(Untitled)
Теория гравитации есть теория пространства времени
Лоренца. Здесь впервыепространство рассматривается как самостоятельный физический объект.Минковскому принадлежат слова:«Отныне время само по себе и пространство само по себе становятся пустой фикцией ,и только единение их сохраняет шанс на реальность».
(1) (PDF) Пространство-время как физический ( Read more... )
\Gamma^\alpha_{\mu\alpha} не может быть вектором по отношению к общекоординатным преобразованиям, поскольку (для симметричной связности) может быть обнулено в любой точке выбором системы координат. Вектор же если равен нулю в одной системе координат, то равен нулю и в любой другой.
Reply
Доказано, что valerymorozov@gmail.com есть 4-вектор
( ... )
Reply
Я как раз до этого текста прошёл по ссылкам и поэтому вам написал.
Ключевой момент доказательства: вы переставляете частные производные, которые берутся по координатам из разных систем. Так делать нельзя. Это соответствует тому, что вы переставляете производные вдоль двух векторных полей. Такие проивзодные обычно неперестановочны. Ключевые слова: коммутатор векторных полей, производная Ли векторного поля.
Reply
Этой теореме 300 лет. Часто ее называют теорема Шварца. Единственное требование - непрерывность производных. В данном выражении производные функций многих переменных. Ничего более. Вы не первый кто сомневается в справедливости теоремы. Я встречал применение теоремы в будничных расчетах разных авторов без особой помпы. Просто люди хорошо знали матанализ. Последний раз я видел это у Эйнштейна, кажется в работах конца 1915.
Reply
Валерий Борисович, это не теорема Шварца.
Пусть у вас есть некоторое скалярное поле и вы хотите использовать его как обобщённую координату и взять по нему частную производную. Это невозможно пока вы не определите в каком направлении берётся производная. Например, в механике есть частная производная по времени (при постоянных X) и полная производная по времени (вдоль траектории). И они различаются.
Теорема Шварца относится к ситуации, когда обе координаты принадлежат одной системе координат. У вас одна координата со штрихом, а вторая без. Чтобы производные вдоль двух векторных полей были перестановочны, надо чтобы малые сдвиги вдоль этих векторных полей были перестановочны. Ещё один пример: компоненты орбитального момента по разным осям в квантовой механике не коммутируют, хотя каждый можно представить через производную по углу поворота вокруг соответствующей оси, но эти углы поворота относятся к разным системам координат. Это также связано с некоммутативностью поворотов вокруг разных осей.
Посмотрите коммутатор векторных полей, или ( ( ... )
Reply
Вы слишком много знаете.
Эйнштейн уже все необходимое сделал. Ландавшиц все записал:
примените преобразование координат
( ... )
Reply
Выражение (86.5) не может рассматриваться как тензор (ковектор) только по отношению к заменам координат сохраняющим объём (сохраняющим определитель метрики).
По отношению к произвольным заменам координат это выражение тензором не является.
Где граница между дифференциальной геометрией и матанализом я судить не берусь. У нас в МФТИ сейчас есть потоки, где в рамках матанализа дают большие куски диффгеометрии до "маленького чудовища полилинейной алгебры" (выражение М.Громова для тензора Римана) включительно.
Reply
Все правильно Эйнштейн доказал это только при условии что g скаляр. но тут скаляр
( ... )
Reply
"Почему Вы думаете что Ландавшиц дифференцирует Векторные поля, да еще по направлению."
Это не Ландавшиц дифференцирует, а я объясняю, что если взять одну частную производную в одной системе координату, а другую - в другой, то результат зависит от порядка дифференцирование. Коммутатор таких частных производных выражается через коммутатор векторных полей, где каждое поле - поле базисного вектора, соответствующего координате, по которой идёт дифференцирование.
Reply
(The comment has been removed)
Теорема Шварца здесь неприменима. Тут даже в двух измерениях контпример строится.
Для f(x,y) производные по x при постоянном y и по y при постоянном x коммутируют.
Аналогично для f(u,v) производные по u при постоянном v и по v при постоянном u коммутируют.
А вот производные производные по x при постоянном y и по u при постоянном v коммутировать не обязаны.
Пример:
1) введём на единичной сфере сферические координаты theta1, phi1, в которых широта theta1 отсчитывается от точки (0,0,1), а долгота phi1 в плоскости x-y от оси x.
2) введём на единичной сфере сферические координаты theta2, phi2, в которых широта theta2 отсчитывается от точки (1,0,0), а долгота phi1 в плоскости y-z от оси y.
Производные по phi1 при постоянном theta1 и по phi2 при постоянном theta2 не коммутируют.
Если эти производные умножить на -i, то они превратятся в квантовые операторы орбитального момента Lz и Lx, для которых выполняется коммутационное соотношение [Lz,Lx]=-iLy.
Reply
Понятно откуда ноги растут.
Давайте вернемся к математике. Мы видим выражение с некими действительными переменными. Мы знаем, что эти переменные связаны другом явно или неявно. Производные существуют и непрерывны. Что такого в этих условиях, что мешает применить теорему Шварца? То, что они называются координатами?
( ... )
Reply
Мешает то, что в теореме Шварца производная по x берётся при постоянном y, а по y - при постоянном x.
Здесь же производная по x берётся при постоянном u, а производная по y при постоянном v.
Reply
Перечитайте определение частной производной. Цитировать не буду.
Я нашел простое объяснение. Впишу в статью, тогда покажу.
В любом случае взбодрили. В результате простое доказательство.
Reply
"Перечитайте определение частной производной"
Вот и я о том. Если f(x,y), то частная производная по x берётся при фиксированном y.
Reply
Где это такому учат? Впрочем конечно ФизТех...
( ... )
Reply
Leave a comment