Мой сюжет по геометрии
Составил геометрический сюжет для 9-10 классов на олимпиаду ЮМШ.
Пока положу тут как он был в условиях, потом добавлю разные доп. вопросы и комментарии.
Назовём окружность, проходящую через середины сторон треугольника, срединной окружностью этого треугольника.
1. Докажите, что срединная окружность треугольника касается описанной около него окружности тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным.
2. Даны две окружности с отношением радиусов 1:2, причём одна строго внутри другой. Докажите, что для любой точки на большей окружности существует ровно один треугольник, у которого данная точка будет одной из вершин, большая окружность --- описанной, а меньшая --- срединной.
3. Даны две пересекающиеся окружности с отношением радиусов 1:2. Постройте ГМТ A, таких, что существует треугольник, у которого А является вершиной тупого угла, большая окружность служит описанной, а меньшая --- срединной.
4. Даны две окружности с радиусами 1 и 2 и расстоянием между центрами a < 1. Найдите множество значений углов треугольников, которым большая окружность служит описанной, а меньшая --- срединной.
Пока положу тут как он был в условиях, потом добавлю разные доп. вопросы и комментарии.
Назовём окружность, проходящую через середины сторон треугольника, срединной окружностью этого треугольника.
1. Докажите, что срединная окружность треугольника касается описанной около него окружности тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным.
2. Даны две окружности с отношением радиусов 1:2, причём одна строго внутри другой. Докажите, что для любой точки на большей окружности существует ровно один треугольник, у которого данная точка будет одной из вершин, большая окружность --- описанной, а меньшая --- срединной.
3. Даны две пересекающиеся окружности с отношением радиусов 1:2. Постройте ГМТ A, таких, что существует треугольник, у которого А является вершиной тупого угла, большая окружность служит описанной, а меньшая --- срединной.
4. Даны две окружности с радиусами 1 и 2 и расстоянием между центрами a < 1. Найдите множество значений углов треугольников, которым большая окружность служит описанной, а меньшая --- срединной.