Аэродинамика
Решил перетащить сюда старый флуд на тему аэродинамики.
Редактирование осуществляется благодаря шпаргалке
http://wildmale.livejournal.com/26455.html
Ссылки на разумные учебники
- Ландау, Лифшиц. Том 6. Гидродинамика. http://lib.e-science.ru/book/20/
- MIT lectures http://web.mit.edu/fluids-modules/www/potential_flows/LecturesHTML
- John S. Denker. See How It Flies http://www.av8n.com/how/#contents
Популярные заблуждения
1) Данная картинка изображает распределение давлений в соответствии с теоремой Бернулли. (FALSE)
Осторожно - фальшивка!
На самом деле, картинка должна выглядеть приблизительно так.
Непосредственно после резкого расширения, давление останется по-прежнему маленьким, таким, каким оно было в узкой части. Давление частично восстановится лишь на значительном расстоянии от начала расширения. Еще раз подчеркну, не полностью, а именно частично (будет расхождение формулы Бернулли с реальностью, т.к., формула Бернулли не учитывает потерь на вихреобразование и вязкость).
2) В свободной струе давление ниже, чем в окружаещем воздухе. Якобы, это демонстрируется экспериментом вроде "подуть иежду листочками, и они сблизятся".(FALSE)
3) Крыло создает подъемную силу потому, что верхняя поверхность длиннее нижней.(FALSE)
4) В двумерном случае распределение скоростей в идеальной (несжимаемой, невязкой) жидкости всегда можно описать аналитической комплексной функцией.(FALSE)
Теорема Бернулли
Приблизительно вот так обычно выглядет перетекание воды из узкой части трубы в широкую. Получается узкий поток водок, движущийся с прежней скоростью, и "застойные" зоны. Соответственно, давление в расширяющейся части трубы не меняется.
Любопытно, что осесимметричное положение "быстрого потока" неустойчиво, он будет "хотеть" прижаться к какой-нибудь стенке.
Примечание 1. Если очень постараться, то действительно можно организовать течение потока таким образом, что давление воды будет возрастать при расширении трубы.
Примечание 2. На значительном расстоянии от расширения, из-за вязкости и турбулентного перемешивания, "быстрая" часть потока все-таки обменяется импульсом с водой из "застойных" зон. Давление, в результате, возрастет.
Введем обозначения: P1, S1, v1 - давление, площадь и скорость в "быстрой" части потока непосредственно после расширения трубы, S2 - площадь широкой части трубы, P2 - давление на значительном расстоянии от расширения, ρ - плотность.
P2-P1=ρv12(S1/S2-(S1/S2)2)
Следует отметить, что, если бы расширение было "прямоугольным", то "быстрая" часть потока воды в точности сохранила те же характеристики движения, какие были в узкой части трубы, т.е. набор P1, S1, v1 соответствовал бы узкой части трубы.
Как устроено крыло.
Для упрощения, будем рассматривать ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО двумерный случай.
В трехмерном случае картинка обтекания очень сильно поменяется.
Вначале будем разбираться качественно.
1.
Начнем с плоского крыла. Для упрощения рассмотрим только работу нижней стороны.
Возьмем плоскую прямую пластину и сунем ее под острым углом под струю воды. Основная часть потока повернет вдоль пластины ("назад"). Однако часть воды НЕИЗБЕЖНО устремится в обратном направлении ("вперед"), т.е. почти против падающего потока. Экспериментальная проверка - сунуть под кухонный кран что-то с плоской поверхностью, e.g. тарелку.
В двумерном случае кол-во повернувшей "не в ту сторону" воды вычисляется элементарно просто. Струя воды разбивается на 2 потока. Скорость этих потоков та же, что и у падающей струи (нет потерь энергии и нет обмена энергиями между 2 струями). Соответственно, "против потока" должно развернуться ровно столько воды, сколько нужно, чтобы обеспечить закон сохранения импульса в проекции на плоскость нашей тарелки.
Если посмотреть на глиссирующий виндсерфинг, отбрасываемая вперед вода видна очень хорошо. У катера с острым носом она отбрасывается "вверх вперед вбок".
2.
Естественно, отбрасывание части падающего потока "не туда" нас не радует (это же дополнительное торможение крыла), и мы начинаем простейшее крыло модифицировать.
