О "математической строгости" в школьном курсе геометрии и одном заблуждении Александра Шеня
Случайно купил у букинистов и с большим интересом прочитал брошюру А. Шеня "О "математической строгости" в школьном курсе математики" [1]. Ранее я уже был знаком с книгой того же автора "Программирование: теоремы и задачи", и его подход мне очень понравился. В данной же брошюре Шень ставит вечный вопрос о соотношении строгости и "очевидности" в школьном курсе математики и в очередной раз констатирует отсутствие на него ответа. Захотелось дать некоторые комментарии к разделу 4 "Аксиомы связи".
Но начну издалека. Попытка привнести в школьный курс геометрии аксиоматический подход предпринята, кажется, впервые А.Н. Колмогоровым, дело которого продолжил А.В. Погорелов. На последнего, почему-то, и обрушился шквал уничтожающей критики. Оппоненты не стеснялись в выражениях и выражали недоумение, как такой ужасающий учебник мог так долго продержаться в школьной программе (см., например, [2]). Кстати, учебник Погорелова, появившийся в 1982 году, переиздается до сих пор (с существенными, однако, изменениями), последнее издание, которое я читал, вышло в 2022 году. Про столь же непримиримую критику Колмогорова мне ничего неизвестно. Возможно, дело в том, что Колмогоров - знаменитый академик, а Погорелов - никому не ведомый "выскочка" из Харькова. Интересно, что прочие учебники, например Атанасяна и др., в которых аксиоматика заменена картинками, никто критиковать даже не думает. Ну, если авторы ничего не утверждают, то за что их ругать?
Вернемся к Погорелову. Прежде чем появился школьный учебник, были другие его книги, предназначенные для любознательных школьников. В моей библиотеке есть книга [3], на первое издание которой ссылается А. Шень. Что же до школьного учебника, то Шень пользуется изданием 1985, в то время как в моем распоряжении есть только 1983 (по которому, кстати, я учился в школе) [4]. Надеюсь, они отличаются несущественно.
Итак, в своих учебниках А.В. Погорелов отталкивается от придуманной им системы аксиом, которые отличаются от всем известных аксиом Гильберта [5]. В книге [3] группа аксиом расположения точек на прямой и плоскости выглядит так:
II₁. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
II₂. Точка, лежащая на прямой, разбивает прямую на две полупрямые. Точки одной полупрямой не разделяются точкой, производящей деление. Точки разных полупрямых разделяются этой точкой.
II₃. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.
В предшествующем тексте термин "разделяются точкой" сводится к термину "лежат по разные стороны", который выводится из "лежит между", так что здесь нет логического пробела.
Похвалив мастерство Погорелова, который придумал аксиомы более понятные школьникам, чем аналогичного назначения аксиомы Гильберта, Шень дает на их основе решение некоторых предложенных Погореловым задач. Вот одно из них. Погорелов определяет понятие "проходит между" для луча и сторон угла следующим образом: луч проходит между сторонами угла, если он пересекает некоторый отрезок с концами на сторонах угла. Но такое определение некорректно. В самом деле, допустим луч не пересекает данный отрезок с концами на сторонах угла. Можно ли утверждать, что этот луч не проходит между сторонами угла? Нет, нельзя. Ведь для того, чтобы он проходил по определению достаточно, чтобы нашелся какой-нибудь отрезок, пересекаемый лучом. Совсем необязательно это будет данный нам отрезок. Как же выяснять свойство прохождения? Нельзя же перебрать весь континуум отрезков! Некорректность снимается теоремой, которую Погорелов не доказывает, а предлагает доказать читателю в качестве упражнения (задача 18 на с. 28 в [3]). Теорема эта утверждает, что если луч пересекает некоторый отрезок с концами на сторонах угла, то он пересекает и любой другой отрезок с концами на сторонах угла. Впрочем, в другой своей книге [6] Погорелов эту теорему всё же доказывает сам - глава XIV, §4.
И здесь Шень проявляет завидную скрупулезность. Он отмечает, что авторское доказательство имеет изъян: доказано лишь, что прямая, содержащая данный луч, пересекает любой отрезок. Но неясно, производится пересечение данным лучом, или же дополнительным к нему? Погорелов не ставит такой вопрос и не отвечает на него, а Шень в [1], с. 15, дает возможное доказательство этого утверждения. Не буду скрывать, я тоже в свое время обратил на это внимание и даже нашел прямое, а не "от противного", доказательство.
