Ликбез: как рассчитывать доходность?

[fintraining]

Новости с образовательного фронта грустные. Жертвы ЕГЭ, не умеющие рассчитывать доходность, уже пробрались в Сбербанк.

Чтобы в этом убедиться, идем по ссылке на сайт "Сбербанк управление активами" и смотрим на их "калькуляторе" доходность фонда «Добрыня Никитич» за 10 лет с 31.12.1997 по 31.12.2007:

188,81% годовых !!!.

Как вам циферка, впечатляет?

Несложно сообразить, что они просто тупо считают годовую доходность как среднеарифметическую. Поступать так, конечно же, ни в коем случае нельзя.

А как надо? Давайте разбираться.

Процент

Прежде, чем начать разговор про доходность, определимся с двумя понятиями, которые часто вызывают путаницу.

Во-первых, определимся с тем, что такое «процент»?

Слово «процент» происходит от латинского «pro centrum» - «за сто». Главное значение слова «процент» - сотая доля числа, принимаемого за целое, единицу. Обозначается знаком «%».

Если вы в Excel введете в ячейку любое число без значка процента (например, «5»), а затем поменяете формат данной ячейки на «процентный», то увидите в ячейке число 500,00% (т.е. в сто раз больше). Если же вы введете в ячейку Excel число со значком процента (например, «8%»), а затем поменяете формат ячейки на «общий» или «числовой», то увидите в ячейке число «0,08» (т.е. в сто раз меньше).

Далее по тексту я буду время от времени приводить значения и в процентном формате, и в числовом. Если после числа стоит значок %, то, чтобы привести его к числовому формату, нужно разделить число на 100. Т.е. 20% = 0,2. Если же, наоборот, вы хотите число привести к процентному формату, то его нужно умножить на 100. Т.е. 1,1 = 110%.

Во-вторых, хочу обратить ваше внимание на то, как соотносятся между собой терминами «вырос на x%» и «вырос в y раз».

Изменение на x% означает изменение в (1 + x) раз. Например, фраза «индекс вырос на 10%» означает то же самое, что и «индекс изменился в 1,1 раза». Если цена выросла на 100%, значит, она выросла в два раза. Падение цены на акции на 25% (изменение -25%) эквивалентно изменению цены в 0,75 раз.

Аналогично, изменение в y раз эквивалентно изменению на (y - 1) %. При этом если y > 1, то говорят о росте на (y - 1)%, а если y < 1, то говорят о падении на (y - 1)%. Например, изменение в 1,15 раз - это то же самое, что изменение на +15% (или рост на 15%). Изменение в 0,8 раз - это изменение на -20% (минус двадцать процентов) или падение на 20%.

Простой и сложный процент

Напомню вкратце разницу между простым и сложным процентом.


Пример 1

Предположим, что какой-то актив растет на 10% в год (то есть имеет доходность 10% годовых). Вы инвестируете в указанный актив 100 рублей. Какую сумму вы будете иметь через два года?

Если вы думаете, что у вас будет 120 рублей, то вы, безусловно, ошибаетесь, забывая про сложный процент. Через год у вас будет сумма в 110 рублей, а вот 10% на втором году инвестиций будут отсчитываться уже от новой суммы в 110 рублей, поэтому через два года вы будете иметь уже 121 рубль.

Сложный процент подразумевает реинвестирование капитала, поэтому при инвестициях, подчиняющихся принципу сложного процента, капитал увеличивается экспоненциально. Простой процент не предполагает реинвестирования капитала, поэтому капитал растет линейно.

Однако экспоненциальное увеличение капитала наблюдается не только в случае явного начисление «процентов на проценты», как в случае с банковским депозитом. Экспоненциальный рост стоимости мы наблюдаем на длительных промежутках времени для любого рыночного актива. Например, стоимость акций, фондовых индексов, паев инвестиционных фондов, товаров на товарных рынках (золото, серебро, нефть, зерно и т.п.), недвижимости и т.п. на длительных периодах времени также напоминает экспоненту, подчиняясь правилу сложного процента.

Среднеарифметическая и среднегодовая доходность

Часто приходится решать обратную задачу.

Пример 2

Известно, что стоимость какого-то актива за два года выросла на 21%. Как рассчитать годовую доходность, которая позволила бы достичь такого результата?

Думаю, из примера выше очевидно, что напрашивающийся ответ «разделить 21 на 2» - неправильный. 21/2 = 10,5%. А, как мы уже знаем, правильный ответ - 10,0%.

В этом примере:

10,5% - среднеарифметическая доходность.
10,0% - среднегодовая доходность (часто также употребляют термин «средняя доходность в годовом исчислении» или «среднегеометрическая доходность»).

Как видите, это не одно и то же.

Чтобы это стало совсем очевидно, попробуйте ответить на следующий вопрос.

