О содержательности построений Лобачевского
Начало обсуждения здесь:
http://awas1952.livejournal.com/2873751.html?thread=136784023#t136784023
---------------
Можно далее предположить, обосновав этим примером, что всякая попытка строить подобные фигуры без полной системы положений Эвклида - бессмысленна. Вытащив одну деталь, мы сломаем "машину" его геометрии, и далее, как костяшки домино, будут отпадать все конструкции, выводимые из начал Эвклида. В частности, пока Вы согласились, что у Лобачевского сломались способы построения прямоугольников. Но вот еще и гомотетия отвалилась, нет гомотетии, нет и параллельного переноса. Образно говоря, нет способа скопировать в новое место фигуру.
Найдя на чертеже две равные фигуры, мы должны проверить, нельзя ли их построить гомотетией. Если можно, то найдено противоречие.
Заметим, что отрицание гомотетии не означает запрет самих действий геометра, из определения гомотетии. Если по-отдельности все действия допустимы, то все вместе они определят допустимость гомотетии. А результат допустимых действий отрицать уже невозможно.
[Spoiler (click to open)]
Покажем один содержательный пример гомотетии, который по всем действиями геометра правомерен в системе Лобачевского. Гомотетией с k=-1 будет центральная симметрия. Такие гомотетии строятся с использованием положений: а) можно провести прямую через две произвольные точки; б) из всякой произвольной точки можно провести круг всяким произвольным радиусом. Оба действия в системе Лобачевского допустимы, ч.т.п.
Далее, возьмем что-н. простенькое. Пусть даны две точки. Нужно отрезок на них разделить пополам. Если утверждаем, что это возможно, то одновременно утверждаем что мы можем провести два одинаковых круга. Еще. Пусть дана прямая. Выберем произвольную точку вне этой прямой. Утверждение, что мы можем восставить перпендикуляр на прямую через эту точку равносильно утверждать, что мы можем проводить несколько кругов. И два из них будут одинаковы. Еще. Пусть мы чудесным способом разделили отрезок пополам. Нельзя ли построить пол-отрезка гомотетией? А хорды в центральных углах?
А есть ли два одинаковых круга у Лобачевского?
Лобачевский нигде не отрицает аксиому Эвклида, что все прямые углы равны между собой. Действительно, произвольно, в каком-то месте пространства, положим (как Вы это и сделали), можно провести круг, в нем произвольно выбрать перпендикулярные диаметры, и получить плоские прямые углы с вершинами в центре круга. А как мы можем допустить весь этот произвол в рассуждение? Только неявно допуская безразличность выбора точки в пространстве у Лобачевского. Но этот инвариант к выбору в пространстве Лобачевского никто не доказывал.
Кто-то может сказать, что геометр имеет право на второй способ, кроме гомотетии, то есть не строить, а произвольно указывать точку и строить круг. Затем также произвольно строит следующий. Но в утверждениях на произвол не опираются, так что из произвола ничего не следует. Следовательно, всякая точка обязана быть построена, кроме возможно, самой первой. Гомотетией?
Кто-то может другой аргумент привести. У Лобачевского все параллельные прямые разбиты на два класса, из-за чего известный оборот речи "параллельный перенос" в другую область пространства, либо возможен, либо невозможен. В логике невозможность установить истинность высказывания есть его бездоказательность и нефальсифицируемость, в науке такие высказывания не рассматривают. Следовательно, нужно сделать выбор. Если выбор - гомотетия возможна, обсуждать больше нечего, это геометрия Эвклида. Утверждать же, что гомотетия одновременно и возможна, и невозможна, или зависит от выбора рассуждающего, это к Аристотелю, читать о запрете противоречий в рассуждениях.
