На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х
( Read more... )
Насколько я знаю - и попытался указать на это в треде у Аввы - модельная структура Строма изучалась неявно, и до его работы тоже. Расслоения Гуревича, корасслоения и настоящие гомотопические эквивалентности являются центральными понятиями теории гомотопий, как легко убедится, взглянув на книги Постникова, tom Dieck-Kpams-Puppe (это на немецком), и другие
( ... )
Расслоения Гуревича, корасслоения и настоящие гомотопические эквивалентности являются центральными понятиями теории гомотопий -- с этим было бы странно спорить, но как Вы совершенно справедливо заметили все основные взаимосвязи между этими понятиями были установлены задолго до Строма и в наши дни практически не изучаются, хотя конечно используются (в основном геометрическими топологами). Сами же статьи устанавливающие существование модельной категории невелики по объему и не содержат новых методов. Основная трудность возникающая при чтении состоит в том, что автор ссылается на очень старые работы, а Мэй намекнул, что некоторые ссылки возможно неверны. Я поговорил об этом с несколькими людьми (кажется с Двайером тоже) и никто мне не мог с уверенностью сказать, что нападки Мэя беспочвенны
( ... )
Мне кажется, что предмет спора - если он вообще есть, вдруг от нас ускользнул. Получилось, что я как бы защищаю важность работы Строма, которою я, на самом деле, считаю малозначительной. Давайте вспомним, с чего все началось - с удивления Аввы, что в топологии вдруг немотивированно появляется понятие гомотопии, связанное с вещественными числами. Мое объяснение состояло в том, что отсутствие мотивации - это неслучайное обстоятельство (её нет
( ... )
предмет спора - если он вообще есть, вдруг от нас ускользнул -- для спора, видимо, предмет не обязателен. С другой стороны, не обязательно любой разговор в ЖЖ считать спором, наши мнения по большинству вопросов почти не отличаются. Давайте считать это обсуждением.
Получилось, что я как бы защищаю важность работы Строма -- меня тоже удивило, что Вы за это взялись.
выполнение аксиом модельной категории являются просто свидетельством того, что наши определения основных понятий разумны -- да, теперь я понял как Вы к этому пришли, просто когда разговор ведется на уровне мотивировок, способных вызвать интерес к предмету, то стоит указать какое направление является основным, а какое побочным. Все что я хотел сделать, это указать на эзотеричность сильной модельной категории. Путаница в таких вопросах не столь уж безобидна, как может показаться. Мне известна еще одна относительно недавняя работа (диссертация написанная у моего научного руководителя незадолго до меня) изучающая сильные эквивалентности, правда в эквивариантном контексте и без
( ... )
"Все что я хотел сделать, это указать на эзотеричность сильной модельной категории."
На мой взгляд, она более чем естественна, а расслоения Серра, слабые эквивалентности, etc. - это от бедности, или, скорее, от стремления поскорее получить результат (Серр просто выбрал простейшее свойство, достаточное для того, чтобы его доказательства работали, а остальное его не интересовало).
"...он избегал конфликтов с Мэем..."
Похоже, что мой взгляд на Мэя разделяют и люди внутри предмета. (Мои представления основаны на опубликованных текстах, а не инсайдерской информации - у меня ее нет.) Я рискну высказать гипотезу: Мэй жутко завидует Бордману, с его vision, которому Мэй может противопоставить только техническую силу.
"...правда в эквивариантном контексте..."
Стандарный способ сделать что-нибудь безнадежно сложным и потом сказать, что только моя теория годится для преодоления этих сложностей (метод Мэя).
"Возможно, что причина кроется в его личной пониженной амбициозности?"Предисловие к препринтам о спектрах более чем амбициозное
( ... )
...это не настоящее приложение. -- Мне не слишком понятно чем "настоящее" приложение отличается от "не настоящего", впрочем я не горю желанием это выяснять. Просто "приложение" без всякого прилагательного звучит достаточно убедительно.
А это важно? Много ли приложений у общей топологии? -- Конечно важно! Вам ли этого не понимать? Все упирается в финансирование. Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году? Или хотя бы живых экспертов? Нет уж, Ваше сравнение совершенно не адекватно.
