самые маленькие линейные пространства

[az118]

Линейное пространство L(A,F) - это просто абелева группа векторов A над полем скаляров F с дистрибутивным отн. векторного сложения умножением вектора на скаляр, результатом которого будет снова вектор. Последняя операция дает различные линейные комбинации векторов вида c1b1 +...+ ckbk, где cj - скаляры, а bj - вектора, j = 1,...,k. Система векторов линейно зависима, если возможна дающая нулевой вектор их линейная комбинация: c1b1 +...+ ckbk = 0. В противном случае система линейно не зависима и каждый вектор пространства однозначно представим линейной комбинацией ее векторов: с = c1b1 +...+ ckbk или просто последовательностью коэффициентов (c1,...,ck). Такая система является базисом линейного пространства L(A,F), а число ее элементов - его размерностью.

1. A = {0,b}, F = {0,1}, k = 1

F | A
+| 0 1 |*| 0 1 |+| 0 b |*| 0 b
-|-----|-|-----|-|-----|-|-----
0| 0 1 |0| 0 0 |0| 0 b |0| 0 0
1| 1 0 |1| 0 1 |b| b 0 |1| 0 b

2. A = {0,b,-b}, F = {0,1,-1}, k = 1

F | A
+| 0 1-1 | *| 0 1-1 | +| 0 b-b | *| 0 b-b
--|-------|--|-------|--|-------|--|-------
0| 0 1-1 | 0| 0 0 0 | 0| 0 b-b | 0| 0 0 0
1| 1-1 0 | 1| 0 1-1 | b| b-b 0 | 1| 0 b-b
-1|-1 0 1 |-1| 0-1 1 |-b|-b 0 b |-1| 0-b b