числа на карточках

[falcao]

На днях мне попалась одна теоретико-вероятностная задача. Условие звучало так: дано 100 карточек, на которых написаны числа от 1 до 100. Из этих 100 карточек наудачу выбирается какое-то фиксированное количество (например, 10, или какое-то другое). После этого подсчитывается сумма выбранных чисел. Она может быть чётной или нечётной. Возникает вопрос

Comments

[_kum_]

Есть тонкости. "Наудачу выбираются" все карточки сразу? (т.е., помечаются N из 100 и единовременно изымаются). Или изымается одна, потом "наудачу выбирается" и изымается вторая, и так до N-й? Подозреваю, что ответы будут разными, хотя точно просчитать (может быть) смогу лишь завтра...

[rus4]

Ответы будут одинаковыми, это ясно из соображений равноправия карточек (во втором случае будет в N! раз больше вариантов выбора, и каждый набор из N карточек будет посчитан ровно N! раз, этот множитель при вычислении вероятности сокращается).

[_kum_]

Пока что могу ответить для варианта единовременного выбора. Вероятности равны 1/2 при всех N от 1 до 99, после чего перескакивают в 1 (для четных) при N = 100. Ваш аргумент для последовательного выбора еще не успел осмыслить, туповат-с... да и времени начальство не оставляет. Может быть, завтра утром соображу.

[falcao]

Как уже было замечено, это равносильные версии задачи. "По умолчанию" обычно считается, что карточки выбираются "грудой". Но если выбирать их друг за другом, то это приводит к тому, что каждый набор учитывается несколько раз, причём это количество всегда одно и то же. Например, если раньше мы считали набор {a,b} один раз, то теперь он же стал учитываться дважды: один раз как ab, а второй как ba. Если выбираются три числа, то каждый неупорядоченный набор учитывается шесть раз: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

[o_jovem_louco]

Я сначала попытался построить цепь Маркова по следам сегодняшнего экзамена, а потом подумал, что не получится, потому что надо учитывать, сколько чётных остаётся в колоде. Так что сделал в лоб.

Пусть A = количество вытащенных карточек с чётными числами.

Случай "18". Сумма чётна т. и т.т., когда A чётно. Получается, надо сравнить суммы вероятностей P(A = 2m) и P(A = 2m + 1).
P(A = k) = C(50, k)C(50, 18-k)/C(100, 18). Вычислил, сумма вероятностей того, что A нечётно, совсем чуть-чуть больше половины. Значит, вероятнее, что сумма нечётна.

Случай "19". Сумма чётна т. и т.т., когда A нечётно. Здесь разница, которую мне выдаёт Эксель, ещё меньше, но перекос в ту же сторону, только в этом случае это значило бы, что сумма чётна. Но вообще-то это похоже на ошибку вычисления, очень уж мизерная разница. Если подумать, P(A = a) = P(A = 19 - a), и, поскольку 19 нечётно, тут всё получается равным.

Случай "20". Сумма чётна т. и т.т., когда A чётно. Тут вероятнее, что A чётно, то есть вероятность того, что вся сумма чётна, больше половины.

[falcao]

До окончания опроса я вынужден буду "заскринить" Ваш коммент, так как ответы пока что не должны быть известны "широкой публике".

Удивило то, что на Вашем факультете изучаются цепи Маркова. Вот никогда бы не подумал! Но сам факт следует считать нравственным! :)

[o_jovem_louco]

Даа, виноват, как-то не подумал, что можно прочитать комменты, не проголосовав.

Ну, подозреваю, только на нашей кафедре. Это происходит в рамках курса теории информации, и марковские цепи явно не самый устрашающий из изучаемых на факультете математических объектов (а самые устрашающие, пожалуй, - всякие неклассические логики и исчисления в них).

[falcao]

А, теперь понятно, какая тут "приключка"!

Мне кажется, "неклассические" логики -- это как раз "ложка дёгтя", потому что от них нет никакой пользы. Их просто в своё время нещадно "распиарили".

Последний коммент я тоже скрою, чтобы догадливые люди не смогли ориентироваться на Ваши ответы.

[kotomord82]

Для 19и - доказательство без вычислений

Для двух других - почти наугад, считать лень

[falcao]

Тут можно было по какому угодно принципу отвечать.

Коммент я пока спрячу до оглашения результатов.

[elisapeyron]

яблондинка но я думаю, что раз вынимается четное количество карточек, то четный ответ вероятнее или во всяком случае 50 на 50 не больше.

[falcao]

Интересно было бы получить отдельную статистику по ответам блондинок и брюнеток, но тогда к голосованию юзерпики с собственным изображением придётся прилагать! :)

[elisapeyron]

я блондинко не в смысле цвета волос, а в смысле способности к математике =)
юзерпик прилагается

[falcao]

Я понял, что "блондинго" имелось в виду в "олбанском" смысле, но это Вы себя "прибедняете" :) Я же читаю Ваш журнал, поэтому как бы имею представление :)

[nivanych]

> на которых написаны числа от 1 до 100

На карточках написаны _все_ числа от 1 до 100? ;-)

[falcao]

Да, здесь имеется в виду совершенно "классический" вариант -- с натуральными числами, принимающими значения от 1 до 100 включительно, где каждое число встречается ровно один раз. Никаких "подвохов", связанных с неоговорёнными возможностями, здесь нет. Я, честно говоря, вообще не люблю сам "жанр" таких задач, когда имеется какая-то "скрытая" информация, и до чего-то надо догадываться.