Квантовый ликбез - 12. Шестой постулат.
Предыдущие посты
Продолжая мысленно «наблюдать» ненаблюдаемую квантовую реальность, выясним, что происходит с квантовым состоянием в момент измерения и непосредственно после. Самый общий принцип такой: измерение изменяет квантовое состояние. А конкретнее - сформулируем
Постулат 6.
Измерение уменьшает неопределённость квантового состояния ровно на ту долю информации, которую это самое измерение предоставляет.
Несмотря на кажущуюся «масло-маслянность» этой формулировки, она правильно отражает суть дела (если кто сможет сформулировать точнее - предлагайте).
В общем случае квантовое состояние представляет собой неопределённость, в том смысле, что результат измерения не предопределён. Если в квантовой реальности имеется больше одной реализуемой группы виртуальных вариантов, тогда до измерения абсолютно не определено, вариант какой именно группы реализуется. Измерение эту неопределённость устраняет. Не только с точки зрения получения информации «классическим» наблюдателем, но и с точки зрения изменения квантового состояния: непосредственно после измерения в квантовой реальности остаётся только одна группа вариантов. Та, к которой «принадлежит» полученный результат. Эта группа по-прежнему содержит бесконечное количество виртуальных вариантов, но теперь все эти варианты ведут к одному и тому же результату.
То есть, если мы проделаем над этим изменённым квантовым состоянием такое же измерение ещё раз, то мы получим тот же результат, что и при первом измерении. На всякий случай оговорюсь: последнее утверждение справедливо только для стационарных квантовых состояний. Нестационарное состояние после измерения сразу начинает «самопроизвольно» меняться, поэтому тут повторное измерение вовсе не «обязано» давать такой же результат, как и первое.
Надо сказать, что измерение не всегда позволяет «выявить» группу точно. Например, говоря о квантовом состоянии в координатном представлении, мы понимаем под группой все виртуальные варианты, соответствующие одному точному значению координаты. Но практическое измерение координаты всегда осуществляется с какой-то погрешностью. Поэтому измерение даёт наблюдателю информацию не точную (например, x = 3,87), а приблизительную (например, x лежит в диапазоне от 3,62 до 4,12). То есть, тут речь идёт не о группе, а о множестве групп, вписывающихся в указанные пределы. В этом случае после измерения в квантовой реальности сохраняются все группы из этого диапазона и «умирают» все группы, лежащие вне диапазона. Всё в полном соответствии с шестым постулатом: чем более точную информацию предоставляет нам измерение, тем более определённым становится квантовое состояние после измерения.
Всё вышесказанное позволяет нам лучше понять, почему процесс, сопровождающий измерение, называется редукцией квантового состояния. «Редукция» означает «уменьшение, ослабление». В нашем случае речь идёт как раз о том, что при измерении уменьшается количество групп реализуемых виртуальных вариантов и, следовательно, уменьшается неопределённость последующих аналогичных измерений.
Проиллюстрируем всё вышесказанное экспериментальными примерами. Поскольку это «прогулка" по примерам обещает быть лёгкой, немножко нагрузим её полезной в дальнейшем математикой.
Посмотрим ещё раз на эксперимент из предыдущей части.
Обратите внимание: я перенумеровал детекторы, так будет удобнее для изложения.
В момент t3, точнее, непосредственно перед ним, у нас есть два компактных роя виртуальных фотонов. Один рой находится на пути к далёкому детектору D2, второй - рядом с D1. Пока что мы имеем две группы виртуальных вариантов будущего. Одна группа - все виртуальные варианты, ведущие к срабатыванию детектора D1. Вторая - к срабатыванию D2. Это квантовое состояние удобно записать в виде простенькой формулы:
Греческой буквой |𝛙〉 (пси) принято обозначать вообще любое квантовое состояние. Типа того, как неизвестную величину традиционно обозначают буквой x, скорость - буквой v, массу - буквой m и так далее.
|D1〉 и |D2〉 - так обозначены две разные группы виртуальных вариантов. Тоже общепринятое квантовое обозначение.
