Что такое поместная нумерация?
Честно говоря, с термином «поместная нумерация» я никогда прежде не сталкивался. Зато термин «позиционная система счисления» мне (и всякому, кто изучал математику) известен очень хорошо.
Позиционная система счисления (или, если угодно, поместная нумерация) это такой способ изображения на письме чисел, при котором, во-первых, для записи любого числа используется ограниченное количество знаков (цифр), а во-вторых, значение каждой цифры в записи зависит от его места (позиции) в записи.
Например, привычная для нас десятичная система счисления использует при записи любого числа 10 цифр, включая цифру 0, которая означает отсутствие числа в данной позиции. Если цифра стоит в первой позиции, если считать справа, она обозначает количество единиц в изображаемом числе. Цифра во второй позиции - это количество десятков, в третьей - количество сотен, и так далее.
117409 = 9*1 + 0*10 + 4*100 + 7*1000 + 1*10000 + 1*100000
Позиционная система счисления (поместная нумерация) обладает следующими достоинствами:
1. Компактность. Для записи числа используется ограниченное и небольшое число цифр.
2. Универсальность. С помощью позиционной системы можно записать любое сколь угодно большое число.
3. Однозначность. Одной записи всегда соответствует одно и только одно число.
4. Удобство при вычислениях. Правила арифметических действий с числами, записанными в позиционной системе счисления, становятся настолько простыми, что их могут освоить даже первоклашки. А попробуйте-ка сложить два числа в непозиционной римской системе счисления! Сколько будет LX + XL? Ответ: С.
Все перечисленные достоинства сохраняются независимо от того, какое число является основанием позиционной системы счисления. Кроме десятичной системы счисления наиболее распространены следующие:
1. Двоичная. Ее достоинство в том, что для записи любого числа используются только две цифры, которые чаще всего обозначают 0 и 1. Поскольку 1 можно трактовать, как наличие сигнала, а 0 - как его отсутствие, то эту систему издавна применяют в компьютерной технике.
2. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления также применяются в вычислительной технике, поскольку позволяют сократить длинные записи чисел в двоичной системе и сделать их более удобными для восприятия человеком.
3. Двенадцатеричная система счисления во многих смыслах удобнее общепринятой десятичной. В двенадцатеричной записи проще делить, поскольку гораздо больше чисел делятся без остатка. Дюжину можно разделить нацело на 2, на 3, на 4, на 6 и на 12 частей, в то время, как десяток делится без остатка только на 2, на 5 и на 10. Аргумент, что у нас десятичная система счисления, потому что первоначально считали на пальцах, не вполне хорош. В Древней Месопотамии была принята двенадцатеричная система счисления именно потому, что там считали на пальцах. Вернее на фалангах четырех «длинных» пальцев руки. Их как раз двенадцать. «Короткий» большой палец использовался как указатель при счете. На другой руке можно было считать дюжины, и таким образом максимальное число, которое можно было посчитать на пальцах, оказывалось 144 = 12*12.
4. Двадцатеричная система как бы является продолжением десятеричной. Считали до двадцати по пальцам рук, сначала загибая пальцы, а потом разгибая. Во многих языках сохранилась нумерация по двадцаткам (например, в кельтских, в датском, во французском, в грузинском и в албанском)
5. Шестидесятеричная система счисления как бы является продолжением двенадцатеричной. Она, как и двенадцатеричная система счисления применялась в Древней Месопотамии и особенно удобной оказалась для астрономических расчетов. Именно с тех пор дугу круга принято делить на 360 градусов, каждый градус - на 60 минут, а каждую минуту - на 60 секунд.
Позиционная система счисления была разработана индийскими и арабскими математиками, а в Европу попала достаточно позно, в начале 13-го века. Большая заслуга в "импорте" и в популяризации этого удобного математического изобретения принадлежит итальянскому ученому Леонардо Пизанскому (1170 - 1250) по прозвищу Фибоначчи. О нем я уже упоминал в своей статье "Кто придумал отрицательные числа?"
Опубликовано на сайте Топавтор
Полезные ссылки:
- Оказывается, бывает и унарная система счисления.