(Untitled)
Теория гравитации есть теория пространства времени
Лоренца. Здесь впервыепространство рассматривается как самостоятельный физический объект.Минковскому принадлежат слова:«Отныне время само по себе и пространство само по себе становятся пустой фикцией ,и только единение их сохраняет шанс на реальность».
(1) (PDF) Пространство-время как физический ( Read more... )
Валерий Борисович, это не теорема Шварца.
Пусть у вас есть некоторое скалярное поле и вы хотите использовать его как обобщённую координату и взять по нему частную производную. Это невозможно пока вы не определите в каком направлении берётся производная. Например, в механике есть частная производная по времени (при постоянных X) и полная производная по времени (вдоль траектории). И они различаются.
Теорема Шварца относится к ситуации, когда обе координаты принадлежат одной системе координат. У вас одна координата со штрихом, а вторая без. Чтобы производные вдоль двух векторных полей были перестановочны, надо чтобы малые сдвиги вдоль этих векторных полей были перестановочны. Ещё один пример: компоненты орбитального момента по разным осям в квантовой механике не коммутируют, хотя каждый можно представить через производную по углу поворота вокруг соответствующей оси, но эти углы поворота относятся к разным системам координат. Это также связано с некоммутативностью поворотов вокруг разных осей.
Посмотрите коммутатор векторных полей, или (другое название) производную Ли от векторного поля.
Reply
Вы слишком много знаете.
Эйнштейн уже все необходимое сделал. Ландавшиц все записал:
примените преобразование координат
например, к выражению
если выражение того же вида, то значит это 4-вектор.
Почему Вы думаете что Ландавшиц дифференцирует Векторные поля, да еще по направлению.
Понятно что мы с Эйнштейном явно имели ввиду только частные производные. Это даже не диффгеометрия, обыкновенный матанализ. Надо бы физикам изучать линейную алгебру. Именно оттуда возникло линейное преобразование координат.
еще проще. Выделенное выражение выглядит одинаково в любых координатах ∂x^k. Спасибо Вам, я получил простейшее доказательство теоремы 1.
Reply
Выражение (86.5) не может рассматриваться как тензор (ковектор) только по отношению к заменам координат сохраняющим объём (сохраняющим определитель метрики).
По отношению к произвольным заменам координат это выражение тензором не является.
Где граница между дифференциальной геометрией и матанализом я судить не берусь. У нас в МФТИ сейчас есть потоки, где в рамках матанализа дают большие куски диффгеометрии до "маленького чудовища полилинейной алгебры" (выражение М.Громова для тензора Римана) включительно.
Reply
Все правильно Эйнштейн доказал это только при условии что g скаляр. но тут скаляр
равный отношению
Reply
"Почему Вы думаете что Ландавшиц дифференцирует Векторные поля, да еще по направлению."
Это не Ландавшиц дифференцирует, а я объясняю, что если взять одну частную производную в одной системе координату, а другую - в другой, то результат зависит от порядка дифференцирование. Коммутатор таких частных производных выражается через коммутатор векторных полей, где каждое поле - поле базисного вектора, соответствующего координате, по которой идёт дифференцирование.
Reply
(The comment has been removed)
Теорема Шварца здесь неприменима. Тут даже в двух измерениях контпример строится.
Для f(x,y) производные по x при постоянном y и по y при постоянном x коммутируют.
Аналогично для f(u,v) производные по u при постоянном v и по v при постоянном u коммутируют.
А вот производные производные по x при постоянном y и по u при постоянном v коммутировать не обязаны.
Пример:
1) введём на единичной сфере сферические координаты theta1, phi1, в которых широта theta1 отсчитывается от точки (0,0,1), а долгота phi1 в плоскости x-y от оси x.
2) введём на единичной сфере сферические координаты theta2, phi2, в которых широта theta2 отсчитывается от точки (1,0,0), а долгота phi1 в плоскости y-z от оси y.
Производные по phi1 при постоянном theta1 и по phi2 при постоянном theta2 не коммутируют.
Если эти производные умножить на -i, то они превратятся в квантовые операторы орбитального момента Lz и Lx, для которых выполняется коммутационное соотношение [Lz,Lx]=-iLy.
Reply
Понятно откуда ноги растут.
Давайте вернемся к математике. Мы видим выражение с некими действительными переменными. Мы знаем, что эти переменные связаны другом явно или неявно. Производные существуют и непрерывны. Что такого в этих условиях, что мешает применить теорему Шварца? То, что они называются координатами?
Трехтомник Фихтенгольца т.1
Reply
Мешает то, что в теореме Шварца производная по x берётся при постоянном y, а по y - при постоянном x.
Здесь же производная по x берётся при постоянном u, а производная по y при постоянном v.
Reply
Перечитайте определение частной производной. Цитировать не буду.
Я нашел простое объяснение. Впишу в статью, тогда покажу.
В любом случае взбодрили. В результате простое доказательство.
Reply
"Перечитайте определение частной производной"
Вот и я о том. Если f(x,y), то частная производная по x берётся при фиксированном y.
Reply
Где это такому учат? Впрочем конечно ФизТех...
Reply
Фрагмент, который вы привели именно об этом: "Если мы припишем y и z постоянные значения y0 и z0..."
Reply
Reply
Конечно производная по x зависит от y. Я с этим не спорю.
Я лишь снова и снова наставиваю, что теорема Шварца здесь неприменима.
Reply
Настаивайте на здоровье. Я не вижу причин сомневаться в теореме.
Как и в том, что все работы по "черным дырам" пустая болтовня
Reply
Leave a comment