Проклятая занимательная математика

[spamsink]

Возьмем какую-нибудь последовательность чисел и будем рассматривать их как последовательность коэффициентов многочлена, начиная со степени 0 и вплоть до некоторого члена последовательности, т. е. пусть
Pn(x) = a0 +a1*x + a2*x2 + a3*x3 + ... + an*xn

Нас будут интересовать последовательности bn - количества вещественных корней Pn(x) в зависимости

Comments

[burrru]

А насколько это необычно? Если возьмем случайную (в каких-то смыслах) последовательность возрастающих коэффициентов, каким будет распределение паттернов?

[spamsink]

В статье приводятся примеры последовательностей, доказуемо дающих bn = n mod 2 до бесконечности (напр., числа Фибоначчи), и примеры последовательностей, дающих постепенно (немонотонно) возрастающие bn типа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 6, 7, 8, 9, 8, ... Так что последовательность, дающая весьма длинную, но в конце концов ломающуюся цепочку 0-1-0-1, весьма необычна.

[xaxam]

Задача с математической точки зрения выглядит извращением: вещественные корни многочленов с целыми коэффициентами - монструозное сочетание. В пространстве многочленов с вещественными коэффициентами разбиение на части, соответствующие разному числу вещественных корней, - довольно хорошо изученная задача; решением которой являются всевозможные "ласточкины хвосты" (swallowtails): в простейшем случае многочлена x3+px+q=0 на плоскости возникает полукубическая парабола (p/3)3 + (q/2)2=0. С одной стороны от неё три корня, с другой один, на самой параболе - один простой и один кратный корень.

"Стороны" неравноценны: на параболе есть "клюв", и внутренность клюва имеет меньшую площадь, чем его внешность, поэтому если мы выбираем (p,q) равномерно распределённой случайной величиной внутри, скажем, круга с центром в p=q=0, то один корень в самом деле более вероятен, чем 3 (вероятность ровно двух корней равна 0).

Но равномерное распределение "нефизично": из формулы для дискриминанта видно, что имеет смысл соотношение между квадратом q и кубом p

[zavr]

Там количество корней будет log(n). Чтобы был корень из n надо подкрутить дисперсию: надо чтобы дисперсия была корнем из соответствующего биномиального коэффициента. Соответствующие случайные полиномы это в первом случае Kac а во втором Kostlan или Shub-Smale

[xaxam]

Я цитпопам, помню Эдельмана-Костлана...

[xaxam]

А есть ли, кстати, "квазиоднородно правильные" результаты?

[zavr]

Я не очень понимаю что такое "квазиоднородный" многочлен. Но есть явные формулы, которые по вариациям коэффициентов дают среднее количество вещественных корней (да и вообще их плотность в любом месте на плоскости)

Самое близкое что я знаю это случайные однородные многочлены. Есть естественная гауссовская мера на пространстве однородных многочленов от 3 вещественных переменных. (Число 3 произвольное) Их естественно сузить на сферу или проективное пространство. Их нули это гладкие проективные алгебраические кривые. Можно посчитать их среднее количество, вариацию и доказать центральную предельную теорему. А ещё если степень устремить к бесконечности, то они станут кривыми Левнера-Шрамма

[xaxam]

В пространстве коэффициентов а0, а1, ... , аn (обратите внимание на то, что старший коэффициент не единичный!) квазиоднородность подразумевает инвариантность плотности распределения относительно преобразований аi ↦ аi λ−ri, i=0,1, ..., n, с положительными параметрами . ri и λ (такое распределение будет иметь изрядную особенность в начале координат). Оно, видимо, тоже нефизично (ничего похожего я никогда не видел, да и вряд ли для него можно что-то явно посчитать).

[burrru]

Спасибо за такой замечательный флешбэк!