Почему символы 𝛙, D1, D2 взяты в эти хитрые скобки (одна прямая, одна угловая)? Это для того, чтобы было понятно: речь идёт именно о квантовом состоянии, то есть, о совокупности виртуальных вариантов. Чуть забегая вперёд скажем, что так обозначается "вектор квантового состояния".
А1 и А2 - амплитуды вероятностей соответствующих групп.
В переводе с математического языка на "разговорный" эта формула означает следующее: "Квантовое состояние таково, что возможны только два результата измерения: срабатывание D1 либо срабатывание D2. Амплитуда вероятности первого исхода равна А1. Амплитуда вероятности второго исхода равна А2"
Почему в формуле стоит знак "+", это мы выясним позже.
В нашем случае вероятности обоих исходов одинаковы и равны
. Значит, амплитуды вероятности А1 и А2 равны
(кто не понял, почему - смотрите четвёртый постулат).
Мелким курсивом: на самом деле амплитуды вероятности в данной ситуации могут равняться также
, или
, или вообще любому комплексному числу, модуль которого равняется
. Но не будем усложнять.
Можно подставить эти значения в формулу (ф. 12.1). Получается:
Но вот момент t3 наступает. Посмотрим, что происходит с квантовым состоянием в каждом из двух возможных в этот момент событий.
Первый вариант: детектор D1 срабатывает. В данном конкретном эксперименте фотон в этот момент попросту уничтожается. Ну а раз исчезает носитель квантового состояния, то исчезает и само квантовое состояние. Оба роя виртуальных фотонов просто перестают существовать.
Заметьте, что квантовое состояние в момент редукции изменяется (мгновенно!) везде, по всему пространству. В нашем случае что акт измерения происходит в том месте пространства, где расположен детектор D1. Но при этом разрушается конструктивная суперпозиция виртуальных вариантов совсем в другом месте - на траектории, ведущей в D2.
Второй вариант: в момент t3 детектор D1 не срабатывает. Мы получили однозначную информацию о том, что сработает D2. Это означает, что амплитуда вероятности группы |D1> становится равной нулю. Но фотон пока ещё «жив», живо и его квантовое состояние. Облако виртуальных фотонов, которое раньше двигалось к D1, исчезло, но облако, летящее к D2, продолжает своё движение. Теперь формула квантового состояния будет выглядеть так:
Смотрите, группу |D1> редукция просто «помножила на ноль». Значит, мы вправе записать:
Внимательный читатель заметит, то тут что-то не так. Ведь срабатывание D2 - теперь единственно возможное событие. Вероятность единственно возможного события всегда равна единице, а у нас выходит, что вероятность единственно возможного события равна
. Однако, ещё более внимательный читатель вспомнит: в части 7 мы говорили о том, что абсолютные значения амплитуд вероятности роли не играют. Для расчёта вероятности важны только относительные значения амплитуд различных групп. Здесь у нас осталась всего одна группа. Учитывая это, нормируем (см. часть 8) нашу единственную амплитуду вероятности путём умножения её на
, и запишем:
Вот, теперь никакой неопределённости, квантовое состояние - это всего одна группа виртуальных вариантов.
Рассмотрим чуть более сложный эксперимент (рис. 12.2).
Теперь у нас три детектора. Надеюсь, понятно, что вероятность срабатывания D1 составляет
, а вероятности срабатывания D2 и D3 составляют
каждая. Значит, изначально, после "выстрела" и до момента t1, квантовое состояние будет выглядеть так:
Если в момент t1 не срабатывает D1, амплитуда это варианта становится равной нулю. Квантовое состояние скачкообразно приобретает следующий вид:
Нормируем амплитуды вероятности, домножив их все на одно и то же число. Такое, чтобы полная вероятность (сумма квадратов амплитуд всех групп) стала равной единице. Это число
. Получится следующее:
Вот это как раз пример неточного измерения. Неопределённость уменьшилась, было три возможных исхода, осталось только два. Но полной определённости нет - исхода всё-таки два, а не один.
Вот, кажется, мы теперь достаточно подкованы, чтобы рассмотреть одну из главных квантовых «фишек» - принцип неопределённости. Этим мы займёмся в следующей части.
