три чуда линейной алгебры

[avva]

У известного венгерского математика Ласло Бабаи есть, оказывается, учебник линейной алгебры, еще не дописанный до конца, под названием "Discover Linear Algebra". Большинство доказательств в нем дается в виде упражнений

Comments

[misha_b]

I have never thought about the third one. It is indeed very surprising.

[burrru]

Есть ощущение, что второе чудо будет как-то связано с тем, что у полинома степени n - n корней.

[niktoinikak]

Никак не связано.

[burrru]

Вполне возможно. Это лишь моё ощущение: значение полинома в точке представить как произведение вектора Вандермонда на строку коэффицентов, и относиться к столбцам матрицы как к комбинациям векторов Вандермонда, а к строчкам - как к комбинациям коэффицентов полиномов. Но я не математик, мне просто так почудилось.

[mi_b]

Второе свойство верно для пространств над кольцами, даже не обязательно над незамкнутыми полями, так что корней у полинома может быть и меньше степени

[utnapishti]

Я как раз хотел написать в комментариях к записи про ранг, что элементарная линейная алгебра (векторные пространства, линейные отображения, и соответствующие манпуляции с матрицами) течёт легко и почти без препятствий. Есть три исключения: (1) размер любого производящего множества ≥ размер любого линейно независимого множества; (2) ранг по строкам равен рангу по столбцам; (3) для квадратных матриц, если AB=I, то BA=I. Но засомневался в равноценности элементов этой триады, потому что после того, как мы доказали (2), теорема (3) уже "не очень дорого стоит". Забавно, что (3) из списка Бабаи это почти то же самое (точнее, частный случай, верно?), но выглядит более "чудесато": одно дело какие-то наборы чисел, и другое - компоненты взаимно перпендикулярных векторов.

[niktoinikak]

https://niktoinikak.livejournal.com/2777212.html

[utnapishti]

В процитированной вами теореме заранее дано, что f биекция.
Поэтому соответствующее ей утверждение о матрицах таково: Если A (двусторонне) обратимая матрица и AB=I, то BA=I. Это, действительно, очень просто.
Но "чудом" является более сильное утверждение: Если A квадратная матрица (о которой заранее не известно, что она двусторонне обратимая) и AB=I, то BA=I.

[niktoinikak]

Если AB=I (где А и В рассматриваем как линейные операторы) в конечномерном линейном пространстве то А - биекция. Равно и В, конечно.

[niktoinikak]

1-ое для меня не чудо, а вот 2 и 3 - да. С 3-им, кстати, связано другое поразительное чудо - вывод этого факта из совершенно абстрактных соображений:
https://niktoinikak.livejournal.com/2777212.html

[niktoinikak]

Ну, и ещё одно чудо, тесно связанное с предыдущим
https://niktoinikak.livejournal.com/1337538.html

[niktoinikak]

Для меня удивительно вот ещё что. Вы же учили линейку в Tехнионе. Неужели Вы не восприняли это как чудо тогда?!