три чуда линейной алгебры

[avva]

У известного венгерского математика Ласло Бабаи есть, оказывается, учебник линейной алгебры, еще не дописанный до конца, под названием "Discover Linear Algebra". Большинство доказательств в нем дается в виде упражнений

Comments

[niktoinikak]

???????????????? Если множества - да. Но пространство - вряд ли. Т е топологическое пространство конечной размерности вряд ли может содержать подпространство большей размерности. Просто по определению.

[hyperpov]

Это смотря какие пространства рассматривать и как размерность определять.

[niktoinikak]

Не будете ли Вы столь любезны привести пример пространства, содержащего подпространство большей размерности?

[hyperpov]

Нет, настолько любезным я не буду, так как это нужно искать и вникать. Да и зачем оно Вам, если Вы, очевидно, определения топологической размерности в глаза не видели?
Смею Вас уверить, что вопрос о ее монотонности в общей постановке крайне нетривиален. Посмотрите, скажем, обсуждение, в котором Вы найдете и ссылку на интересующий Вас пример. Или полюбуйтесь на серьезную научную работу, в которой монотонность размерности доказывается при некоторых дополнительных условиях.
Как Вы можете убедиться, никакого «по определению» здесь нет и близко.

[niktoinikak]

Спасибо. Очень интересно.
Я действительно не знаю конкретных определений размерности, но исходил из общего представления - типа того что находим у Александрова-Пасынкова в начале их учебника
https://libcats.org/book/444788?ysclid=lwk1jl3u22652027734

стр 8 - "Размерность фигуры - наименьшая возможная кратность замкнутого замощения её достаточно мелкими замкнутыми подмножествами" (ну, это для метрических пр-в - но я и сказал "типа")
Тогда след замощения пр-ва есть замощение подпр-ва - и имеет не большую кратность. Что и доказывает в данном случае что размерность подпр-ва не выше размерности обьемлющего пр-ва. Мне представлялось, что аналогичное положение и в других случаях.
Оказался неправ. Но всё-таки - это экзотика :-)

[xaxam]

>>> Я действительно не знаю конкретных определений размерности

[xaxam]

Серьёзная научная работа, на которую вы ссылаетесь, была написана в 2008 году и с тех пор никем не прочтена. Я сомневаюсь, что тамошний результат хоть сколько-нибудь содержателен. Вообще вся эта деятельность "пусиков" многие десятилетия спустя того, как результаты потеряли всякий интерес, вряд ли может быть ответом на столь "элементарный" вопрос. В статье Пасынкова обсуждается совешенно экзотическая "размерность": если порыскать по МатСцыНету, то сочетание covering dimension встречается в среднем в десятке работ в год, в основном для конечных пространств.

[hyperpov]

Я, естественно, не вникал, но мне показалось, что под covering dimension скрывается то, что принято называть просто топологической размерностью, то есть, наоборот, самое ходовое понятие. Поскольку есть еще всякие ind, Ind и т.д., автор решил уточнить, что имеется в виду. Covering - потому что определяется через покрытия.

[xaxam]

Я чуть-чуть полистал матчасть. Covering dimension определяется для конечных пространств с дополнительной структурой и принимает там различные значения.

Позвольте мне, не вдаваясь в глубины пасынковщины, сказать: слово "размерность" во всей этой науке не имеет почти никакого отношения к той размерности, которую мы худо-бедно видели раньше (хаусдорфову, энтропийную, топологическую и т.д.). Никакое утверждение про пасынковскую размерность (будь то гипотеза или её доказательство в частном случае) не должно вызывать ничего, кроме зевоты, у сторонних наблюдателей, поскольку знание этой размерности ну ровным счётом ничего не прибавляет к нашему знанию о соответствующем "пространстве".

[hyperpov]

Возможно, я притащил и не самый удачный пример, но все же не совсем понимаю, откуда следует, что там рассматриваются только конечные пространства и какое-то экзотическое определение размерности. Отличие от стандартного определения топологической размерности состоит, как будто бы, всего лишь в том, что добавляется требование функциональной отделимости элементов покрытия. Для «человеческих» пространств это, вроде бы, вообще несущественно.
Примеры, где размерность подпространства превышает размерность объемлющего пространства, разумеется, являются - с точки зрения подавляющего большинства - полнейшим извращением, но они показывают, что непосредственно из определения монотонность размерности автоматически не следует. Ничего более я не планировал утверждать.

[niktoinikak]

Народ Вас не одобряет!
https://niktoinikak.livejournal.com/3550154.html
Но я с народом несогласен!

[hyperpov]

На самом деле, если немного подумать и ничем себя не ограничивать (вроде T31/2), то построить пример топологического пространства, содержащего в себе подпространство большей размерности, не так уж и хитро.
Возьмем множество X из четырех элементов {a,b,c,d}. Собственное подмножество объявим открытым, если и только если оно не содержит a, но содержит b. Тогда a покрывается только самим множеством X, поэтому любое открытое покрытие имеет X в качестве элемента. Значит, покрытие {X} вписывается в любое другое. Оно имеет кратность 1, так что dim(X)=0.
Теперь выкинем a, то есть рассмотрим подпространство Y={b,c,d}, в котором непустое подмножество открыто, если и только если оно содержит b. В покрытие {{b,c},{b,d}} ничего, отличного от него самого, вписать не получится, а кратность его равна 2. Таким образом, dim(Y)>0 (нетрудно убедиться, что dim(Y)=1). Занавес.

PS что же до народа, то иногда лучше безмолствовать

[akor168]

Вы добавили слово "топологическое". Его не было ни в посте, ни в комменте. Я имел ввиду отображения как множеств естественно. А топологическая теория размерности как оказалось это весьма нетривиальная штука.
И любопытных отображений пространств как бы высшей размерности в числовую прямую вагон и маленькая тележка. Тот же Кантор по легенде много лет пытался доказать что в квадрате больше точек чем на отрезке. То есть неожиданным оказалось существование даже просто инъективного отображения квадрата на отрезок, которое сейчас изучается чуть ли не в школе.

[niktoinikak]

Этого слова действительно не было ни в посте ни в Вашем комменте, но оно однозначно подразумевалось Вашей фразой - если считать, что она имеет какой-то смысл. Увы, это предположение оказалось неверным - это было бла-бла :-(

[akor168]

Ну, допустим, я просто хотел упомянуть равномощность арифметических действительных пространств разной алгебраической размерности, которая в свое время совершенно не являлась интуитивной даже для математиков. Отвечая на коммент в котором не математик(а значит скорее всего не знающий про теорию Кантора) удивляется почему вообще может возникнуть обсуждение вопроса, что пространство большой размерности не помещается в меньшее. О том и речь что в другом, более расширенном контексте, вполне помещается.

[niktoinikak]

Ваше выступление было настолько вне контекста ... В отличие от разумного поста, на который Вы ответили. Несколько, мягко говоря, неудачно.