Продолжение
Продолжая мысленно «наблюдать» ненаблюдаемую квантовую реальность, выясним, что происходит с квантовым состоянием в момент измерения и непосредственно после. Самый общий принцип такой: измерение изменяет квантовое состояние. А конкретнее - сформулируем
Постулат 6.
Измерение уменьшает неопределённость квантового состояния ровно на ту долю информации, которую это самое измерение предоставляет.
Несмотря на кажущуюся «масло-маслянность» этой формулировки, она правильно отражает суть дела (если кто сможет сформулировать точнее - предлагайте).
В общем случае квантовое состояние представляет собой неопределённость, в том смысле, что результат измерения не предопределён. Если в квантовой реальности имеется больше одной реализуемой группы виртуальных вариантов, тогда до измерения абсолютно не определено, вариант какой именно группы реализуется. Измерение эту неопределённость устраняет. Не только с точки зрения получения информации «классическим» наблюдателем, но и с точки зрения изменения квантового состояния: непосредственно после измерения в квантовой реальности остаётся только одна группа вариантов. Та, к которой «принадлежит» полученный результат. Эта группа по-прежнему содержит бесконечное количество виртуальных вариантов, но теперь все эти варианты ведут к одному и тому же результату.
То есть, если мы проделаем над этим изменённым квантовым состоянием такое же измерение ещё раз, то мы получим тот же результат, что и при первом измерении. На всякий случай оговорюсь: последнее утверждение справедливо только для стационарных квантовых состояний. Нестационарное состояние после измерения сразу начинает «самопроизвольно» меняться, поэтому тут повторное измерение вовсе не «обязано» давать такой же результат, как и первое.
Надо сказать, что измерение не всегда позволяет «выявить» группу точно. Например, говоря о квантовом состоянии в координатном представлении, мы понимаем под группой все виртуальные варианты, соответствующие одному точному значению координаты. Но практическое измерение координаты всегда осуществляется с какой-то погрешностью. Поэтому измерение даёт наблюдателю информацию не точную (например, x = 3,87), а приблизительную (например, x лежит в диапазоне от 3,62 до 4,12). То есть, тут речь идёт не о группе, а о множестве групп, вписывающихся в указанные пределы. В этом случае после измерения в квантовой реальности сохраняются все группы из этого диапазона и «умирают» все группы, лежащие вне диапазона. Всё в полном соответствии с шестым постулатом: чем более точную информацию предоставляет нам измерение, тем более определённым становится квантовое состояние после измерения.
Всё вышесказанное позволяет нам лучше понять, почему процесс, сопровождающий измерение, называется редукцией квантового состояния. «Редукция» означает «уменьшение, ослабление». В нашем случае речь идёт как раз о том, что при измерении уменьшается количество групп реализуемых виртуальных вариантов и, следовательно, уменьшается неопределённость последующих аналогичных измерений.
Проиллюстрируем всё вышесказанное экспериментальными примерами. Поскольку это «прогулка" по примерам обещает быть лёгкой, немножко нагрузим её полезной в дальнейшем математикой.
Посмотрим ещё раз на эксперимент из предыдущей части.
Обратите внимание: я перенумеровал детекторы, так будет удобнее для изложения.
В момент t3, точнее, непосредственно перед ним, у нас есть два компактных роя виртуальных фотонов. Один рой находится на пути к далёкому детектору D2, второй - рядом с D1. Пока что мы имеем две группы виртуальных вариантов будущего. Одна группа - все виртуальные варианты, ведущие к срабатыванию детектора D1. Вторая - к срабатыванию D2. Это квантовое состояние удобно записать в виде простенькой формулы:
Греческой буквой |𝛙〉 (пси) принято обозначать вообще любое квантовое состояние. Типа того, как неизвестную величину традиционно обозначают буквой x, скорость - буквой v, массу - буквой m и так далее.
|D1〉 и |D2〉 - так обозначены две разные группы виртуальных вариантов. Тоже общепринятое квантовое обозначение.