...уже давным-давно (в 60-е) внедрены. -- Наверное Вы имеете в виду работу Артина-Мазура? Ничего другого даже на ум не приходит. Но это сложно назвать внедрением. Большинство алгебраических геометров (по-крайней мере из тех с кем мне доводилось общаться) в лучшем случае только слышали о ней. Да и сегодня этальная гомотопическая теория изучается в основном гомотопическими топологами. Гротендик писал Квиллену в "Pursuing stacks", что так и не освоил симплициальных методов, правда тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на
( ... )
"Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году?"
Не интересовался, но думаю, что такие люди есть. Общая топология - более-менее законченная наука, и важна не своими внутренними задачами, а языком, на котором могут изъясняться другие науки.
"Все упирается в финансирование."
Вы дважды упомнянули слово "финансирование". Это уведет нас далеко в сторону. Я считаю, что госфинансирование только вредит математике.
Да, Артин-Мазур, Э. Фридлендер - это первое, что приходит в голову.
"...тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на самом деле" и оказался прав."
А вот про это я не знаю. Как оно все устроено на самом деле?
" Разве не правомочно сказать, что предметом изучения алгебраической геометрии является категория алгебраических многообразий?"Нет, конечно. Алгебраическая геометрия сушествовала раньше теории категорий, поменяла предмет изучения с алгебраических многообразий на схемы, затем расширила предмет до алгебраических пространств и стэков, и я не возьмусь предсказать, чем алгебраическая геометрия
( ... )
Вы дважды упомянули слово "финансирование" -- я имел в виду, что приложения необходимы любой области, чтобы убедить коллег в своей полезности, иначе ни то что грантов, рабочих мест не увидать последователям. По-поводу гос-финансирования я склонен с Вами согласиться (перечитал дискуссию годичной давности у Вас в журнале), но ведь институт Клэя и AIM вроде бы частные инициативы (сюда же наверное следует отнести институт Миттага-Леффлера, хотя сегодня он и поддерживается государством), так что не все потеряно.
Как оно все устроено на самом деле? -- Кроме симплициальных комплексов топологи рассматривали также кубические (Серр их использовал для вывода спектральной последовательности расслоения). Потом необходимость в них в основном отпала и их почти прекратили изучать (кроме Бангорской школы). Зато симплициальные комплексы переросли в симплициальные множества и развились в полноценную гомотопическую теорию. Оставался вопрос, а можно ли то же самое повторить для кубических множеств или каких-нибудь других, или же симплексы (категория
( ... )
Клэй - в основном a public relation stunt. Это способ поддерживать не математику, а репутацию Клэя. Пожалуй, на данный момент его деятельность вреднее госфинансирования. AIM будет потише. Но их манера организовывать конференции...
Спасибо за ссылки. Все это очень интересно, но мне осталось непонятным, почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?".
Симплексы, на мой взгляд, хороши тем, что возникают естественно.
...почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?" -- потому, что показывает что симплексы ни чем не лучше чего бы то ни было еще. Дискретные модели гомотопических типов пространств можно строить из чего угодно. Это важное концептуальное заключение, хотя не уверен, что с практической точки зрения оно будет иметь какие-то последствия в ближайшее время. Слишком хорошо проработана симплектическая теория, чтобы от нее отказываться. У кубов есть некоторые технические преимущества (произведение кубов снова куб), но они пока не перетягивают чашу весов.
Мне известен только один контекст, в котором симплексы появляются "естественно". Это комбинаторное описание полиэдров при помощи симплициальных комплексов. Топологи давно отказались от него из-за чудовищных категорных свойств, но комбинаторики, в особенности алгебраические, продолжают использовать, приводя даже топологические аргументы, которые не всегда просто перевести на язык симплициальных множеств, хотя такой перевод добавляет понимания.
Мы по-разному понимаем вопрос "Как оно все устроено на самом деле?"
С моей точки зрения, то, что что-то можно делать иначе, не имеет к нему никакого отношения.