Рассмотрим траекторию тех частиц, которые были отброшены в нужном направлении, изогнем тонкую пластину по этой траектории, и получим
изогнутое крыло нулевой толщины.
Оно будет прекрасно работать, но только на расчетном угле атаке. На других углах оно опять начнет "отбрасывать" поток вперед. С этим можно бороться, меняя кривизну такого крыла.
Примеры: отклоняемый носок крыла на некоторых истребителях, попытки яхтсменов регулировать "пузо" паруса.
3.
Итак, нас интересуют более простые в инженерном смысле решения.
Мы ищем "дешевый" способ развернуть на 180 тот небольшой поток, который выбрасывается вперед на нерасчетных режимах.
И тут мы вспоминаем об очень занятном эффекте. Если мы рассматриваем движение потока жидкости/газа вдоль плавно изгибающейся газонепроницаемой стенки, то поток как бы к ней "прилипает".
Эксперимент. Прикоснемся к вытекающей из кухонного крана струе воды боковой поверхностью бутылки (ось бутылки горизонтальна). Струя воды проследует вдоль поверхности бутылки больше чем на четверь оборота. Примечание. Поверхность бутылки должна быть более-менее гладкой.
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Venturi-and-Coanda-effect-2.gif
Объяснение. Предположим, вода пытается "отлипнуть" от бутылки. Возникает узкий расходящийся клин. Что будет внутри этого клина? Если ничего (вакуум), то атмосферное давление немедленно опять прижмет струю воды к бутылке. Если внутри клина попытается жить что-то (воздух, неподвижная вода), то это что-то, из-за трения о движущуюся воду, будет постоянно выноситься наружу из "клина".
Умозрительный эксперимент. В вакууме струя воды отклоняться не должна.
Примечание. Увы, ни разу не видел фотографии такого опыта :-(
В западной литературе явление следования потока вдоль выпуклой твердой поверхности называется эффектом Коанды. Само явление было известно очень давно, но в 1910 г. профессор аэродинамики Анри Коанда предложил исключительно зрелищную демонстрацию. Он построил реактивный самолет.
Примечание.1910 г., это не опечатка (!!!).
Для защиты хвоста от выхлопа крайне неудачно расположенного двигателя, Коанда применил закругленные дефлекторы. На испытаниях, при огромном стечении публики, дефлекторы отклонили пламя из двигателя на хвост самолета, и, после сгорания хвоста, потерявший управление самолет врезался в амбар.
При аварии Анри не пострадал и в дальнейшем спроектировал еще много летательных аппаратов.
[Update. Гугление показало, что, увы, данная история оказалась "городской легендой". Самолет "Coanda-1910" действительно демонстрировался на выставке, но только как "стационарный" экспонат. Никаких попыток полета, амбаров и сгоревших хвостов не было. Более того, есть очень серьезные основания полагать, что самолет не был реактивным. https://en.wikipedia.org/wiki/Coandă-1910 ]
Вернемся к рассмотрению крыла. Итак, если крыло нулевой толщины "расширить" так, что спереди появится закругление, то это закругление будет способно развернуть отбрасываемый воздух в нужную сторону. Для усиления эффекта иногда перед крылом ставят маленький предкрылок.
Теорема Жуковского
Когда крыло стартует и начинает разгоняться, с него стекает некий вихрь, который остается на месте старта крыла. Он там крутится и постепенно опускается вниз. Кроме того, некое возмущение от крыла начинает передаваться вперед по потоку и, в 2-мерном случае, улетает далеко вперед.
Для упрощения. мы рассматриваем, что получится через длительное время. Стартовый вихрь останется очень далеко сзади и ни на что не будет влиять, поле скоростей потока перед крылом, тоже, "подстроится" под данное крыло. Т.е., можно будет перейти к стационарной задачке.
Рассмотрим случай стационарного потока, т.е., в нашей системе координат
1. в любой неподвижной точке скорость потока не зависит от времени;
2. ни в каком месте воздух не накапливается, т.е. сколько втекает в замкнутый объемчик, неподвижный в нашей системе координат, столько и вытекает.
Термины "вперед" и "назад" будут применяться относительно крыла. Назад, это - направо.
Примечание. Вплоть до некоторой скорости крыло действительно обтекается стационарно. См фото http://amasci.com/wing/airgif2.html
При высоких скоростях стационарность нарушается.
