О чертежах в геометрии.
К обсуждению содержательности геометрии Лобачевского.
Теперь о простых вещах, о чертежах в геометрии. С чего бы это ради людям пугаться просьбы описать построение всех линий, или, равносильно, окончательный полный чертеж со всеми линиями? Ну правда, зачем еще чертеж? Ведь всё можно и текстом описать. Но некоторые отказываются и от чертежа, и не описывают текстом всех построений.
Вот скажем, Смогоржевский в "§3 Инверсия" пишет:
«Рассмотрим рис.3, ... Так как ОА' - проекция катета OB прямоугольноrо треугольника ОАB на гипотенузу ОА, то ...»
Автор не сообщает, как он построил все линии треугольника, а просто перечисляет нам имена вершин. На что он рассчитывает? А вдруг мы станем выбирать, какие стороны имеются ввиду под сторонами треугольника ОАB, и выберем для гипотенузы зигзаг, вот на этом рисунке:
Автор расчитывает, что под сторонами в треугольнике мы понимаем то же, что и он. На каком основании?[Spoiler (click to open)]Есть постулат Эвклида: от каждой точки до каждой точки можно провести прямую. И постулат Эвклида, что любым радиусом из любой точки проводят окружность. Следовательно, автор может понимать между вершинами все стороны прямые, а мы вправе под какой-то стороной понимать дугу, если расстояние до двух точек от третьей окажется равным. Возникает двусмысленность, и придется проделать лишнюю работу, что понять автора и отсечь невозможное. Такой автор невежествен в геометрии.
Хотя и бесспорно, что между двумя точками можно построить какие угодно линии, и ломаные, и дуги, и параболу, и ... Но для построения иных, кроме прямолинейных сторон, и дуги из случая выше, нужны еще точки, и еще другие линии. А даны только три. У Смогоржевского рис.3 такой:
Данный чертеж, кажется, снимает всякую двусмысленность. Однако, если на чертеже вытянутый узкий равнобедренный треугольник, то возникает подозрение, а что у нас в синусе? Следовательно, для строгости необходимы явно прописанные построения всех сторон. Тогда чертеж треугольника не нужен? Чертеж голого треугольника не нужен. Вместо описания словами, достаточен чертеж треугольника со всеми линиями, сообщающими, как он построен.
Верно и обратное, увидев дугу или параболу в треугольнике вместо прямой линии, и больше ничего кроме этого, геометр правомерно заметит, что для построения дуги или параболы нужны все вспомогательные линии и точки. Если их нет, чертеж произвольный. А из произвола ничего логически не выводят.
Некоторые по наивности думают, что произвольный треугольник определяется произвольным выбором точек. Образно говоря, ткнул геометр пальцем три раза, провел три линии, появился чертеж с одним треугольником. Но есть проблема в том, что после такого произвола уже невозможно отнести данный треугольник какому-нибудь классу: равнобедренные, прямоугольные, и т.д. Нет оснований. На произволе всё и останавливается.
Поэтому, когда говорим "мы выбрали для рассмотрения равнобедренный треугольник", мы подразумеваем, что он именно построен. Геометр произвольно выбирает только первую точку. Это не проблема с произволом, из нее он ничего и не выводит. Он заглядывает в постулаты Эвклида, там допускается строить окружность произвольного радиуса. В системе Эвклида через точку-центр можно провести прямую. Получает диаметр и пересечения. С концов диаметра строит две равные окружности, с радиусом ... и т.д. и наконец, соединяет все три точки прямыми, и равнобедренный треугольник готов. Да, он произвольный, но принадлежит к классу равнобедренных.
То есть, заявить, "возьмем прямолинейный прямоугольный треугольник", а затем порассуждать далее и сказать, что у нас теперь вписанный в окружность такой же треугольник, но угол, опирающийся на диаметр не прямой, значит получить вопрос геометра: на основании вначале чего допускалось, что взят именно прямолинейный прямоугольный треугольник? Для такого утверждения чертежа с голым треугольником, похожим на прямоугольный, недостаточно. Достаточно чертежа, где треугольник вписан в окружность, и одна сторона это диаметр. Чертеж можно и не подписывать "это прямолинейный прямоугольный треугольник". Достаточно надписи: "Смотри!".
То есть, процесс построения есть всегда, и всегда каждую сторону строят, и никаких произволов, кроме выбора первой точки.
Ну, читаем дальше Смогоржевского "§3 Некоторые теоремы геометрии Лобачевского":
«Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.
Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 30). Его стороны а, Ь, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, ...»
И что здесь подумает уважаемый читатель, про рис. 30? Нужен нам чертеж к теореме или не нужен?
Теперь мы видим, что чертеж содержит всю информацию о построении фигуры "треугольник", а вот текст теоремы расширяет описание треугольника из доказательства, в него попадают еще и прямолинейные прямоугольные треугольники. Возникает подозрение, что автор возможно, где-то дальше, готовится использовать софизм "незаконное расширение тезиса", опираясь в дальнейшем только на текст теоремы.
Так что если кому захочется посрамить Пифагора насчет длины гипотенузы, подменяя ее длиной дуги, ему выгодно будет всё фигуры называть одним термином треугольник, а доказательство вести для сферического, гиперболического, и пр. не прямолинейных. Чертеж со всеми линиями не показывать. Только вот где найти аудиторию из геометров-дураков?