Симплексы появились естественно в теории гомологий. То, что произведение кубов является кубом, известно давно, и даже использовалось, но то, что за почти 60 лет это не привело к распространению кубов, на мой взгляд, кое-то о них говорит.
Симплексы появились естественно в теории гомологий -- Вы слишком часто используете слово "естественно". Поскольку в теории категорий оно имеет строгий смысл, мне все время хочется потребовать у Вас доказательство. Кубы тоже появились в теории гомологий, ну и что? Как определить кто более естественен? Ответ на вопрос: "Чем симплексы лучше?", получен -- ничем (кроме леммы Мура, с которой вопрос пока открыт). Все кроме комбинаториков (или комбинаторов?) вроде бы удовлетворены. Видимо Вы занимаетесь комбинаторикой. Учитывая Вашу эрудированность в некоторых областях, скорее алгебраической комбинаторикой. Прошу не считать это попыткой вскрыть Вашу real identity.
Нет, мое употребление слова "естественный" имеет слабое отношение к его специфическому категорному смыслу. Пересечение, конечно есть. Я использую его в обычном разговорном смысле.
Кубы появились в теории гомологии - и исчезли. Для меня это свидетельство того, что они неестественны. То, что и симплексы, и кубы, и еще что-то удовлетворяют некоторому набору аксиом, никак не может означать, что симплексы "ничем не лучше". Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать. Есть масса конструкций, которые ведут к каноническому разбиению на симплексы полезных пространств. И я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба.
Любопытно, что меня уже не в первый раз принимают за специалиста по алгебраической комбинаторике. Правда, раньше принимали за вполне конкретного.
Кубы появились в теории гомологии - и исчезли -- до конца никогда не исчезали; Рони Браун даже как-то обиделся на Жардина за то, что тот высказался в этом духе в своем препринте. Но даже если и исчезли, вон теперь снова появились. Это о чем говорит? Миша Поляк как-то агитировал за кубические комплексы, через которые удобно определять инварианты конечного типа. Одним из аргументов был следующий. Помните старые советские пакеты из-под молока? Тетраэдральные? Так вот, в конце концов их заменили на прямоугольные параллелепипеды, так что кубы всегда побеждают.
Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать -- может быть, но этот эффект не измерить. На одном семинаре по комбинаторике меня позабавило, что докладчик все время говорил про джойны симплициальных комплексов, но ни разу не упомянул про их произведение. В какой-то момент я спросил почему бы не воспользоваться произведением? На что получил ответ, что оно не определено. Я попытался объяснить, что можно перемножить пространства, а потом взять какое-нибудь разбиение на
( ... )
Reply
Reply
Reply
Reply
Получилось, что я как бы защищаю важность работы Строма -- меня тоже удивило, что Вы за это взялись.
выполнение аксиом модельной категории являются просто свидетельством того, что наши определения основных понятий разумны -- да, теперь я понял как Вы к этому пришли, просто когда разговор ведется на уровне мотивировок, способных вызвать интерес к предмету, то стоит указать какое направление является основным, а какое побочным. Все что я хотел сделать, это указать на эзотеричность сильной модельной категории. Путаница в таких вопросах не столь уж безобидна, как может показаться. Мне известна еще одна относительно недавняя работа (диссертация написанная у моего научного руководителя незадолго до меня) изучающая сильные эквивалентности, правда в эквивариантном контексте и без ( ... )
Reply
На мой взгляд, она более чем естественна, а расслоения Серра, слабые эквивалентности, etc. - это от бедности, или, скорее, от стремления поскорее получить результат (Серр просто выбрал простейшее свойство, достаточное для того, чтобы его доказательства работали, а остальное его не интересовало).
"...он избегал конфликтов с Мэем..."
Похоже, что мой взгляд на Мэя разделяют и люди внутри предмета. (Мои представления основаны на опубликованных текстах, а не инсайдерской информации - у меня ее нет.) Я рискну высказать гипотезу: Мэй жутко завидует Бордману, с его vision, которому Мэй может противопоставить только техническую силу.
