Еще про доказательства в математике и обучение им
По следам моего недавнего поста про то, в какой степени математика основана на логической строгости оформления доказательств (в том числе):
https://a-konst.livejournal.com/211331.html
хочу процитировать тут себя же из еще более недавнего обсуждения в дружественном журнале:
https://cmt96.livejournal.com/27478.html
"Когда я начал учить детей в маткружке, я внезапно для себя понял, что в принципе не могу им логически, безупречно, объяснить, как отличить доказательство от туфты."
Тут надо пояснить. Конечно, для каждого конкретного док-ва можно хорошо сказать, где дыра. Но какой-то общей, универсальной схеме, алгоритму, научить не получается. Можно его задним числом пытаться сформулировать, но все равно скорее всего он на деле даже не будет помогать в работе уже настоящему математику, и уж подавно никак не поможет научиться тому, кто еще не умеет доказывать сам.
Было это где-то в 2006 году. Осознал я это в их первом летнем лагере, между 5 и 6 классом. Там как раз были азы теории множеств и матлогики, все эти таблички истинности, импликации, и пр.
Пользуясь моментом, я попытался донести, что то, что мы словами проговариваем как доказательство - вообще-то хорошо ложится на эти логические схемы.
Оказалось, что поняли это среди детей те и только те, кто и без того хорошо интуитивно различал доказательство от просто красивого набора слов.
До того момента я сам был в общем убежден, что да, математика более-менее основана на строгих логических правилах, а доказательства надежны потому (и в той степени), что их оформление соответствует этим правилам. Даже опыт чтения Бурбаков, который у меня уже был аж на 1 курсе (лет за 12 до того), не заставил меня в этом усомниться.
Но наглядное свидетельство, что я не могу научить понимаю этого тех, кто сам не понимает - меня впечатлило. Потом я еще много раз видел подтверждения этому.
Грубо говоря, есть один способ этому научить - показывать много доказательств и пытаться объяснить в каждом конкретном случае ошибочного док-ва, где же тут ошибка. Попытки навести некую мета-структуру и показывать, что вот, структура логики доказательства не соответствует неким общим принципам, никак помогают человеку понять, что там пробел в рассуждениях. Те, кто сами этот пробел видят (чувствуют) - те соглашаются, да, нарушение структуры. А те, кто не видят - те вообще не ощущают и связи рассуждения с той структурой. Хотя казалось бы, доказательство от противного - отлично объясняется на табличках истинности. А вот нет, не помогают им эти таблички составлять свои похожие рассуждения по той же схеме.
https://a-konst.livejournal.com/211331.html
хочу процитировать тут себя же из еще более недавнего обсуждения в дружественном журнале:
https://cmt96.livejournal.com/27478.html
"Когда я начал учить детей в маткружке, я внезапно для себя понял, что в принципе не могу им логически, безупречно, объяснить, как отличить доказательство от туфты."
Тут надо пояснить. Конечно, для каждого конкретного док-ва можно хорошо сказать, где дыра. Но какой-то общей, универсальной схеме, алгоритму, научить не получается. Можно его задним числом пытаться сформулировать, но все равно скорее всего он на деле даже не будет помогать в работе уже настоящему математику, и уж подавно никак не поможет научиться тому, кто еще не умеет доказывать сам.
Было это где-то в 2006 году. Осознал я это в их первом летнем лагере, между 5 и 6 классом. Там как раз были азы теории множеств и матлогики, все эти таблички истинности, импликации, и пр.
Пользуясь моментом, я попытался донести, что то, что мы словами проговариваем как доказательство - вообще-то хорошо ложится на эти логические схемы.
Оказалось, что поняли это среди детей те и только те, кто и без того хорошо интуитивно различал доказательство от просто красивого набора слов.
До того момента я сам был в общем убежден, что да, математика более-менее основана на строгих логических правилах, а доказательства надежны потому (и в той степени), что их оформление соответствует этим правилам. Даже опыт чтения Бурбаков, который у меня уже был аж на 1 курсе (лет за 12 до того), не заставил меня в этом усомниться.
Но наглядное свидетельство, что я не могу научить понимаю этого тех, кто сам не понимает - меня впечатлило. Потом я еще много раз видел подтверждения этому.
Грубо говоря, есть один способ этому научить - показывать много доказательств и пытаться объяснить в каждом конкретном случае ошибочного док-ва, где же тут ошибка. Попытки навести некую мета-структуру и показывать, что вот, структура логики доказательства не соответствует неким общим принципам, никак помогают человеку понять, что там пробел в рассуждениях. Те, кто сами этот пробел видят (чувствуют) - те соглашаются, да, нарушение структуры. А те, кто не видят - те вообще не ощущают и связи рассуждения с той структурой. Хотя казалось бы, доказательство от противного - отлично объясняется на табличках истинности. А вот нет, не помогают им эти таблички составлять свои похожие рассуждения по той же схеме.