Гиперкомплексные числа
Натуральные числа сперва были обобщены до целых, затем до рациональных, затем до вещественных чисел ℝ. А потом придумали три разных расширения ℝ:
- комплексные числа ℂ,
- кватернионы ℍ и
- октонионы 𝕆.
Возникает закономерный вопрос, исчерпываются ли доброкачественные числовые системы, обобщающие ℝ этими четырьмя вариантами.
Числовые системы, добавляющие к вещественным числам какие-то дополнительные, и сохраняющие ассоциативно-коммутативное сложение и дистрибутивное над ним (но не обязательно коммутативного и/или ассоциативного) умножение называются унитальными ℝ-алгебрами. Если не требовать никаких дополнительных свойств или структур, то таких штуковин необозримая тьма.
Однако если потребовать наличие (линейной, положительно-определённой) операции взятия модуля со свойством |ab| = |a| |b|, то выясняется, что все варианты исчерпаны.
Теорема Гурвица-Альберта-Райта-Урбаника:
ℝ, ℂ, ℍ и 𝕆 являются единственными унитальными ℝ-алгебрами с модулем.
Требование наличия модуля оказывается удивительно мощным требованием. Во-первых оно сразу исключает делители нуля, это легко увидеть. Но в самом деле удивительно то, что оно гарантирует:
- конечномерность алгебры над ℝ (при наличии унитальности),
- около-ассоциативность умножения и
- наличие операции деления.
Путь к этой теореме был извилист.
* * *
Началось всё с
Теоремы Фробениуса:
Всякая конечномерная ассоциативная ℝ-алгебра c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.
Вариант Понтрягина:
Всякая связная локально-компактная ассоциативная алгебра над ℝ c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.
Вариант Мазура:
Всякая банахова ℝ-алгебра c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.
Тут напрямую требуется ассоциативность, наличие операции деления, и тем или иным способом ограничивается размер.
Требование ассоциативности удалось опустить, потребовав наличия положительно-определённой билинейной формы.
Теорема Гурвица: Конечномерная композициональная ℝ-алгебра с делением изоморфна ℝ, ℂ, ℍ или 𝕆.
Дальше уже Альберт показал, что всякая ℝ-алгебра с модулем образуется из композициональной ℝ-алгебры с делением, и в самом конце Райт с Урбаником показали, что из унитальности такой алгебры следует конечномерность. (Вместо унитальности можно потребовать flexibility или power-associativity, очень слабые варианты около-ассоциативности.)
- комплексные числа ℂ,
- кватернионы ℍ и
- октонионы 𝕆.
Возникает закономерный вопрос, исчерпываются ли доброкачественные числовые системы, обобщающие ℝ этими четырьмя вариантами.
Числовые системы, добавляющие к вещественным числам какие-то дополнительные, и сохраняющие ассоциативно-коммутативное сложение и дистрибутивное над ним (но не обязательно коммутативного и/или ассоциативного) умножение называются унитальными ℝ-алгебрами. Если не требовать никаких дополнительных свойств или структур, то таких штуковин необозримая тьма.
Однако если потребовать наличие (линейной, положительно-определённой) операции взятия модуля со свойством |ab| = |a| |b|, то выясняется, что все варианты исчерпаны.
Теорема Гурвица-Альберта-Райта-Урбаника:
ℝ, ℂ, ℍ и 𝕆 являются единственными унитальными ℝ-алгебрами с модулем.
Требование наличия модуля оказывается удивительно мощным требованием. Во-первых оно сразу исключает делители нуля, это легко увидеть. Но в самом деле удивительно то, что оно гарантирует:
- конечномерность алгебры над ℝ (при наличии унитальности),
- около-ассоциативность умножения и
- наличие операции деления.
Путь к этой теореме был извилист.
* * *
Началось всё с
Теоремы Фробениуса:
Всякая конечномерная ассоциативная ℝ-алгебра c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.
Вариант Понтрягина:
Всякая связная локально-компактная ассоциативная алгебра над ℝ c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.
Вариант Мазура:
Всякая банахова ℝ-алгебра c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.
Тут напрямую требуется ассоциативность, наличие операции деления, и тем или иным способом ограничивается размер.
Требование ассоциативности удалось опустить, потребовав наличия положительно-определённой билинейной формы.
Теорема Гурвица: Конечномерная композициональная ℝ-алгебра с делением изоморфна ℝ, ℂ, ℍ или 𝕆.
Дальше уже Альберт показал, что всякая ℝ-алгебра с модулем образуется из композициональной ℝ-алгебры с делением, и в самом конце Райт с Урбаником показали, что из унитальности такой алгебры следует конечномерность. (Вместо унитальности можно потребовать flexibility или power-associativity, очень слабые варианты около-ассоциативности.)