Сперва у задней кромки крыла начинают образовываться вихри, которые уносятся назад потоком.
При дальнейшем увеличении скорости от крыла начинают отваливаться куски обшивки, которые тоже уносятся назад потоком. Эти режимы мы сейчас рассматривать не будем.
Выберем контур на некотором расстоянии от крыла, таком, что крыло не очень сильно меняет исходную скорость потока V. Изменение скорости в i-той точке контура обозначим как vi.
Вместо интегралов я буду записывать произведения соответствующих величин на длины. Тут главное ухватить идею.
Описание контура.
Будем обходить его по часовой стрелке.
Слева. Вертикальная передняя стенка высотой L1. В нее влетает воздух, у которого есть горизонтальная компонента скорости V и, возможно, вертикальная компонента v1. Вектора v1, L1 направлены вверх.
Сверху. Верхняя крышка контура L2 изогнута вдоль линии тока. Воздух движется вдоль нее со скоростью V+v2 (над крылом воздух обычно движется быстрее). Вектора L2, v2 направлены направо.
Сзади. Вертикальная задняя стенка. Воздух вылетает из нее с горизонтальной компонентой скорости V и вертикальной v3. Вектора L3, v3 направлены вниз.
Снизу. Изогнутое вдоль линии тока дно L4. Воздух движется вдоль него со скоростью -V+v4 (под крылом воздух обычно движется медленне). Вектора L4, v4 направлены налево.
В данных обозначениях
циркуляция по контуру = v1*L1+(V+v2)*L2+v3*L3+(-V+v4)*L4
Продолжим...
Для воздуха, проходящего через контур, запишем 2й закон Ньютона:
Сумма сил = изменение импульса за время.
Будем работать в проекции на вертикальную ось.
Плотность обозначим как ρ. Тогда
изменение импульса за время = ρV(L1*v1+L3*v3)
Знак "+" потому, что v1 и v3 направлены в противоположные стороны. Написанная формула - фрагмент будущей циркуляции (использованы отрезки L1 и L3)
Разберемся с силами, которые действуют на воздух в этом объемчике.
Во-первых, если на крыло действует подъемная сила F, то крыло действует на воздух с силой -F.
Во вторых, давления сверху и снизу отличаются от атмосферного.
Fразность давлений снаружи объемчика-Fподъемная сила крыла=изменение импульса за время
По теореме Бернулли, P + ρv2/2 = const
Если при расписывании (V+v)2 пренебречь v2, то отличие давления от атмосферного для верхней крышки - ρ*V*v2.
Для донышка + r*V*v4. Поверхности изогнуты, и силы давления не направлены вертикально вверх и вниз, но для малых углов это отличие несущественно. Значит, сила, вызванная разностью давлений, будет ρV*(L2*v2 + L4*v4)
Кроме того, L2 ~ L4, так что эту силу можно записать как
ρV*(L2*(v2+V) + L4*(v4-V))
Эта формула - тоже "фрагмент" циркуляции, использованы L2 и L4
подставив вычисленные силу и изменение импульса во 2й закон Ньютона, получим что
F = V*ρ*циркуляцию скорости по контуру.
Философские рассуждения о теореме Жуковского
При выводе я в явном виде воспользовался тем, что v много меньше V.
А что, если это условие не будет выполнено?
Если внимательно присмотреться к доказательству, то я, на самом деле, пренебрегал не vi2, а разностью v22-v42. То есть, если распределение скоростей в некотором смысле было бы осесимметричным, то можно было бы и не накладывать ограничение на v. Именно такой подход и реализован в MIT'шном учебнике. Проблема только в том, что "осесимметричное" распределение скоростей совсем не похоже на 3-мерный случай. Хоть я и обещал не поминать 3D, но, все-таки, из 2 мерной модели надо брать только то, что похоже на наш реальный 3-мерный мир.
теорема Жуковского-Кутты
Теорема Жуковского имеет очень приятные следствия. Если не рассматривать нестационарные задачи (e.g. вихри, которые уплывают назад по потоку) и не лезть в пространство непосредственно рядом с крылом, то
1. циркуляция вокруг крыла не зависит от формы контура и однозначно связана с подъемной силой;
2. циркуляция по любому контуру, не включающему в себя крыло, равна 0.