---
Теперь о простых вещах, о чертежах в геометрии. С чего бы это ради людям пугаться просьбы описать построение всех линий, или, равносильно, окончательный полный чертеж со всеми линиями? Ну правда, зачем еще чертеж? Ведь всё можно и текстом описать. Но некоторые отказываются и от чертежа, и не описывают текстом всех построений.
Вот скажем, Смогоржевский в "§3 Инверсия" пишет:
«Рассмотрим рис.3, ... Так как ОА' - проекция катета OB прямоугольноrо треугольника ОАB на гипотенузу ОА, то ...»
Автор не сообщает, как он построил все линии треугольника, а просто перечисляет нам имена вершин. На что он рассчитывает? А вдруг мы станем выбирать, какие стороны имеются ввиду под сторонами треугольника ОАB, и выберем для гипотенузы зигзаг, вот на этом рисунке:
Автор расчитывает, что под сторонами в треугольнике мы понимаем то же, что и он. На каком основании?[Spoiler (click to open)]Есть постулат Эвклида: от каждой точки до каждой точки можно провести прямую. И постулат Эвклида, что любым радиусом из любой точки проводят окружность. Следовательно, автор может понимать между вершинами все стороны прямые, а мы вправе под какой-то стороной понимать дугу, если расстояние до двух точек от третьей окажется равным. Возникает двусмысленность, и придется проделать лишнюю работу, что понять автора и отсечь невозможное. Такой автор невежествен в геометрии.
Хотя и бесспорно, что между двумя точками можно построить какие угодно линии, и ломаные, и дуги, и параболу, и ... Но для построения иных, кроме прямолинейных сторон, и дуги из случая выше, нужны еще точки, и еще другие линии. А даны только три. У Смогоржевского рис.3 такой:
Данный чертеж, кажется, снимает всякую двусмысленность. Однако, если на чертеже вытянутый узкий равнобедренный треугольник, то возникает подозрение, а что у нас в синусе? Следовательно, для строгости необходимы явно прописанные построения всех сторон. Тогда чертеж треугольника не нужен? Чертеж голого треугольника не нужен. Вместо описания словами, достаточен чертеж треугольника со всеми линиями, сообщающими, как он построен.
Верно и обратное, увидев дугу или параболу в треугольнике вместо прямой линии, и больше ничего кроме этого, геометр правомерно заметит, что для построения дуги или параболы нужны все вспомогательные линии и точки. Если их нет, чертеж произвольный. А из произвола ничего логически не выводят.
Некоторые по наивности думают, что произвольный треугольник определяется произвольным выбором точек. Образно говоря, ткнул геометр пальцем три раза, провел три линии, появился чертеж с одним треугольником. Но есть проблема в том, что после такого произвола уже невозможно отнести данный треугольник какому-нибудь классу: равнобедренные, прямоугольные, и т.д. Нет оснований. На произволе всё и останавливается.
Поэтому, когда говорим "мы выбрали для рассмотрения равнобедренный треугольник", мы подразумеваем, что он именно построен. Геометр произвольно выбирает только первую точку. Это не проблема с произволом, из нее он ничего и не выводит. Он заглядывает в постулаты Эвклида, там допускается строить окружность произвольного радиуса. В системе Эвклида через точку-центр можно провести прямую. Получает диаметр и пересечения. С концов диаметра строит две равные окружности, с радиусом ... и т.д. и наконец, соединяет все три точки прямыми, и равнобедренный треугольник готов. Да, он произвольный, но принадлежит к классу равнобедренных.
То есть, заявить, "возьмем прямолинейный прямоугольный треугольник", а затем порассуждать далее и сказать, что у нас теперь вписанный в окружность такой же треугольник, но угол, опирающийся на диаметр не прямой, значит получить вопрос геометра: на основании вначале чего допускалось, что взят именно прямолинейный прямоугольный треугольник? Для такого утверждения чертежа с голым треугольником, похожим на прямоугольный, недостаточно. Достаточно чертежа, где треугольник вписан в окружность, и одна сторона это диаметр. Чертеж можно и не подписывать "это прямолинейный прямоугольный треугольник". Достаточно надписи: "Смотри!".
То есть, процесс построения есть всегда, и всегда каждую сторону строят, и никаких произволов, кроме выбора первой точки.
Ну, читаем дальше Смогоржевского "§3 Некоторые теоремы геометрии Лобачевского":
«Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.
Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 30). Его стороны а, Ь, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, ...»
И что здесь подумает уважаемый читатель, про рис. 30? Нужен нам чертеж к теореме или не нужен?
Теперь мы видим, что чертеж содержит всю информацию о построении фигуры "треугольник", а вот текст теоремы расширяет описание треугольника из доказательства, в него попадают еще и прямолинейные прямоугольные треугольники. Возникает подозрение, что автор возможно, где-то дальше, готовится использовать софизм "незаконное расширение тезиса", опираясь в дальнейшем только на текст теоремы.
Так что если кому захочется посрамить Пифагора насчет длины гипотенузы, подменяя ее длиной дуги, ему выгодно будет всё фигуры называть одним термином треугольник, а доказательство вести для сферического, гиперболического, и пр. не прямолинейных. Чертеж со всеми линиями не показывать. Только вот где найти аудиторию из геометров-дураков?
---