Почему символы 𝛙, D1, D2 взяты в эти хитрые скобки (одна прямая, одна угловая)? Это для того, чтобы было понятно: речь идёт именно о квантовом состоянии, то есть, о совокупности виртуальных вариантов. Чуть забегая вперёд скажем, что так обозначается "вектор квантового состояния".
А1 и А2 - амплитуды вероятностей соответствующих групп.
В переводе с математического языка на "разговорный" эта формула означает следующее: "Квантовое состояние таково, что возможны только два результата измерения: срабатывание D1 либо срабатывание D2. Амплитуда вероятности первого исхода равна А1. Амплитуда вероятности второго исхода равна А2"
Почему в формуле стоит знак "+", это мы выясним позже.
В нашем случае вероятности обоих исходов одинаковы и равны
. Значит, амплитуды вероятности А1 и А2 равны
(кто не понял, почему - смотрите четвёртый постулат).
Мелким курсивом: на самом деле амплитуды вероятности в данной ситуации могут равняться также
, или
, или вообще любому комплексному числу, модуль которого равняется
. Но не будем усложнять.
Можно подставить эти значения в формулу (ф. 12.1). Получается:
Но вот момент t3 наступает. Посмотрим, что происходит с квантовым состоянием в каждом из двух возможных в этот момент событий.
Первый вариант: детектор D1 срабатывает. В данном конкретном эксперименте фотон в этот момент попросту уничтожается. Ну а раз исчезает носитель квантового состояния, то исчезает и само квантовое состояние. Оба роя виртуальных фотонов просто перестают существовать.
Заметьте, что квантовое состояние в момент редукции изменяется (мгновенно!) везде, по всему пространству. В нашем случае что акт измерения происходит в том месте пространства, где расположен детектор D1. Но при этом разрушается конструктивная суперпозиция виртуальных вариантов совсем в другом месте - на траектории, ведущей в D2.
Второй вариант: в момент t3 детектор D1 не срабатывает. Мы получили однозначную информацию о том, что сработает D2. Это означает, что амплитуда вероятности группы |D1> становится равной нулю. Но фотон пока ещё «жив», живо и его квантовое состояние. Облако виртуальных фотонов, которое раньше двигалось к D1, исчезло, но облако, летящее к D2, продолжает своё движение. Теперь формула квантового состояния будет выглядеть так:
Смотрите, группу |D1> редукция просто «помножила на ноль». Значит, мы вправе записать:
Внимательный читатель заметит, то тут что-то не так. Ведь срабатывание D2 - теперь единственно возможное событие. Вероятность единственно возможного события всегда равна единице, а у нас выходит, что вероятность единственно возможного события равна
. Однако, ещё более внимательный читатель вспомнит: в части 7 мы говорили о том, что абсолютные значения амплитуд вероятности роли не играют. Для расчёта вероятности важны только относительные значения амплитуд различных групп. Здесь у нас осталась всего одна группа. Учитывая это, нормируем (см. часть 8) нашу единственную амплитуду вероятности путём умножения её на
, и запишем:
Вот, теперь никакой неопределённости, квантовое состояние - это всего одна группа виртуальных вариантов.
Рассмотрим чуть более сложный эксперимент (рис. 12.2).
Теперь у нас три детектора. Надеюсь, понятно, что вероятность срабатывания D1 составляет
, а вероятности срабатывания D2 и D3 составляют
каждая. Значит, изначально, после "выстрела" и до момента t1, квантовое состояние будет выглядеть так:
Если в момент t1 не срабатывает D1, амплитуда это варианта становится равной нулю. Квантовое состояние скачкообразно приобретает следующий вид:
Нормируем амплитуды вероятности, домножив их все на одно и то же число. Такое, чтобы полная вероятность (сумма квадратов амплитуд всех групп) стала равной единице. Это число
. Получится следующее:
Вот это как раз пример неточного измерения. Неопределённость уменьшилась, было три возможных исхода, осталось только два. Но полной определённости нет - исхода всё-таки два, а не один.
Вот, кажется, мы теперь достаточно подкованы, чтобы рассмотреть одну из главных квантовых «фишек» - принцип неопределённости. Этим мы займёмся в следующей части.
Продолжение