Квантовый ликбез - 8. Нормировка амплитуд.
Предыдущие посты
Ещё маленько помучаю вас несложной математикой. Впрочем, кого математика вгоняет в тоску - можете смело пропустить эту часть. Просто имейте в ввиду, амплитуды вероятности результатов могут быть приведены к конечным значениям. И что впредь мы, говоря об амплитудах, будем подразумевать именно такие "нормированные" амплитуды.
Вообще говоря, все практические квантовые задачи связаны с вычислением вероятности того или результата. В третьем постулате утверждалось, что вероятность результата определяется амплитудой вероятности группы. Как вы, надеюсь, помните, амплитуда вероятности - это групповой квантовый вектор. Конкретнее: это сумма квантовых векторов всех виртуальных вариантов, составляющих данную группу. Длину квантового вектора виртуального варианта мы приняли за единицу. Значит, поскольку количество вариантов в группе бесконечно, то и амплитуда вероятности реализуемой группы имеет бесконечную длину. Но вероятность - величина не бесконечная, она всегда лежит в диапазоне от нуля до единицы включительно. Как же связать бесконечную по физической сути амплитуду вероятности с принципиально конечной вероятностью?
Так же, как мы поступали в третьей части, когда "играли в карты" с бесконечной колодой. Напомню, у нас в колоде бесконечное количество тузов и шестёрок. Но эти бесконечности не мешают нам вычислять вероятности вытащить ту или иную карту, если только мы знаем относительное количество тузов и шестёрок. Например, если на каждую шестёрку приходится два туза, то очевидно, что вероятность вытащить туза равна 2/3, а вероятность вытянуть шестёрку - 1/3. То есть, результат игры с бесконечной колодой такого типа аналогичен тому, как если бы мы "нормировали" колоду всего до трёх карт - два туза и одна шестёрка, и играли бы с этой "нормированной" колодой.
Аналогично и здесь: пользуемся тем, что бесконечные абсолютные значения амплитуд вероятности разных результатов нам не требуются, а нужны лишь их относительные значения. Только, если в случае с картами отношения вероятностей равно отношению количеств карт в колоде, то в случае с квантовыми вариантами зависимость между амплитудой вероятности и вероятностью не прямая, а квадратичная, о чём был четвёртый постулат. Поэтому здесь поступают следующим образом: приводят амплитуды вероятности всех групп к таким КОНЕЧНЫМ значениям, чтобы их отношение оставалось неизменным, а сумма их квадратов, то есть, сумма вероятностей всех возможных результатов, равнялась единице. Для пояснения разберём ещё раз пример из предыдущей части. Напоминаю, рассматривается квантовый опыт, в котором может реализоваться только один из двух результата: срабатывает детектор D1 или срабатывает детектор D2.
Cчитаем, что количество виртуальных вариантов в группах D1 и D2 одинаково. Но при этом:
- в группе D1 на каждые 5 отрицательных варианта приходится 1 положительный;
- в группе D2 на каждый 1 отрицательный вариант приходится 4 положительных.
Значит, амплитуды вероятности результатов D1 и D2 соотносятся как четыре к трём со знаком минус. Тогда вероятности результатов D1 и D2, согласно четвёртому постулату, соотносятся как шестнадцать к девяти. Учитывая тот факт, что сумма вероятностей всех возможных событий всегда равна единице, заключаем:
P[D1] = 0,64 - вероятность результата D1;
P[D2] = 0,36 - вероятность результата D2.
Стало быть, нормированные значения амплитуд будут следующими:
A[D1] = - 0,8 - нормированная амплитуда результата D1;
A[D2] = + 0,6 - нормированная амплитуда результата D2.
Подробные математические выкладки опущены, но можете сами проверить, что условие нормировки соблюдено: сумма квадратов нормированных амплитуд равна единице. При этом соотношение амплитуд не изменилось: оно равно четыре к трём со знаком минус.
