроны в металле описываются состояниями, соответствующими более-менее свободному движению. Состояния с наинизшей энергией заняты, причем в каждом состоянии с заданным импульсом может находиться не более двух электронов, отличающихся проекцией спина. Энергия последнего занятого состояния (или первого свободного, для металла это одно и тоже, так как спектр непрерывный) называется энергией Ферми.
4.В идеальной кристаллической решетке при температуре равной нулю электроны в металле движутся без всякого сопротивления. Последнее определяется рассеянием электронов на дефектах (скажем, примесях - атом золота, замещающий атом меди, и т.п.) и на тепловых колебаниях атомов - фононах. С ростом температуры сопротивление металла, в норме, растет, так как растет амплитуда атомных колебаний, на которых рассеиваются электроны.
На самом деле (и это было известно экспериментально с начала двадцатого века) сопротивление некоторых (даже большинства) металлов при достаточно низких температурах обращается в ноль. Это - явление сверхпроводимости, куда более известное, чем «эффект Кондо», но с теоретической точки зрения, пожалуй, более простое.
В экспериментах, выполненных в 1930х, обнаружилось, что сопротивление благородных металлов (медь, золото, серебро - они не сверхпроводящие) при сильном понижении температуры не исчезает, как при сверхпроводимости, и даже не уменьшается, как предписывали стандартные теории (меньше фононов - меньше источников рассеяния), а, наоборот, растет. По этому поводу выдвигались самые фантастические идеи, вплоть до утверждения о некоем непонятном законе природы, в силу которого, если сопротивление при нулевой температуре не обращается в ноль (сверхпроводимость), оно должно обращаться в бесконечность. Все это оказалось ерундой. Выяснилось, что подрост сопротивления всегда невелик. Более того, выяснилось, что эффект зависит от чистоты образца и, скорее всего, не является внутренним свойством металлов, а зависит от примесей. Тут надо сказать, что большинство теоретиков (не говорю о белоручках из фундаментальной физики, говорю о скромных рабочих лошадках из конденсированного состояния) на дух не переносят «грязи» и дефектов и, если явление связано с ними, теряют к нему всякий интерес.
В 1964 году японский теоретик Кондо рассмотрел задачу о рассеянии электронов в металле на магнитной примеси, то есть, на примеси с нескомпенсированным спином и магнитным моментом (например, железо, кобальт или марганец в золоте, серебре или меди). Взаимодействие электронного спина со спином примеси он считал малым (такое взаимодействие - оно называется s-d обменным - было введено в науку в 1946 году С.В.Вонсовским). Кондо поэтому использовал, как обычно, теорию возмущений (в квантовой механике она называется борновским приближением). Было уже известно, что в ведущем порядке (втором, так как первый зануляется) ничего интересного не происходит - обычная добавка к постоянному (не зависящему от температуры) электросопротивлению, как для простых, немагнитных примесей. Кондо рассмотрел следующий, третий порядок, и обнаружил, что соответствующая поправка логарифмически зависит от температуры, а при температуре, стремящейся к нулю, формально стремится к бесконечности, что означает неприменимость теории возмущений. Температура, при которой это случается (поправка сравнивается с ведущим членом разложения) получила название температуры Кондо.
Работа Кондо объяснила (после 30 с лишним лет непоняток) рост сопротивления с понижением температуры. Осталось, однако, понять, каков все-таки физический механизм, ответственный за этот рост, и что делать при температурах ниже кондовской, когда теория возмущений не работает.
Следующий важный шаг был сделан почти сразу, независимо - советским (тогда) теоретиком Абрикосовым и американцем Сулом. Воспользовавшись известным из квантовой теории поля методом суммирования расходимостей, они показали, что при температуре Кондо возникает резонанс в электронном рассеянии - электрон как бы эффективно «прилипает» к примеси. Однако, использованный ими метод был необоснован (ниоткуда не следовало, что отброшенные члены менее важны, чем те, что учитывались при суммировании), не описывал корректно, как скоро выяснилось, поведение при низких температурах и не прояснял физический смысл происходящего. В частности, было совершенно непонятно, что происходит со спином примеси.
Через пару лет Фил Андерсон открыл совершенно поразительное математическое явление (оно называется андерсоновская катастрофа ортогональности), которое явилось ключом к пониманию и «проблемы Кондо», и многих других родственных задач (таких как «краевая сингулярность в рентгеновских спектрах»… в общем, многих). Суть дела вот в чем. Теория возмущений основана на предположении, что состояние возмущенной системы мало отличается от состояния невозмущенной. Рассмотрим два основных состояния невзаимодействующих электронов, два слэтеровских детерминанта. Один соответствует свободным электронам, другой - электронам, рассеянным некоторым статическим, локализованным в пространстве потенциалом. Оказывается, в пределе большого числа электронов перекрытие этих двух состояний в точности равно нулю! Равно нулю, вообще говоря, также и перекрытие между состояниями, соответствующими двум разным потенциалам.
Что происходит, когда электрон с энергией, равной энергии Ферми, подлетает к магнитной примеси? Допустим, у него спин направлен вверх, а у примеси вниз. В результате s-d обменного взаимодействия оба спина перевернулись (при сохранении, понятно, полного спина). Но изменение состояния примеси, в силу катастрофы ортогональности, означает полную перестройку состояния всей остальной многоэлектронной системы! Это значит, что, несмотря на то, что электроны считаются невзаимодействующими, задача существенно многочастичная. Более того, она существенно затрагивает все электроны. Число Авогадро электронов, и все важны. И как такое решать?
Если задача многочастичная и не решается точно, в современной теорфизике есть, в общем, только две стратегии: среднее поле и ренормгруппа (группа перенормировок - в действительности, полугруппа, обратные операции обычно не определены). Среднее поле - это когда эффективное число степеней свободы, реально важных для поведения системы, конечно. Здесь не тот случай. Просто выбросить бесконечно много степеней свободы не удается, они все важны. Но, как понял Андерсон (с соавторами), можно рассмотреть последовательность выбрасываний части степеней свободы. Эта последовательность обладает полугрупповыми свойствами, и можно сказать (они смогли это только качественно), к какому состоянию мы придем после бесконечного числа преобразований. В контексте проблемы Кондо, оказалось, что магнитная примесь становится немагнитной - ее спин в точности компенсируется «шубой» налипших (вспомним о сул-абрикосовском резонансе!) электронов. Шел 1970 год.
Еще через четыре года Кеннет Вильсон сделал из ренормгруппы количественный метод и нашел "численно точное" решение проблемы Кондо. Это было одно из первых применений «по делу» компьютеров в теорфизике. В этом смысле, успех работы Вильсона имел колоссальные последствия. В параллель, Вильсон применил похожую программу к теории «критического поведения», решив одну из самых сложных и самых важных проблем статистической физики, но это другая история. Я хочу подчеркнуть просто, что ноги тут проросли из малосущественной, на первый взгляд, особенности сопротивления некоторых металлов за счет «грязи».
Продолжение следует, если на то будет народная воля