Едем в Африку гулять!
А давайте немного пофантазируем на тему летних отпусков. Ведь лето жаркое наступило окончательно и бесповоротно, так почему бы не помечтать, что нет вокруг никаких биологических вирусов-пандемий, что всё идёт по заранее намеченным планам, уже скоро давно запланированный отпуск, самолёты летают и билеты на рейс не прогорели, а лететь в какое-нибудь весьма экзотическое место. Например, что бы такое выбрать... Ну, пусть - а поехали в Африку!
Но поедем «в Африку гулять» (с) не просто так, а с приключениями. Точнее - с таможней и крокодилом. И по этому поводу есть неплохая задачка =>
Задачка Африка-1. Однажды ЖЖ-блогеры собрались в Африку. Для этого им надо пройти таможню, а там две двери - за одной парадайз со слонами и пальмами, а за другой крокодил и всех съест. Двери охраняют два таможенника, каждый охраняет свою дверь. Один из них всегда говорит правду, а второй всегда врёт. Кто есть кто - непонятно. Блогеры могут задать только один вопрос и только одному таможеннику. Какой вопрос нужно задать, чтобы попасть в Африку - а не в крокодилову пасть?
Какой же вопрос нужно задать этим непонятным африканским таможенникам?
И ответы на предыдущую порцию задачек + список самых светлых голов, нашедших правильные решения.
Задачка 1. Можно ли представить число 2021^2021 в виде суммы 2021 последовательных нечётных натуральных чисел?
Решение: Элементарно. Для удобства обозначим «среднее число» как X = 2021^2021/2021 = 2021^2020. Оно нечётное и находится как раз посередине последовательности. А далее всё просто: раскладываем ряд с середины: X, X+2/X-2, X+4/X-4 - и так далее, пока не получим 2021 последовательных нечётных чисел.
Задачка 2. Какое наименьшее число n > 2020 таково, что число
a₁⁴ + a₂⁴ + … + aₙ⁴
5
будет целым при любых натуральных a₁, a₂, …, aₙ , не кратных 5?
Решение: Чуть сложнее. Нужно заметить, что все натуральные числа в степени 4 при делении на 5 дают следующие остатки:
(5k)⁴ = 0 (mod 5)
(5k+1)⁴ = 1 (mod 5)
(5k+2)⁴ = 16 (mod 5) = 1 (mod 5)
(5k+3)⁴ = 81 (mod 5) = 1 (mod 5)
(5k+4)⁴ = 256 (mod 5) = 1 (mod 5)
Сумма остатков n>2020 единиц впервые делится на 5 при n=2025.
Задачка 3. На доске в столбик написано 2021 уравнение вида:
*x² + *x + * = 0
Два игрока последовательно друг за другом в любом уравнении заменяют по одной произвольной звёздочке ненулевыми целыми числами. Первый игрок стремится чтобы как можно больше этих уравнений не имело действительных корней, а второй старается ему помешать и сделать как можно больше решабельных уравнений. Сколько максимально не имеющих решений уравнений может получить первый игрок вне зависимости от игры второго?
Решение: Уравнение ax² + bx + c не имеет действительных корней если у него отрицательный дискриминант: b² - 4ac < 0. Посему, стратегия первого очевидна: он ставит b в «пустые» уравнения, либо же «добивает» a или c, если осталась одна звёздочка. Стратегия второго обратна: ставить в «пустые» уравнения a (или c - неважно) или «добивать» или добивать до «решабельных» уравнения с одной оставшейся звёздочкой. Итого: первый забирает себе 1011 уравнений, второму остаются 1010.
Что интересно, данная схема не работает на чётном количестве уравнений, посему версию с 2020 строчками пришлось... «самоизолировать» :)
Все три задачки правильно решил Gr Bear. Также хочу отметить bar_suk, kostichek и mikluha_maklai за уверенные попытки, но... немного не дотянувшие до 100%.
kostichek отдельное спасибо за комментарий. В следующий раз будем дублировать unicode-символы более привычными, универсальными.
Но поедем «в Африку гулять» (с) не просто так, а с приключениями. Точнее - с таможней и крокодилом. И по этому поводу есть неплохая задачка =>
Задачка Африка-1. Однажды ЖЖ-блогеры собрались в Африку. Для этого им надо пройти таможню, а там две двери - за одной парадайз со слонами и пальмами, а за другой крокодил и всех съест. Двери охраняют два таможенника, каждый охраняет свою дверь. Один из них всегда говорит правду, а второй всегда врёт. Кто есть кто - непонятно. Блогеры могут задать только один вопрос и только одному таможеннику. Какой вопрос нужно задать, чтобы попасть в Африку - а не в крокодилову пасть?
Какой же вопрос нужно задать этим непонятным африканским таможенникам?
И ответы на предыдущую порцию задачек + список самых светлых голов, нашедших правильные решения.
Задачка 1. Можно ли представить число 2021^2021 в виде суммы 2021 последовательных нечётных натуральных чисел?
Решение: Элементарно. Для удобства обозначим «среднее число» как X = 2021^2021/2021 = 2021^2020. Оно нечётное и находится как раз посередине последовательности. А далее всё просто: раскладываем ряд с середины: X, X+2/X-2, X+4/X-4 - и так далее, пока не получим 2021 последовательных нечётных чисел.
Задачка 2. Какое наименьшее число n > 2020 таково, что число
a₁⁴ + a₂⁴ + … + aₙ⁴
5
будет целым при любых натуральных a₁, a₂, …, aₙ , не кратных 5?
Решение: Чуть сложнее. Нужно заметить, что все натуральные числа в степени 4 при делении на 5 дают следующие остатки:
(5k)⁴ = 0 (mod 5)
(5k+1)⁴ = 1 (mod 5)
(5k+2)⁴ = 16 (mod 5) = 1 (mod 5)
(5k+3)⁴ = 81 (mod 5) = 1 (mod 5)
(5k+4)⁴ = 256 (mod 5) = 1 (mod 5)
Сумма остатков n>2020 единиц впервые делится на 5 при n=2025.
Задачка 3. На доске в столбик написано 2021 уравнение вида:
*x² + *x + * = 0
Два игрока последовательно друг за другом в любом уравнении заменяют по одной произвольной звёздочке ненулевыми целыми числами. Первый игрок стремится чтобы как можно больше этих уравнений не имело действительных корней, а второй старается ему помешать и сделать как можно больше решабельных уравнений. Сколько максимально не имеющих решений уравнений может получить первый игрок вне зависимости от игры второго?
Решение: Уравнение ax² + bx + c не имеет действительных корней если у него отрицательный дискриминант: b² - 4ac < 0. Посему, стратегия первого очевидна: он ставит b в «пустые» уравнения, либо же «добивает» a или c, если осталась одна звёздочка. Стратегия второго обратна: ставить в «пустые» уравнения a (или c - неважно) или «добивать» или добивать до «решабельных» уравнения с одной оставшейся звёздочкой. Итого: первый забирает себе 1011 уравнений, второму остаются 1010.
Что интересно, данная схема не работает на чётном количестве уравнений, посему версию с 2020 строчками пришлось... «самоизолировать» :)
Все три задачки правильно решил Gr Bear. Также хочу отметить bar_suk, kostichek и mikluha_maklai за уверенные попытки, но... немного не дотянувшие до 100%.
kostichek отдельное спасибо за комментарий. В следующий раз будем дублировать unicode-символы более привычными, универсальными.