Допустим, в первый год стоимость актива увеличилась на 100% (изменение - +100%), а во второй год уменьшилась на 50% (изменение - -50%). Какова средняя доходность инвестиций в этот актив за два года? Очевидно, что среднеарифметическое «25%» - неверный ответ. Правильный ответ - 0%. Если сначала стоимость ваших активов сначала в два раза выросла (+100%), а затем в два раза упала (-50%), то в итоге она не изменилась.

Расчет среднегодовой доходности

Выведем формулу для расчета среднегодовой доходности.

• A(0) - исходное количество денег,
• А(n) - количество денег через n лет.
• x - годовая доходность (в процентах).

Значком «^» я далее буду обозначать возведение в степень.

Результат через 1 год = A(1) = A(0) * (1 + x)
Результат через 2 года = A(2) = A(1) * (1 + x) = A(0) * (1 + x)^2
Результат через 3 года = A(3) = A(2) * (1 + x) = A(0) * (1 + x)^3
...
Результат через n лет = A(n) = A(n-1) * (1 + x) = A(0) * (1 + x)^n

Единицы в формулах появились из-за того, что мы использовали в расчетах годовую доходность в процентном формате, (x) (т.е. мы рассматриваем изменение как рост на +10%, x = 0,1). Если же вместо этого мы используем изменение за год в разах (y) (т.е. мы рассматриваем изменение как рост в 1,1 раза, y = 1,1), то единицы из формул исчезнут:

• A(0) - исходное количество денег,
• А(n) - количество денег через n лет.
• y - ежегодное изменение (в разах)

Результат через 1 год = A(1) = A(0) * y
Результат через 2 года = A(2) = A(1) * y = A(0) * y^2
Результат через 3 года = A(3) = A(2) * y = A(0) * y^3
...
Результат через n лет = A(n) = A(n-1) * y = A(0) * y^n

Как посчитать годовую доходность x, если мы знаем результат через n лет?

Если за два года был показан результат A(2) = 21%, тогда годовая доходность x вычисляется по формуле:

x = √((A(2)/A(0)) - 1. Или, что то же самое, x = (A(2)/A(0))^(1/2) - 1.

Или, если мы используем в формулах изменения не «в процентах», а «в разах», то

y = √(A(2)/A(0)). Или, что то же самое, y = (A(2)/A(0))^(1/2).

Здесь √(число) - квадратный корень из числа, (число)^(1/2) - число в степени 1/2. Для тех, кто успел подзабыть математику из школьной программы, напомню, что извлечение квадратного корня из числа и возведение числа в степень 1/2 - это одно и то же.

Проверяем. √(0,21 + 1) - 1 = √(1,21) - 1 = 1,1 - 1 = 0,1 = 10%

Пример 3

Вы положили на банковский вклад 100.000 рублей и через 4 года сняли 150.000 рублей, т.е. сумма ваших средств выросла за 4 года на 50%. Какова средняя доходность в годовом исчислении?

Доходность = 4√ (1 + 0,5) - 1 = (1 + 0,5)^(1/4) - 1 = 0,1067 = 10,67% годовых

4√(x) - это корень четвертой степени из x, (x)^(1/4) - это x в степени (1/4). Напомню, что это одно и то же. Также (для тех, кто совсем забыл математику) напомню, что 4√(x) = √ (√ (x)). Чтобы извлечь корень четвертой степени на калькуляторе, нужно просто нажать значок «√» дважды.

Среднегодовая доходность в Excel

Как посчитать то же самое в Excel?

Для извлечения квадратного корня в Excel существует функция =КОРЕНЬ(число). Например, =КОРЕНЬ(1,44) даст значение 1,2.

А вот функции извлечения корня произвольной степени в Excel нет. Поэтому вместо этого придется использовать функцию =СТЕПЕНЬ(число; степень). Чтобы взять корень 5-ой степени из числа, пишете =СТЕПЕНЬ(число;1/5).

Есть и еще один способ посчитать в Excel среднегодовую (среднегеометрическую) доходность. Если у вас есть массив данных, представляющий собой изменения «в разах» (обращаю внимание: не «в процентах», а именно «в разах»!), то можно использовать функцию Excel =СРГЕОМ(число1; число2; ...). В этой функции число1, число 2, ... - до 30 аргументов, для которых вычисляется среднее геометрическое. Вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой, можно использовать также ссылку на массив данных. Вместо перечня аргументов (число1; число2; ...) может стоять также ссылка на массив ячеек, например =СРГЕОМ(A1:A8).

Функция СРГЕОМ вычисляет результат по формуле: СРГЕОМ(y1; y2; ... ; yN) = N√(y1*y2*...*yN)

Еще раз обращаю внимание, что попытка использовать функцию СРГЕОМ для аргументов «в процентах» дает неверные результаты. Прежде чем использовать эту функцию для расчета среднегодовой доходности, необходимо пересчитать «проценты» в «разы».