Пользуясь нормированными, а не бесконечными значениями амплитуд, мы можем упростить четвёртый постулат. Теперь он будет звучать так: вероятность результата равна квадрату нормированной амплитуды вероятности группы.
Тут может возникнуть вопрос: а зачем нам вообще тогда знак амплитуд - плюс или минус? Ведь вероятность результата от знака не зависит, потому что при возведении в квадрат знак теряется. Скажем, в нашем случае, что - 0,8, что + 0,8 в квадрате дадут одно и тоже значение вероятности: 0,64. Отвечаю: для расчёта вероятности результата измерения знак действительно не важен. Но для различных манипуляций с квантовой реальностью, о которых мы будем говорить позже, знак очень существенен, поэтому мы не в праве его игнорировать.
Более того, напомню, что знак "плюс/минус" это упрощение. На самом деле амплитуда - это вектор определённого направления. Знак - это тоже направление, но только в одномерном условном пространстве: туда-сюда. А математическое пространство, в котором существуют квантовые вектора виртуальных вариантов и их суперпозиции - амплитуды вероятности - двухмерное. Поэтому если по-настоящему, без упрощений, то нормированная амплитуда вероятности описывается комплексным числом - вектором двухмерного комплексного пространства (комплексной плоскости). В принципе, заявление о том, что квантовый вектор и вектор амплитуды вероятности группы математически эквивалентны векторам на комплексной плоскости, можно считать расширением второго постулата.
Ладно, ликбез по комплексной математике в мои планы не входит, поэтому мы ограничимся упрощённой моделью, в котором нормированная амплитуда вероятности представляется "вектором в одномерном пространстве". То есть, "обычным" действительным числом, положительным или отрицательным. Абсолютное значение (модуль) этого числа соответствует длине вектора амплитуды вероятности. А знак соответствует направлению вектора.
Для особо придирчивых читателей специально отмечу, что такая упрощённая модель не особо "грешит против истины", ведь действительное число - это частный случай комплексного числа. То есть, это такое комплексное число, у которого мнимая часть равна нулю.
Продолжение
Ещё маленько помучаю вас несложной математикой. Впрочем, кого математика вгоняет в тоску - можете смело пропустить эту часть. Просто имейте в ввиду, амплитуды вероятности результатов могут быть приведены к конечным значениям. И что впредь мы, говоря об амплитудах, будем подразумевать именно такие "нормированные" амплитуды.
Вообще говоря, все практические квантовые задачи связаны с вычислением вероятности того или результата. В третьем постулате утверждалось, что вероятность результата определяется амплитудой вероятности группы. Как вы, надеюсь, помните, амплитуда вероятности - это групповой квантовый вектор. Конкретнее: это сумма квантовых векторов всех виртуальных вариантов, составляющих данную группу. Длину квантового вектора виртуального варианта мы приняли за единицу. Значит, поскольку количество вариантов в группе бесконечно, то и амплитуда вероятности реализуемой группы имеет бесконечную длину. Но вероятность - величина не бесконечная, она всегда лежит в диапазоне от нуля до единицы включительно. Как же связать бесконечную по физической сути амплитуду вероятности с принципиально конечной вероятностью?
Так же, как мы поступали в третьей части, когда "играли в карты" с бесконечной колодой. Напомню, у нас в колоде бесконечное количество тузов и шестёрок. Но эти бесконечности не мешают нам вычислять вероятности вытащить ту или иную карту, если только мы знаем относительное количество тузов и шестёрок. Например, если на каждую шестёрку приходится два туза, то очевидно, что вероятность вытащить туза равна 2/3, а вероятность вытянуть шестёрку - 1/3. То есть, результат игры с бесконечной колодой такого типа аналогичен тому, как если бы мы "нормировали" колоду всего до трёх карт - два туза и одна шестёрка, и играли бы с этой "нормированной" колодой.