Какие же претензии могут быть к Шеню? Дело в том, что Шень приводит эту теорему как пример деградации учебника в последующих изданиях. Именно, он утверждает, что в новых изданиях от детального обоснования взаимного расположения точек и прямых остались лишь рожки да ножки. Например, в издании 1986 года отсутствует аксиома II₂, а II₃ сформулирована куда короче: прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. А раз II₂ выброшена, то, по мнению Шеня, определение полупрямой лишено смысла.
Но так ли это? Действительно, в школьных учебниках, в отличие от книги [3], система аксиом взаимного расположения выглядит иначе. У меня нет издания 1986 года, но в [4] вторая группа основных свойств такова:
II₁. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
II₂. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
В издании 2022 года [7] просто изменена нумерация:
II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Шень прав? Нет. Учебник не деградировал, он усложнился. Тот факт, что точка прямой делит прямую на две полупрямые, не нужно формулировать как аксиому, потому что его можно доказать. Именно за такой подход Шень хвалил Погорелова, когда обсуждал луч, проходящий между сторонами угла. А для доказательства как раз используется новая аксиома II₂ (IV) о разбиении плоскости на две полуплоскости. Погорелова здесь можно упрекнуть лишь в том, что такое доказательство явно не проводится. В издании 1983 года [4] на него нет даже намека, а позже - не могу сказать, когда именно - появляется доказательство транзитивности отношения "лежит по одну сторону", необходимое для корректного определения полупрямой. В [7] это доказательство имеется - задача 20 к §1, решенная в тексте. Есть у Погорелова и еще одно упущение, но оно уже совсем тонкое, вряд ли доступное школьникам. Из аксиом групп I и II можно вывести тот факт, что полупрямых с началом в данной точке не более двух. Чтобы доказать, что их ровно две, нужно свойство откладывания отрезков IV₁ (VI). На это обратил внимание А.Д. Александров в 1985 г. [8].
То, что формулировка новой аксиомы II₂ стала короче, тоже не проблема. Просто автор вынес объяснение смысла термина "разбивает" в предшествующий текст. Ученики плохих учителей, заставляющих зубрить формулировки дословно, должны быть благодарны Погорелову за это.
Совсем ничего не деградировало и в случае с лучом, проходящим между сторонами угла. Как и в книге [3] автор по-прежнему возлагает бремя доказательства на учащегося. В [4] это задача 23 к §2, а в [7] - задача 49 к §1.
Любопытно отметить, что в вузовском учебнике [6] отсутствует аксиома откладывания углов, которая в книге [4] выглядит так:
IV₂. Каково бы ни было положительное число n, меньшее 180, от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить и притом только один угол, равный n градусам.
В [4] аналогичное утверждение имеет также номер IV₂, а [7] - VII. Почему его нет в [6]? Деградация? Опять нет. Причина та же, что и с аксимой II₂ из [3] - это утверждение можно доказать. Правда, для доказательства нужно отождествить точки на прямой с вещественными числами (с помощью аксиом измерения и откладывания отрезка заданной длины), а затем использовать понятие точной верхней грани и её существование для ограниченного сверху подмножества вещественных чисел, что далеко выходит за пределы школьной математики.
И все же, некоторое упрощения учебника Погорелова с годами прослеживается. Только не в том смысле, как писал Шень. Из новых изданий пропадают наиболее сложные задачи, а некоторые другие упрощаются. Скажем, исчезла весьма интересная задача о построении прямой, которая отсекает от угла треугольник заданного периметра. В задачах о медианах треугольника, которые пересекаются в одной точке (а также об аналогичных свойствах биссектрис, высот и серединных перпендикуляров) больше не требуется доказывать тот факт, что они вообще пересекаются. На мой взгляд, с педагогической точки зрения лучше не выкидывать сложные задачи, а отнести их в дополнительные главы, необязательные для изучения, и дать к ним подробные решения.
Литература
1. Шень А. О «математической строгости» в школьном курсе математики. - М.: МЦНМО, 2006. - 72 с. (https://www.lirmm.fr/~ashen/rigor.pdf)
2. Винберг Э.Б. О концепции учебника геометрии А.В.Погорелова // Математическое просвещение. Третья серия, вып.19. - М.: МЦНМО, 2015. С. 199-205. (https://old.mccme.ru/free-books/matpros/pdf/mp-19.pdf).
3. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. - 2-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 208 с.
4. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 кл. средней школы. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1983. - 288 с.
5. Гильберт Д. Основания геометрии / Перевод с 7-го немецкого издания. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 492 с.
6. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд. - М.: Наука, 1984. - 288 с.
7. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учебник. - 11-е изд., стер. - М.: Просвещение, 2022. - 239 с.
8. Александров А.Д. О строгости изложения в учебном пособии А.В. Погорелова // Математика в школе, 1985, №5, с. 64.
Но начну издалека. Попытка привнести в школьный курс геометрии аксиоматический подход предпринята, кажется, впервые А.Н. Колмогоровым, дело которого продолжил А.В. Погорелов. На последнего, почему-то, и обрушился шквал уничтожающей критики. Оппоненты не стеснялись в выражениях и выражали недоумение, как такой ужасающий учебник мог так долго продержаться в школьной программе (см., например, [2]). Кстати, учебник Погорелова, появившийся в 1982 году, переиздается до сих пор (с существенными, однако, изменениями), последнее издание, которое я читал, вышло в 2022 году. Про столь же непримиримую критику Колмогорова мне ничего неизвестно. Возможно, дело в том, что Колмогоров - знаменитый академик, а Погорелов - никому не ведомый "выскочка" из Харькова. Интересно, что прочие учебники, например Атанасяна и др., в которых аксиоматика заменена картинками, никто критиковать даже не думает. Ну, если авторы ничего не утверждают, то за что их ругать?
Вернемся к Погорелову. Прежде чем появился школьный учебник, были другие его книги, предназначенные для любознательных школьников. В моей библиотеке есть книга [3], на первое издание которой ссылается А. Шень. Что же до школьного учебника, то Шень пользуется изданием 1985, в то время как в моем распоряжении есть только 1983 (по которому, кстати, я учился в школе) [4]. Надеюсь, они отличаются несущественно.
Итак, в своих учебниках А.В. Погорелов отталкивается от придуманной им системы аксиом, которые отличаются от всем известных аксиом Гильберта [5]. В книге [3] группа аксиом расположения точек на прямой и плоскости выглядит так:
II₁. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
II₂. Точка, лежащая на прямой, разбивает прямую на две полупрямые. Точки одной полупрямой не разделяются точкой, производящей деление. Точки разных полупрямых разделяются этой точкой.
II₃. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.
В предшествующем тексте термин "разделяются точкой" сводится к термину "лежат по разные стороны", который выводится из "лежит между", так что здесь нет логического пробела.
Похвалив мастерство Погорелова, который придумал аксиомы более понятные школьникам, чем аналогичного назначения аксиомы Гильберта, Шень дает на их основе решение некоторых предложенных Погореловым задач. Вот одно из них. Погорелов определяет понятие "проходит между" для луча и сторон угла следующим образом: луч проходит между сторонами угла, если он пересекает некоторый отрезок с концами на сторонах угла. Но такое определение некорректно. В самом деле, допустим луч не пересекает данный отрезок с концами на сторонах угла. Можно ли утверждать, что этот луч не проходит между сторонами угла? Нет, нельзя. Ведь для того, чтобы он проходил по определению достаточно, чтобы нашелся какой-нибудь отрезок, пересекаемый лучом. Совсем необязательно это будет данный нам отрезок. Как же выяснять свойство прохождения? Нельзя же перебрать весь континуум отрезков! Некорректность снимается теоремой, которую Погорелов не доказывает, а предлагает доказать читателю в качестве упражнения (задача 18 на с. 28 в [3]). Теорема эта утверждает, что если луч пересекает некоторый отрезок с концами на сторонах угла, то он пересекает и любой другой отрезок с концами на сторонах угла. Впрочем, в другой своей книге [6] Погорелов эту теорему всё же доказывает сам - глава XIV, §4.
И здесь Шень проявляет завидную скрупулезность. Он отмечает, что авторское доказательство имеет изъян: доказано лишь, что прямая, содержащая данный луч, пересекает любой отрезок. Но неясно, производится пересечение данным лучом, или же дополнительным к нему? Погорелов не ставит такой вопрос и не отвечает на него, а Шень в [1], с. 15, дает возможное доказательство этого утверждения. Не буду скрывать, я тоже в свое время обратил на это внимание и даже нашел прямое, а не "от противного", доказательство.
Какие же претензии могут быть к Шеню? Дело в том, что Шень приводит эту теорему как пример деградации учебника в последующих изданиях. Именно, он утверждает, что в новых изданиях от детального обоснования взаимного расположения точек и прямых остались лишь рожки да ножки. Например, в издании 1986 года отсутствует аксиома II₂, а II₃ сформулирована куда короче: прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. А раз II₂ выброшена, то, по мнению Шеня, определение полупрямой лишено смысла.