Если еще вспомнить условие стационарности о "ненакоплении воздуха" - сколько втекает в замкнутый объем, столько и должно вытечь, то выясняется, что не так уж много произвольных функций, задающих поле скоростей, могут соответствовать всем этим условиям.
Тут мы радостно вспоминаем ТФКП, конформные отображения, теорию вычетов etc.
Я ввязался в флуд на тему аэродинамики из-за массовых примеров идиотизма. IMHO, самая глупая вещь, которую может сделать автор учебника по аэродинамике, это - задать поле скоростей комплексной функцией ДО доказательства теоремы Жуковского.
Вернемся "к нашим баранам".
Нам бы хотелось как-то привязать величину циркуляции к форме крыла, чтобы научиться вычислять подъемную силу.
Предлагается следующее. Вместо рассмотрения реального распределения скоростей, продолжим картинку, построенную методами ТФКП до поверхности крыла так, что:
1. воздух будет течь вдоль контура крыла, не пересекая его;
2. воздух будет стекать именно с задней кромки крыла, т.е. не будет перетекания воздуха через заднюю кромку.
Последнее и есть условие Кутты, позволяющее выбрать правильную величину циркуляции. Подробнее см. http://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html#sec-flow-intro .
Условие Кутты, конечно, приближенное. Во-первых, эксперимент показывает, что поток воздуха сходит не с острой задней кромки, а с точки чуть выше по крылу.
Кроме того, что делать, если на контуре больше одной острой кромки? (Да знаю я ответ, знаю - читать работы Белоцерковского :-))
Во-вторых, можно сделать крыло, у которого задняя кромка вообще будет закругленной (это не так уж сильно помешает крылу создавать подъемную силу)...
Несмотря на эти замечания, для тех профилей, которые приняты в авиации, расчет циркуляции по условию Кутты дает хорошие результаты.
Примечание. Благодаря комментарию muh2 удалось отловить существенную ошибку в исходном тексте - в пункт 4) "теорема Бернулли" было вставлено выпавшее слово "аналитической".
Key words
аэродинамика, теорема Бернулли, давление, подъемная сила, теорема Жуковского, теорема Жуковского-Кутты, циркуляция по контуру, присоединенные вихри, эффект Коанды
Редактирование осуществляется благодаря шпаргалке
http://wildmale.livejournal.com/26455.html
Ссылки на разумные учебники
- Ландау, Лифшиц. Том 6. Гидродинамика. http://lib.e-science.ru/book/20/
- MIT lectures http://web.mit.edu/fluids-modules/www/potential_flows/LecturesHTML
- John S. Denker. See How It Flies http://www.av8n.com/how/#contents
Популярные заблуждения
1) Данная картинка изображает распределение давлений в соответствии с теоремой Бернулли. (FALSE)
Осторожно - фальшивка!
На самом деле, картинка должна выглядеть приблизительно так.
Непосредственно после резкого расширения, давление останется по-прежнему маленьким, таким, каким оно было в узкой части. Давление частично восстановится лишь на значительном расстоянии от начала расширения. Еще раз подчеркну, не полностью, а именно частично (будет расхождение формулы Бернулли с реальностью, т.к., формула Бернулли не учитывает потерь на вихреобразование и вязкость).
2) В свободной струе давление ниже, чем в окружаещем воздухе. Якобы, это демонстрируется экспериментом вроде "подуть иежду листочками, и они сблизятся".(FALSE)
3) Крыло создает подъемную силу потому, что верхняя поверхность длиннее нижней.(FALSE)
4) В двумерном случае распределение скоростей в идеальной (несжимаемой, невязкой) жидкости всегда можно описать аналитической комплексной функцией.(FALSE)
Теорема Бернулли
Приблизительно вот так обычно выглядет перетекание воды из узкой части трубы в широкую. Получается узкий поток водок, движущийся с прежней скоростью, и "застойные" зоны. Соответственно, давление в расширяющейся части трубы не меняется.
Любопытно, что осесимметричное положение "быстрого потока" неустойчиво, он будет "хотеть" прижаться к какой-нибудь стенке.
Примечание 1. Если очень постараться, то действительно можно организовать течение потока таким образом, что давление воды будет возрастать при расширении трубы.
Примечание 2. На значительном расстоянии от расширения, из-за вязкости и турбулентного перемешивания, "быстрая" часть потока все-таки обменяется импульсом с водой из "застойных" зон. Давление, в результате, возрастет.
