Квантовый ликбез 21-2. Квантовая телепортация - подробности
Предыдущие посты
Продолжаем разбор квантовой телепортации.
Значит, будем телепортировать состояние вот такого вида:
В принципе, мы даже не обязаны знать амплитуды вероятности a0 и a, на саму возможность телепортации это никак не повлияет. Но в целях наглядности мы будем рисовать по ходу дела диаграммы, а для этого понадобятся конкретные значения амплитуд. Пусть для определённости они будут такими:
a0 = 0,6
a1 = 0,8
Тогда телепортируемое состояние будет:
Дальше формулы будем писать в общем виде как (ф. 21.1). А рисовать диаграммы будем для конкретного состояния. В частности, для состояния (ф.21.2) диаграмма будет выглядеть так:
Прямоугольниками «тёплых» тонов будем изображать группы, у которых амплитуда вероятности имеет положительное значение. Пусть цвет состояний |0〉 и |1〉 немного отличается, так диаграммы будут нагляднее. Вот здесь у нас обе группы, и |0〉 и |1〉 с положительной амплитудой вероятности.
Прямоугольниками «холодных» тонов будем показывать группы с отрицательной амплитудой вероятности, на этом рисунке их нет, но позже встретятся.
Соотношение высоты прямоугольников пусть соответствует соотношению амплитуд вероятностей групп, точнее, соотношению их модулей.
Иногда будет удобнее разбить группы на диаграмме на несколько частей. Например, состояние (ф. 21.2) можно изобразить так:
В таком представлении сразу видно, что амплитуды вероятностей групп |0〉 и |1〉 соотносятся как три к четырём, или шесть к восьми. Дробить таким образом группы мы можем сколько угодно раз, главное, чтобы соотношения между амплитудами вероятностей групп правильно выдерживались.
По сложившейся в популярных описаниях традиции телепортацию осуществляют Алиса и Боб. Традицию нарушать не будем. Пусть у Алисы имеется кубит - источник «F» в состоянии |𝛙〉 . Алиса будет телепортировать это состояние Бобу.
Для телепортации, кроме кубита - источника, потребуется ещё пара кубитов - «A» и «B». Кубит «А» сыграет вспомогательную роль, а кубит «В» послужит приёмником состояния.
Алиса и Боб приводят пару «AB» в запутанное белловское состояние следующего вида:
На диаграмме состояние этой пары кубитов мы можем изобразить так:
Обе реализуемые группы |00〉 и |11〉 показаны опять в «тёплых» тонах, потому что амплитуда вероятности обеих положительна (смотрим формулу ф. 21.3).
После того, как пара кубитов «A», «B» приведена в такое запутанное состояние, кубит «A» забирает Алиса, кубит «B» забирает Боб.
Вкратце процедура телепортации выглядит так.
Алиса:
- подвергает свои кубиты «F» и «A» некоторым унитарным воздействиям;
- измеряет свои кубиты;
- передаёт результаты измерения Бобу по обычному каналу связи.
Боб: подвергает унитарному воздействию свой кубит «B». Тип воздействия Боб выбирает сообразно информации, полученной от Алисы.
В результате этих манипуляций кубит «B» перейдёт в состояние |𝛙〉.
Теперь разберём это более подробно. Если рассматривать кубиты «F», «A», «B» как трёхкубитную квантовую систему, то её состояние, обозначим его как |S0〉, можно записать как произведение состояний
Подразумеваем, что в базисных трёхкубитных группах вида |000〉 левый символ - это кубит «F», центральный - кубит «A», правый - кубит «B».
На диаграмме это трёхкубитное состояние можно изобразить так:
Алиса начинает свои манипуляции. Первым делом она подвергает кубиты «F» и «A» особому унитарному воздействию, которое обозначается как [CNOT].
В части 17 мы изучали унитарные воздействия на одиночный кубит и выяснили: для того, чтобы знать, как воздействие изменяет любое состояние кубита, достаточно знать, как оно изменяет базисные состояния |0〉 и |1〉. С двухкубитными унитарными операциями тот же принцип. С той лишь разницей, что теперь надо знать, как воздействие изменяет каждое из четырёх базисных состояний двухкубитной системы: |00〉, |01〉, |10〉, |11〉. Так вот, воздействие [CNOT] изменяет двухкубитные базисные состояния следующим образом (слева формула, правее - соответствующая двухкубитная диаграмма):
Обратите внимание, что состояние групп виртуальных вариантов, где первый кубит при измерении даст результат 〈0〉 от воздействия [CNOT] не изменяется вообще. А в группах, где первый кубит «сулит» результат 〈1〉, состояние второго кубита изменяется на противоположное. То есть, первый кубит является контролирующим, а второй - рабочим, он «переворачивается» или нет в зависимости от состояния первого кубита. В обычной (не квантовой) вычислительной логике аналогичная операция с двумя битами (не квантовыми же) называется «Контролируемое НЕ» (Controlled NOT). В квантовую логику это название перекочевало, потому операция и называется [CNOT].
Что же происходит с исходным трёхкубитным квантовым состоянием |S0〉, когда Алиса подвергает кубиты «F» и «A» операции [CNOT]? А вот что:
Здесь и дальше нижние индексы в обозначении операции показывают, к каким именно битам она применяется.
Сравните это с (ф. 21.4). В операции задействуются только левый и центральный кубиты в каждой тройке, правый кубит как бы «не играет». Более наглядно это можно увидеть на рисунке 21.5.