Но так ли это? Действительно, в школьных учебниках, в отличие от книги [3], система аксиом взаимного расположения выглядит иначе. У меня нет издания 1986 года, но в [4] вторая группа основных свойств такова:
II₁. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
II₂. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
В издании 2022 года [7] просто изменена нумерация:
II. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
IV. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Шень прав? Нет. Учебник не деградировал, он усложнился. Тот факт, что точка прямой делит прямую на две полупрямые, не нужно формулировать как аксиому, потому что его можно доказать. Именно за такой подход Шень хвалил Погорелова, когда обсуждал луч, проходящий между сторонами угла. А для доказательства как раз используется новая аксиома II₂ (IV) о разбиении плоскости на две полуплоскости. Погорелова здесь можно упрекнуть лишь в том, что такое доказательство явно не проводится. В издании 1983 года [4] на него нет даже намека, а позже - не могу сказать, когда именно - появляется доказательство транзитивности отношения "лежит по одну сторону", необходимое для корректного определения полупрямой. В [7] это доказательство имеется - задача 20 к §1, решенная в тексте. Есть у Погорелова и еще одно упущение, но оно уже совсем тонкое, вряд ли доступное школьникам. Из аксиом групп I и II можно вывести тот факт, что полупрямых с началом в данной точке не более двух. Чтобы доказать, что их ровно две, нужно свойство откладывания отрезков IV₁ (VI). На это обратил внимание А.Д. Александров в 1985 г. [8].
То, что формулировка новой аксиомы II₂ стала короче, тоже не проблема. Просто автор вынес объяснение смысла термина "разбивает" в предшествующий текст. Ученики плохих учителей, заставляющих зубрить формулировки дословно, должны быть благодарны Погорелову за это.
Совсем ничего не деградировало и в случае с лучом, проходящим между сторонами угла. Как и в книге [3] автор по-прежнему возлагает бремя доказательства на учащегося. В [4] это задача 23 к §2, а в [7] - задача 49 к §1.
Любопытно отметить, что в вузовском учебнике [6] отсутствует аксиома откладывания углов, которая в книге [4] выглядит так:
IV₂. Каково бы ни было положительное число n, меньшее 180, от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить и притом только один угол, равный n градусам.
В [4] аналогичное утверждение имеет также номер IV₂, а [7] - VII. Почему его нет в [6]? Деградация? Опять нет. Причина та же, что и с аксимой II₂ из [3] - это утверждение можно доказать. Правда, для доказательства нужно отождествить точки на прямой с вещественными числами (с помощью аксиом измерения и откладывания отрезка заданной длины), а затем использовать понятие точной верхней грани и её существование для ограниченного сверху подмножества вещественных чисел, что далеко выходит за пределы школьной математики.
И все же, некоторое упрощения учебника Погорелова с годами прослеживается. Только не в том смысле, как писал Шень. Из новых изданий пропадают наиболее сложные задачи, а некоторые другие упрощаются. Скажем, исчезла весьма интересная задача о построении прямой, которая отсекает от угла треугольник заданного периметра. В задачах о медианах треугольника, которые пересекаются в одной точке (а также об аналогичных свойствах биссектрис, высот и серединных перпендикуляров) больше не требуется доказывать тот факт, что они вообще пересекаются. На мой взгляд, с педагогической точки зрения лучше не выкидывать сложные задачи, а отнести их в дополнительные главы, необязательные для изучения, и дать к ним подробные решения.
Литература
1. Шень А. О «математической строгости» в школьном курсе математики. - М.: МЦНМО, 2006. - 72 с. (https://www.lirmm.fr/~ashen/rigor.pdf)
2. Винберг Э.Б. О концепции учебника геометрии А.В.Погорелова // Математическое просвещение. Третья серия, вып.19. - М.: МЦНМО, 2015. С. 199-205. (https://old.mccme.ru/free-books/matpros/pdf/mp-19.pdf).
3. Погорелов А.В. Элементарная геометрия. - 2-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1974. - 208 с.
4. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 6-10 кл. средней школы. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1983. - 288 с.
5. Гильберт Д. Основания геометрии / Перевод с 7-го немецкого издания. - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 492 с.
6. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд. - М.: Наука, 1984. - 288 с.
7. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учебник. - 11-е изд., стер. - М.: Просвещение, 2022. - 239 с.
8. Александров А.Д. О строгости изложения в учебном пособии А.В. Погорелова // Математика в школе, 1985, №5, с. 64.