Введем обозначения: P1, S1, v1 - давление, площадь и скорость в "быстрой" части потока непосредственно после расширения трубы, S2 - площадь широкой части трубы, P2 - давление на значительном расстоянии от расширения, ρ - плотность.
P2-P1=ρv12(S1/S2-(S1/S2)2)
Следует отметить, что, если бы расширение было "прямоугольным", то "быстрая" часть потока воды в точности сохранила те же характеристики движения, какие были в узкой части трубы, т.е. набор P1, S1, v1 соответствовал бы узкой части трубы.
Как устроено крыло.
Для упрощения, будем рассматривать ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО двумерный случай.
В трехмерном случае картинка обтекания очень сильно поменяется.
Вначале будем разбираться качественно.
1.
Начнем с плоского крыла. Для упрощения рассмотрим только работу нижней стороны.
Возьмем плоскую прямую пластину и сунем ее под острым углом под струю воды. Основная часть потока повернет вдоль пластины ("назад"). Однако часть воды НЕИЗБЕЖНО устремится в обратном направлении ("вперед"), т.е. почти против падающего потока. Экспериментальная проверка - сунуть под кухонный кран что-то с плоской поверхностью, e.g. тарелку.
В двумерном случае кол-во повернувшей "не в ту сторону" воды вычисляется элементарно просто. Струя воды разбивается на 2 потока. Скорость этих потоков та же, что и у падающей струи (нет потерь энергии и нет обмена энергиями между 2 струями). Соответственно, "против потока" должно развернуться ровно столько воды, сколько нужно, чтобы обеспечить закон сохранения импульса в проекции на плоскость нашей тарелки.
Если посмотреть на глиссирующий виндсерфинг, отбрасываемая вперед вода видна очень хорошо. У катера с острым носом она отбрасывается "вверх вперед вбок".
2.
Естественно, отбрасывание части падающего потока "не туда" нас не радует (это же дополнительное торможение крыла), и мы начинаем простейшее крыло модифицировать.
Рассмотрим траекторию тех частиц, которые были отброшены в нужном направлении, изогнем тонкую пластину по этой траектории, и получим
изогнутое крыло нулевой толщины.
Оно будет прекрасно работать, но только на расчетном угле атаке. На других углах оно опять начнет "отбрасывать" поток вперед. С этим можно бороться, меняя кривизну такого крыла.
Примеры: отклоняемый носок крыла на некоторых истребителях, попытки яхтсменов регулировать "пузо" паруса.
3.
Итак, нас интересуют более простые в инженерном смысле решения.
Мы ищем "дешевый" способ развернуть на 180 тот небольшой поток, который выбрасывается вперед на нерасчетных режимах.
И тут мы вспоминаем об очень занятном эффекте. Если мы рассматриваем движение потока жидкости/газа вдоль плавно изгибающейся газонепроницаемой стенки, то поток как бы к ней "прилипает".
Эксперимент. Прикоснемся к вытекающей из кухонного крана струе воды боковой поверхностью бутылки (ось бутылки горизонтальна). Струя воды проследует вдоль поверхности бутылки больше чем на четверь оборота. Примечание. Поверхность бутылки должна быть более-менее гладкой.
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Venturi-and-Coanda-effect-2.gif
Объяснение. Предположим, вода пытается "отлипнуть" от бутылки. Возникает узкий расходящийся клин. Что будет внутри этого клина? Если ничего (вакуум), то атмосферное давление немедленно опять прижмет струю воды к бутылке. Если внутри клина попытается жить что-то (воздух, неподвижная вода), то это что-то, из-за трения о движущуюся воду, будет постоянно выноситься наружу из "клина".
Умозрительный эксперимент. В вакууме струя воды отклоняться не должна.
Примечание. Увы, ни разу не видел фотографии такого опыта :-(
В западной литературе явление следования потока вдоль выпуклой твердой поверхности называется эффектом Коанды. Само явление было известно очень давно, но в 1910 г. профессор аэродинамики Анри Коанда предложил исключительно зрелищную демонстрацию. Он построил реактивный самолет.
Примечание.1910 г., это не опечатка (!!!).
