Проклятая занимательная математика

[spamsink]

Возьмем какую-нибудь последовательность чисел и будем рассматривать их как последовательность коэффициентов многочлена, начиная со степени 0 и вплоть до некоторого члена последовательности, т. е. пусть
Pn(x) = a0 +a1*x + a2*x2 + a3*x3 + ... + an*xn

Нас будут интересовать последовательности bn - количества вещественных корней Pn(x) в зависимости

Comments

[xaxam]

Задача с математической точки зрения выглядит извращением: вещественные корни многочленов с целыми коэффициентами - монструозное сочетание. В пространстве многочленов с вещественными коэффициентами разбиение на части, соответствующие разному числу вещественных корней, - довольно хорошо изученная задача; решением которой являются всевозможные "ласточкины хвосты" (swallowtails): в простейшем случае многочлена x3+px+q=0 на плоскости возникает полукубическая парабола (p/3)3 + (q/2)2=0. С одной стороны от неё три корня, с другой один, на самой параболе - один простой и один кратный корень.

"Стороны" неравноценны: на параболе есть "клюв", и внутренность клюва имеет меньшую площадь, чем его внешность, поэтому если мы выбираем (p,q) равномерно распределённой случайной величиной внутри, скажем, круга с центром в p=q=0, то один корень в самом деле более вероятен, чем 3 (вероятность ровно двух корней равна 0).

Но равномерное распределение "нефизично": из формулы для дискриминанта видно, что имеет смысл соотношение между квадратом q и кубом p. Это следует из общей однородности: если мы в произвольном многочлене заменим х на λ x, то коэффициенты умножатся на разные степени лямбды, а число корней не изменится. Так что наша диаграмма имеет структуру разбиения на "квазиоднородно конические" области.

Последовательность натуральных чисел, хоть и нерегулярная, имеет хорошо известную асимптотику, поэтому её образ при "квазиоднородном проектировании" вроде бы будет иметь единственную предельную точку. Возможно, "ласточкины хвосты" тоже как-то стабилизируются с ростом размерности*. Если это так, то существует предельная асимптотика числа корней многочленов с простыми коэффициентами (разумеется, никаких mod 2 распределений так не получить).

_____________________________

*Один из самых известных результатов - теорема о том, что многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 и остальными коэффициентами, распределёнными по Гауссу (нулевое ожидание, дисперсия 1, независимые; - такая нормировка "парализует" соображения квазиоднородности) имеет в асимптотике √n вещественных корней.

[zavr]

Там количество корней будет log(n). Чтобы был корень из n надо подкрутить дисперсию: надо чтобы дисперсия была корнем из соответствующего биномиального коэффициента. Соответствующие случайные полиномы это в первом случае Kac а во втором Kostlan или Shub-Smale

[xaxam]

Я цитпопам, помню Эдельмана-Костлана...

[xaxam]

А есть ли, кстати, "квазиоднородно правильные" результаты?

[zavr]

Я не очень понимаю что такое "квазиоднородный" многочлен. Но есть явные формулы, которые по вариациям коэффициентов дают среднее количество вещественных корней (да и вообще их плотность в любом месте на плоскости)

Самое близкое что я знаю это случайные однородные многочлены. Есть естественная гауссовская мера на пространстве однородных многочленов от 3 вещественных переменных. (Число 3 произвольное) Их естественно сузить на сферу или проективное пространство. Их нули это гладкие проективные алгебраические кривые. Можно посчитать их среднее количество, вариацию и доказать центральную предельную теорему. А ещё если степень устремить к бесконечности, то они станут кривыми Левнера-Шрамма

[xaxam]

В пространстве коэффициентов а0, а1, ... , аn (обратите внимание на то, что старший коэффициент не единичный!) квазиоднородность подразумевает инвариантность плотности распределения относительно преобразований аi ↦ аi λ−ri, i=0,1, ..., n, с положительными параметрами . ri и λ (такое распределение будет иметь изрядную особенность в начале координат). Оно, видимо, тоже нефизично (ничего похожего я никогда не видел, да и вряд ли для него можно что-то явно посчитать).

[burrru]

Спасибо за такой замечательный флешбэк!