Продолжение
Продолжаем разбор квантовой телепортации.
Значит, будем телепортировать состояние вот такого вида:
В принципе, мы даже не обязаны знать амплитуды вероятности a0 и a, на саму возможность телепортации это никак не повлияет. Но в целях наглядности мы будем рисовать по ходу дела диаграммы, а для этого понадобятся конкретные значения амплитуд. Пусть для определённости они будут такими:
a0 = 0,6
a1 = 0,8
Тогда телепортируемое состояние будет:
Дальше формулы будем писать в общем виде как (ф. 21.1). А рисовать диаграммы будем для конкретного состояния. В частности, для состояния (ф.21.2) диаграмма будет выглядеть так:
Прямоугольниками «тёплых» тонов будем изображать группы, у которых амплитуда вероятности имеет положительное значение. Пусть цвет состояний |0〉 и |1〉 немного отличается, так диаграммы будут нагляднее. Вот здесь у нас обе группы, и |0〉 и |1〉 с положительной амплитудой вероятности.
Прямоугольниками «холодных» тонов будем показывать группы с отрицательной амплитудой вероятности, на этом рисунке их нет, но позже встретятся.
Соотношение высоты прямоугольников пусть соответствует соотношению амплитуд вероятностей групп, точнее, соотношению их модулей.
Иногда будет удобнее разбить группы на диаграмме на несколько частей. Например, состояние (ф. 21.2) можно изобразить так:
В таком представлении сразу видно, что амплитуды вероятностей групп |0〉 и |1〉 соотносятся как три к четырём, или шесть к восьми. Дробить таким образом группы мы можем сколько угодно раз, главное, чтобы соотношения между амплитудами вероятностей групп правильно выдерживались.
По сложившейся в популярных описаниях традиции телепортацию осуществляют Алиса и Боб. Традицию нарушать не будем. Пусть у Алисы имеется кубит - источник «F» в состоянии |𝛙〉 . Алиса будет телепортировать это состояние Бобу.
Для телепортации, кроме кубита - источника, потребуется ещё пара кубитов - «A» и «B». Кубит «А» сыграет вспомогательную роль, а кубит «В» послужит приёмником состояния.
Алиса и Боб приводят пару «AB» в запутанное белловское состояние следующего вида:
На диаграмме состояние этой пары кубитов мы можем изобразить так:
Обе реализуемые группы |00〉 и |11〉 показаны опять в «тёплых» тонах, потому что амплитуда вероятности обеих положительна (смотрим формулу ф. 21.3).
После того, как пара кубитов «A», «B» приведена в такое запутанное состояние, кубит «A» забирает Алиса, кубит «B» забирает Боб.
Вкратце процедура телепортации выглядит так.
Алиса:
- подвергает свои кубиты «F» и «A» некоторым унитарным воздействиям;
- измеряет свои кубиты;
- передаёт результаты измерения Бобу по обычному каналу связи.
Боб: подвергает унитарному воздействию свой кубит «B». Тип воздействия Боб выбирает сообразно информации, полученной от Алисы.
В результате этих манипуляций кубит «B» перейдёт в состояние |𝛙〉.
Теперь разберём это более подробно. Если рассматривать кубиты «F», «A», «B» как трёхкубитную квантовую систему, то её состояние, обозначим его как |S0〉, можно записать как произведение состояний
Подразумеваем, что в базисных трёхкубитных группах вида |000〉 левый символ - это кубит «F», центральный - кубит «A», правый - кубит «B».
На диаграмме это трёхкубитное состояние можно изобразить так:
Алиса начинает свои манипуляции. Первым делом она подвергает кубиты «F» и «A» особому унитарному воздействию, которое обозначается как [CNOT].
В части 17 мы изучали унитарные воздействия на одиночный кубит и выяснили: для того, чтобы знать, как воздействие изменяет любое состояние кубита, достаточно знать, как оно изменяет базисные состояния |0〉 и |1〉. С двухкубитными унитарными операциями тот же принцип. С той лишь разницей, что теперь надо знать, как воздействие изменяет каждое из четырёх базисных состояний двухкубитной системы: |00〉, |01〉, |10〉, |11〉. Так вот, воздействие [CNOT] изменяет двухкубитные базисные состояния следующим образом (слева формула, правее - соответствующая двухкубитная диаграмма):
Обратите внимание, что состояние групп виртуальных вариантов, где первый кубит при измерении даст результат 〈0〉 от воздействия [CNOT] не изменяется вообще. А в группах, где первый кубит «сулит» результат 〈1〉, состояние второго кубита изменяется на противоположное. То есть, первый кубит является контролирующим, а второй - рабочим, он «переворачивается» или нет в зависимости от состояния первого кубита. В обычной (не квантовой) вычислительной логике аналогичная операция с двумя битами (не квантовыми же) называется «Контролируемое НЕ» (Controlled NOT). В квантовую логику это название перекочевало, потому операция и называется [CNOT].
Что же происходит с исходным трёхкубитным квантовым состоянием |S0〉, когда Алиса подвергает кубиты «F» и «A» операции [CNOT]? А вот что:
Здесь и дальше нижние индексы в обозначении операции показывают, к каким именно битам она применяется.
Сравните это с (ф. 21.4). В операции задействуются только левый и центральный кубиты в каждой тройке, правый кубит как бы «не играет». Более наглядно это можно увидеть на рисунке 21.5.
Продолжение