Пример 4

За 2 года и 6 месяцев стоимость пая в инвестиционном фонде выросла на 42,7%. Какова среднегодовая доходность фонда?

На обычном бухгалтерском калькуляторе (без функции возведения в степень) вы это уже не посчитаете.

Набираете в ячейке Excel: =СТЕПЕНЬ(1+42,7%;1/2,5)-1. Получаете ответ: 15,28% годовых. Не забудьте установить формат ячейки как «процентный», а также отображение нужного количества знаков после запятой. Иначе вы увидите результат 0,15 или 0,1528, что, на самом деле, одно и то же, однако, может ввести вас в заблуждение.

Обратите внимание на то, что в Excel вы можете смешивать в формулах процентный и числовой форматы, нужно только не забывать, где нужно ставить (или, наоборот, не ставить) значок «%». Например, формула может быть написана так: =СТЕПЕНЬ(1,427;1/2,5)-1. Или так: =СТЕПЕНЬ(100%+42,7%;1/2,5)-1. Результат от этого не изменится.

Также обратите внимание на то, что, в отличие от банковского вклада, стоимость пая ПИФа растет неравномерно - в один период времен стоимость паев растет, в другие - падает. Тем не менее, для сравнения между собой различных вариантов инвестиций, нам бывает необходимо знать, какой должна была бы быть годовая доходность инвестиций с равномерным графиком роста, чтобы дать нам тот же результат, что и вложение в актив с неравномерным ростом. Эта доходность и называется среднегодовой доходностью (или средней доходностью в годовом исчислении). Еще раз напоминаю, что нельзя путать ее со среднеарифметической доходностью.

Среднегодовая доходность - это прибыль, которую вы должны зарабатывать каждый год, чтобы получить результат, равный результату при получении разных годовых прибылей.

Пример 5

Значение индекса ММВБ на конец декабря 1997 года - 85,05 пунктов. Значение индекса ММВБ на конец 2007 года - 1888,86 пунктов. Какова среднегодовая доходность индекса ММВБ за 10 лет?

Решение: вводим в ячейку Excel формулу: =СТЕПЕНЬ(1888,86/85,05;1/10)-1
Получаем ответ: среднегодовая доходность индекса ММВБ за 1998 - 2007 гг. = +36,35% годовых.

Пример 6

По данным Госкомстата РФ (gks.ru) потребительская инфляция в России составляла (по годам):

2000 г. - 20,2%
2001 г. - 18,6%
2002 г. - 15,1%
2003 г. - 12,0%
2004 г. - 11,7%
2005 г. - 10,9%
2006 г. - 9,0%
2007 г. - 11,9%

Какова среднегодовая потребительская инфляция в РФ за 8 лет (2000 - 2007 гг.)?

Вычисляем рост за 8 лет как произведение изменений за каждый год «в разах». Если за 2000 год потребительская корзина россиян подорожала в 1,202 раза, а за 2001 год - в 1,186 раза, то общее удорожание за два года составило 1,202 * 1,186 = 1,426 раза. Соответственно, чтобы рассчитать общий рост потребительской корзины за 8 лет, нужно перемножить изменения стоимости потребительской корзины за каждый год: 1,202 * 1,186 * 1,151 * 1,120 * 1,117 * 1,109 * 1,090 * 1,119 = 2,777

Потребительская корзина за 8 лет подорожала в 2,777 раз (или на +177,7%, что одно и то же).

Это эквивалентно среднегодовому росту в 8√(2,777). Чтобы посчитать это в Excel, необходимо задать формулу =СТЕПЕНЬ(2,777;1/8). Получим среднегодовой рост в 1,1362 раз, что соответствует среднегодовой инфляции 13,62% в год.

Есть и другой вариант.

Вводим в ячейку Excel функцию =СРГЕОМ(1,202; 1,186; 1,151; 1,120; 1,117; 1,109; 1,090; 1,119). Получаем 1,1362, а затем вычитаем единицу, чтобы получить проценты, и получаем 13,62%.

* * *

Вопрос на понимание:

Какая годовая доходность должна была получиться у менеджеров «Сбербанк Управление активами» для паев ПИФа «Добрыня Никитич» в примере из начала статьи, если бы они хорошо учились в школе?

Ближайшие вебинары на FinWebinar.ru:
14 - 18 декабря - Сергей Спирин, "Формирование инвестиционного портфеля"
21 - 22 декабря - Сергей Наумов, "Инвестирование через зарубежного брокера"

Другие мои ресурсы: ■ Facebook ■ ВКонтакте ■ Twitter ■ YouTube
ЖЖ-сообщество my_fin