Аналогично и здесь: пользуемся тем, что бесконечные абсолютные значения амплитуд вероятности разных результатов нам не требуются, а нужны лишь их относительные значения. Только, если в случае с картами отношения вероятностей равно отношению количеств карт в колоде, то в случае с квантовыми вариантами зависимость между амплитудой вероятности и вероятностью не прямая, а квадратичная, о чём был четвёртый постулат. Поэтому здесь поступают следующим образом: приводят амплитуды вероятности всех групп к таким КОНЕЧНЫМ значениям, чтобы их отношение оставалось неизменным, а сумма их квадратов, то есть, сумма вероятностей всех возможных результатов, равнялась единице. Для пояснения разберём ещё раз пример из предыдущей части. Напоминаю, рассматривается квантовый опыт, в котором может реализоваться только один из двух результата: срабатывает детектор D1 или срабатывает детектор D2.
Cчитаем, что количество виртуальных вариантов в группах D1 и D2 одинаково. Но при этом:
- в группе D1 на каждые 5 отрицательных варианта приходится 1 положительный;
- в группе D2 на каждый 1 отрицательный вариант приходится 4 положительных.
Значит, амплитуды вероятности результатов D1 и D2 соотносятся как четыре к трём со знаком минус. Тогда вероятности результатов D1 и D2, согласно четвёртому постулату, соотносятся как шестнадцать к девяти. Учитывая тот факт, что сумма вероятностей всех возможных событий всегда равна единице, заключаем:
P[D1] = 0,64 - вероятность результата D1;
P[D2] = 0,36 - вероятность результата D2.
Стало быть, нормированные значения амплитуд будут следующими:
A[D1] = - 0,8 - нормированная амплитуда результата D1;
A[D2] = + 0,6 - нормированная амплитуда результата D2.
Подробные математические выкладки опущены, но можете сами проверить, что условие нормировки соблюдено: сумма квадратов нормированных амплитуд равна единице. При этом соотношение амплитуд не изменилось: оно равно четыре к трём со знаком минус.
Пользуясь нормированными, а не бесконечными значениями амплитуд, мы можем упростить четвёртый постулат. Теперь он будет звучать так: вероятность результата равна квадрату нормированной амплитуды вероятности группы.
Тут может возникнуть вопрос: а зачем нам вообще тогда знак амплитуд - плюс или минус? Ведь вероятность результата от знака не зависит, потому что при возведении в квадрат знак теряется. Скажем, в нашем случае, что - 0,8, что + 0,8 в квадрате дадут одно и тоже значение вероятности: 0,64. Отвечаю: для расчёта вероятности результата измерения знак действительно не важен. Но для различных манипуляций с квантовой реальностью, о которых мы будем говорить позже, знак очень существенен, поэтому мы не в праве его игнорировать.
Более того, напомню, что знак "плюс/минус" это упрощение. На самом деле амплитуда - это вектор определённого направления. Знак - это тоже направление, но только в одномерном условном пространстве: туда-сюда. А математическое пространство, в котором существуют квантовые вектора виртуальных вариантов и их суперпозиции - амплитуды вероятности - двухмерное. Поэтому если по-настоящему, без упрощений, то нормированная амплитуда вероятности описывается комплексным числом - вектором двухмерного комплексного пространства (комплексной плоскости). В принципе, заявление о том, что квантовый вектор и вектор амплитуды вероятности группы математически эквивалентны векторам на комплексной плоскости, можно считать расширением второго постулата.
Ладно, ликбез по комплексной математике в мои планы не входит, поэтому мы ограничимся упрощённой моделью, в котором нормированная амплитуда вероятности представляется "вектором в одномерном пространстве". То есть, "обычным" действительным числом, положительным или отрицательным. Абсолютное значение (модуль) этого числа соответствует длине вектора амплитуды вероятности. А знак соответствует направлению вектора.
Для особо придирчивых читателей специально отмечу, что такая упрощённая модель не особо "грешит против истины", ведь действительное число - это частный случай комплексного числа. То есть, это такое комплексное число, у которого мнимая часть равна нулю.
Продолжение