Есть правда, четкое подозрение, что у Лобачевского не рассуждающий выбирает, какой класс параллельных ему более выгоден для доказывания, а просто у него неявно подразумевается, что нет безразличности выбора точек пространства.
http://awas1952.livejournal.com/2873751.html?thread=136784023#t136784023
---------------
Можно далее предположить, обосновав этим примером, что всякая попытка строить подобные фигуры без полной системы положений Эвклида - бессмысленна. Вытащив одну деталь, мы сломаем "машину" его геометрии, и далее, как костяшки домино, будут отпадать все конструкции, выводимые из начал Эвклида. В частности, пока Вы согласились, что у Лобачевского сломались способы построения прямоугольников. Но вот еще и гомотетия отвалилась, нет гомотетии, нет и параллельного переноса. Образно говоря, нет способа скопировать в новое место фигуру.
Найдя на чертеже две равные фигуры, мы должны проверить, нельзя ли их построить гомотетией. Если можно, то найдено противоречие.
Заметим, что отрицание гомотетии не означает запрет самих действий геометра, из определения гомотетии. Если по-отдельности все действия допустимы, то все вместе они определят допустимость гомотетии. А результат допустимых действий отрицать уже невозможно.
[Spoiler (click to open)]
Покажем один содержательный пример гомотетии, который по всем действиями геометра правомерен в системе Лобачевского. Гомотетией с k=-1 будет центральная симметрия. Такие гомотетии строятся с использованием положений: а) можно провести прямую через две произвольные точки; б) из всякой произвольной точки можно провести круг всяким произвольным радиусом. Оба действия в системе Лобачевского допустимы, ч.т.п.
Далее, возьмем что-н. простенькое. Пусть даны две точки. Нужно отрезок на них разделить пополам. Если утверждаем, что это возможно, то одновременно утверждаем что мы можем провести два одинаковых круга. Еще. Пусть дана прямая. Выберем произвольную точку вне этой прямой. Утверждение, что мы можем восставить перпендикуляр на прямую через эту точку равносильно утверждать, что мы можем проводить несколько кругов. И два из них будут одинаковы. Еще. Пусть мы чудесным способом разделили отрезок пополам. Нельзя ли построить пол-отрезка гомотетией? А хорды в центральных углах?
А есть ли два одинаковых круга у Лобачевского?
Лобачевский нигде не отрицает аксиому Эвклида, что все прямые углы равны между собой. Действительно, произвольно, в каком-то месте пространства, положим (как Вы это и сделали), можно провести круг, в нем произвольно выбрать перпендикулярные диаметры, и получить плоские прямые углы с вершинами в центре круга. А как мы можем допустить весь этот произвол в рассуждение? Только неявно допуская безразличность выбора точки в пространстве у Лобачевского. Но этот инвариант к выбору в пространстве Лобачевского никто не доказывал.
Кто-то может сказать, что геометр имеет право на второй способ, кроме гомотетии, то есть не строить, а произвольно указывать точку и строить круг. Затем также произвольно строит следующий. Но в утверждениях на произвол не опираются, так что из произвола ничего не следует. Следовательно, всякая точка обязана быть построена, кроме возможно, самой первой. Гомотетией?
Кто-то может другой аргумент привести. У Лобачевского все параллельные прямые разбиты на два класса, из-за чего известный оборот речи "параллельный перенос" в другую область пространства, либо возможен, либо невозможен. В логике невозможность установить истинность высказывания есть его бездоказательность и нефальсифицируемость, в науке такие высказывания не рассматривают. Следовательно, нужно сделать выбор. Если выбор - гомотетия возможна, обсуждать больше нечего, это геометрия Эвклида. Утверждать же, что гомотетия одновременно и возможна, и невозможна, или зависит от выбора рассуждающего, это к Аристотелю, читать о запрете противоречий в рассуждениях.
Есть правда, четкое подозрение, что у Лобачевского не рассуждающий выбирает, какой класс параллельных ему более выгоден для доказывания, а просто у него неявно подразумевается, что нет безразличности выбора точек пространства.