Для защиты хвоста от выхлопа крайне неудачно расположенного двигателя, Коанда применил закругленные дефлекторы. На испытаниях, при огромном стечении публики, дефлекторы отклонили пламя из двигателя на хвост самолета, и, после сгорания хвоста, потерявший управление самолет врезался в амбар.
При аварии Анри не пострадал и в дальнейшем спроектировал еще много летательных аппаратов.
[Update. Гугление показало, что, увы, данная история оказалась "городской легендой". Самолет "Coanda-1910" действительно демонстрировался на выставке, но только как "стационарный" экспонат. Никаких попыток полета, амбаров и сгоревших хвостов не было. Более того, есть очень серьезные основания полагать, что самолет не был реактивным. https://en.wikipedia.org/wiki/Coandă-1910 ]
Вернемся к рассмотрению крыла. Итак, если крыло нулевой толщины "расширить" так, что спереди появится закругление, то это закругление будет способно развернуть отбрасываемый воздух в нужную сторону. Для усиления эффекта иногда перед крылом ставят маленький предкрылок.
Теорема Жуковского
Когда крыло стартует и начинает разгоняться, с него стекает некий вихрь, который остается на месте старта крыла. Он там крутится и постепенно опускается вниз. Кроме того, некое возмущение от крыла начинает передаваться вперед по потоку и, в 2-мерном случае, улетает далеко вперед.
Для упрощения. мы рассматриваем, что получится через длительное время. Стартовый вихрь останется очень далеко сзади и ни на что не будет влиять, поле скоростей потока перед крылом, тоже, "подстроится" под данное крыло. Т.е., можно будет перейти к стационарной задачке.
Рассмотрим случай стационарного потока, т.е., в нашей системе координат
1. в любой неподвижной точке скорость потока не зависит от времени;
2. ни в каком месте воздух не накапливается, т.е. сколько втекает в замкнутый объемчик, неподвижный в нашей системе координат, столько и вытекает.
Термины "вперед" и "назад" будут применяться относительно крыла. Назад, это - направо.
Примечание. Вплоть до некоторой скорости крыло действительно обтекается стационарно. См фото http://amasci.com/wing/airgif2.html
При высоких скоростях стационарность нарушается.
Сперва у задней кромки крыла начинают образовываться вихри, которые уносятся назад потоком.
При дальнейшем увеличении скорости от крыла начинают отваливаться куски обшивки, которые тоже уносятся назад потоком. Эти режимы мы сейчас рассматривать не будем.
Выберем контур на некотором расстоянии от крыла, таком, что крыло не очень сильно меняет исходную скорость потока V. Изменение скорости в i-той точке контура обозначим как vi.
Вместо интегралов я буду записывать произведения соответствующих величин на длины. Тут главное ухватить идею.
Описание контура.
Будем обходить его по часовой стрелке.
Слева. Вертикальная передняя стенка высотой L1. В нее влетает воздух, у которого есть горизонтальная компонента скорости V и, возможно, вертикальная компонента v1. Вектора v1, L1 направлены вверх.
Сверху. Верхняя крышка контура L2 изогнута вдоль линии тока. Воздух движется вдоль нее со скоростью V+v2 (над крылом воздух обычно движется быстрее). Вектора L2, v2 направлены направо.
Сзади. Вертикальная задняя стенка. Воздух вылетает из нее с горизонтальной компонентой скорости V и вертикальной v3. Вектора L3, v3 направлены вниз.
Снизу. Изогнутое вдоль линии тока дно L4. Воздух движется вдоль него со скоростью -V+v4 (под крылом воздух обычно движется медленне). Вектора L4, v4 направлены налево.
В данных обозначениях
циркуляция по контуру = v1*L1+(V+v2)*L2+v3*L3+(-V+v4)*L4
Продолжим...
Для воздуха, проходящего через контур, запишем 2й закон Ньютона:
Сумма сил = изменение импульса за время.
Будем работать в проекции на вертикальную ось.
Плотность обозначим как ρ. Тогда
изменение импульса за время = ρV(L1*v1+L3*v3)
Знак "+" потому, что v1 и v3 направлены в противоположные стороны. Написанная формула - фрагмент будущей циркуляции (использованы отрезки L1 и L3)
Разберемся с силами, которые действуют на воздух в этом объемчике.
Во-первых, если на крыло действует подъемная сила F, то крыло действует на воздух с силой -F.
