Гиперкомплексные числа

[akuklev]

Натуральные числа сперва были обобщены до целых, затем до рациональных, затем до вещественных чисел ℝ. А потом придумали три разных расширения ℝ:
- комплексные числа ℂ,
- кватернионы ℍ и
- октонионы 𝕆.

Возникает закономерный вопрос, исчерпываются ли доброкачественные числовые системы, обобщающие ℝ этими четырьмя вариантами.

Comments

[dreameranalyst]

Есть очень занятная книжка Кантора и Солодовникова "Гиперкомплексные числа" (ты, Саша, наверное, знаешь). Написана, в общем, для совсем начинающих, которые даже с матрицами толком не умеют работать. Там любопытный разговор на тему "Кватернион как вращение". То есть, это тривиально по большому счёту, поскольку кватернион есть матрица, но этого же можно и не знать :-) Вообще, Исай Львович Кантор - очень интересный математик.

[akuklev]

А где бы взять статью “Транзитивно-дифференциальные группы и инвариантные связности на однородных пространствах” этого самого Исая Львовича Кантора? Если верить книжке Бориса Розенфельда “Geometry of Lie Groups”, именно там вводится понятие “эластичных алгебр” - дистрибутивных алгебр, где выполняется (xy)x = x(yx), (xy)(xx) = x(y(xx)) и (x(xx)y) = (xx)(yy), что, насколько я понимаю, имплицирует моноассоциативность над полем любой характеристики (для характеристик взаимнопростых с 2*3*5 согласно классической работе Альберта достаточно первого и второго условия). Я хотел взглянуть в эту исходную статью, посмотреть мотивацию именно такого определения.

[dreameranalyst]

Он регулярно печатался в сборниках "Труды семинара во векторному и тензорному анализу". Название статьи знакомое и, смутное ощущение, что как раз из этого сборника. Вообще, он "по происхождению" диф. геометр и мотивация, наверняка, геометрическая.

[akuklev]

Да, это “Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике” Вып. 13 / МГУ : Изд-во Моск. ун-та, 1966. - 563, но мне не удалось найти это онлайн.

[kwaxx]

Это интересно.
А какие основные следствия из этого утверждения ?
Что это дает нам ?

[alexanderr]

я где-то слышал, что  Atiyah дал очень короткое доказательство
теоремы Адамса ( space R^n admits a structure of division iff n=1,2,4,8 )
на основе  К-theory. по слухам, оно уместилось на почтовой открытке

[akuklev]

Ух ты! Хочухочу.

[alexanderr]

а вот например здесь:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hopf_invariant

в разделе Properties все и рассказано.
а первые две ссылки внизу как раз статья Адамса и потом статья Адамса-Атьи

[66george]

Александр, Вы ходите на какие-нибудь форумы по теме? Я зашёл на типовый форум (typelist), там вообще настала смерть, а на FOM, по-моему, никогда не было интересно. Ведь есть же где-то живые люди?

[akuklev]

Нет, не хожу. Не знаю даже, есть ли живые форумы по этой тематике. :-(

[s1drag0n]

ребят, правда ли что есть теорема показывающая что мощнее множества гиперкомплексных нет ? ну те сколько единиц различных мнимых не добавляй после 3х - мощность будет таже ?