Во вторых, давления сверху и снизу отличаются от атмосферного.
Fразность давлений снаружи объемчика-Fподъемная сила крыла=изменение импульса за время
По теореме Бернулли, P + ρv2/2 = const
Если при расписывании (V+v)2 пренебречь v2, то отличие давления от атмосферного для верхней крышки - ρ*V*v2.
Для донышка + r*V*v4. Поверхности изогнуты, и силы давления не направлены вертикально вверх и вниз, но для малых углов это отличие несущественно. Значит, сила, вызванная разностью давлений, будет ρV*(L2*v2 + L4*v4)
Кроме того, L2 ~ L4, так что эту силу можно записать как
ρV*(L2*(v2+V) + L4*(v4-V))
Эта формула - тоже "фрагмент" циркуляции, использованы L2 и L4
подставив вычисленные силу и изменение импульса во 2й закон Ньютона, получим что
F = V*ρ*циркуляцию скорости по контуру.
Философские рассуждения о теореме Жуковского
При выводе я в явном виде воспользовался тем, что v много меньше V.
А что, если это условие не будет выполнено?
Если внимательно присмотреться к доказательству, то я, на самом деле, пренебрегал не vi2, а разностью v22-v42. То есть, если распределение скоростей в некотором смысле было бы осесимметричным, то можно было бы и не накладывать ограничение на v. Именно такой подход и реализован в MIT'шном учебнике. Проблема только в том, что "осесимметричное" распределение скоростей совсем не похоже на 3-мерный случай. Хоть я и обещал не поминать 3D, но, все-таки, из 2 мерной модели надо брать только то, что похоже на наш реальный 3-мерный мир.
теорема Жуковского-Кутты
Теорема Жуковского имеет очень приятные следствия. Если не рассматривать нестационарные задачи (e.g. вихри, которые уплывают назад по потоку) и не лезть в пространство непосредственно рядом с крылом, то
1. циркуляция вокруг крыла не зависит от формы контура и однозначно связана с подъемной силой;
2. циркуляция по любому контуру, не включающему в себя крыло, равна 0.
Если еще вспомнить условие стационарности о "ненакоплении воздуха" - сколько втекает в замкнутый объем, столько и должно вытечь, то выясняется, что не так уж много произвольных функций, задающих поле скоростей, могут соответствовать всем этим условиям.
Тут мы радостно вспоминаем ТФКП, конформные отображения, теорию вычетов etc.
Я ввязался в флуд на тему аэродинамики из-за массовых примеров идиотизма. IMHO, самая глупая вещь, которую может сделать автор учебника по аэродинамике, это - задать поле скоростей комплексной функцией ДО доказательства теоремы Жуковского.
Вернемся "к нашим баранам".
Нам бы хотелось как-то привязать величину циркуляции к форме крыла, чтобы научиться вычислять подъемную силу.
Предлагается следующее. Вместо рассмотрения реального распределения скоростей, продолжим картинку, построенную методами ТФКП до поверхности крыла так, что:
1. воздух будет течь вдоль контура крыла, не пересекая его;
2. воздух будет стекать именно с задней кромки крыла, т.е. не будет перетекания воздуха через заднюю кромку.
Последнее и есть условие Кутты, позволяющее выбрать правильную величину циркуляции. Подробнее см. http://www.av8n.com/how/htm/airfoils.html#sec-flow-intro .
Условие Кутты, конечно, приближенное. Во-первых, эксперимент показывает, что поток воздуха сходит не с острой задней кромки, а с точки чуть выше по крылу.
Кроме того, что делать, если на контуре больше одной острой кромки? (Да знаю я ответ, знаю - читать работы Белоцерковского :-))
Во-вторых, можно сделать крыло, у которого задняя кромка вообще будет закругленной (это не так уж сильно помешает крылу создавать подъемную силу)...
Несмотря на эти замечания, для тех профилей, которые приняты в авиации, расчет циркуляции по условию Кутты дает хорошие результаты.
Примечание. Благодаря комментарию muh2 удалось отловить существенную ошибку в исходном тексте - в пункт 4) "теорема Бернулли" было вставлено выпавшее слово "аналитической".
Key words
аэродинамика, теорема Бернулли, давление, подъемная сила, теорема Жуковского, теорема Жуковского-Кутты, циркуляция по контуру, присоединенные вихри, эффект Коанды