"...правда в эквивариантном контексте..."
Стандарный способ сделать что-нибудь безнадежно сложным и потом сказать, что только моя теория годится для преодоления этих сложностей (метод Мэя).
"Возможно, что причина кроется в его личной пониженной амбициозности?"Предисловие к препринтам о спектрах более чем амбициозное ( ... )
Reply
А это важно? Много ли приложений у общей топологии? -- Конечно важно! Вам ли этого не понимать? Все упирается в финансирование. Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году? Или хотя бы живых экспертов? Нет уж, Ваше сравнение совершенно не адекватно.
...уже давным-давно (в 60-е) внедрены. -- Наверное Вы имеете в виду работу Артина-Мазура? Ничего другого даже на ум не приходит. Но это сложно назвать внедрением. Большинство алгебраических геометров (по-крайней мере из тех с кем мне доводилось общаться) в лучшем случае только слышали о ней. Да и сегодня этальная гомотопическая теория изучается в основном гомотопическими топологами. Гротендик писал Квиллену в "Pursuing stacks", что так и не освоил симплициальных методов, правда тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на ( ... )
Reply
Не интересовался, но думаю, что такие люди есть. Общая топология - более-менее законченная наука, и важна не своими внутренними задачами, а языком, на котором могут изъясняться другие науки.
"Все упирается в финансирование."
Вы дважды упомнянули слово "финансирование". Это уведет нас далеко в сторону. Я считаю, что госфинансирование только вредит математике.
Да, Артин-Мазур, Э. Фридлендер - это первое, что приходит в голову.
"...тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на самом деле" и оказался прав."
А вот про это я не знаю. Как оно все устроено на самом деле?
" Разве не правомочно сказать, что предметом изучения алгебраической геометрии является категория алгебраических многообразий?"Нет, конечно. Алгебраическая геометрия сушествовала раньше теории категорий, поменяла предмет изучения с алгебраических многообразий на схемы, затем расширила предмет до алгебраических пространств и стэков, и я не возьмусь предсказать, чем алгебраическая геометрия ( ... )
Reply
Как оно все устроено на самом деле? -- Кроме симплициальных комплексов топологи рассматривали также кубические (Серр их использовал для вывода спектральной последовательности расслоения). Потом необходимость в них в основном отпала и их почти прекратили изучать (кроме Бангорской школы). Зато симплициальные комплексы переросли в симплициальные множества и развились в полноценную гомотопическую теорию. Оставался вопрос, а можно ли то же самое повторить для кубических множеств или каких-нибудь других, или же симплексы (категория ( ... )
Reply
Спасибо за ссылки. Все это очень интересно, но мне осталось непонятным, почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?".
Симплексы, на мой взгляд, хороши тем, что возникают естественно.
Reply
Мне известен только один контекст, в котором симплексы появляются "естественно". Это комбинаторное описание полиэдров при помощи симплициальных комплексов. Топологи давно отказались от него из-за чудовищных категорных свойств, но комбинаторики, в особенности алгебраические, продолжают использовать, приводя даже топологические аргументы, которые не всегда просто перевести на язык симплициальных множеств, хотя такой перевод добавляет понимания.
Reply
С моей точки зрения, то, что что-то можно делать иначе, не имеет к нему никакого отношения.
Симплексы появились естественно в теории гомологий. То, что произведение кубов является кубом, известно давно, и даже использовалось, но то, что за почти 60 лет это не привело к распространению кубов, на мой взгляд, кое-то о них говорит.
Reply
Reply
Кубы появились в теории гомологии - и исчезли. Для меня это свидетельство того, что они неестественны. То, что и симплексы, и кубы, и еще что-то удовлетворяют некоторому набору аксиом, никак не может означать, что симплексы "ничем не лучше". Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать. Есть масса конструкций, которые ведут к каноническому разбиению на симплексы полезных пространств. И я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба.
Любопытно, что меня уже не в первый раз принимают за специалиста по алгебраической комбинаторике. Правда, раньше принимали за вполне конкретного.
Reply
Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать -- может быть, но этот эффект не измерить. На одном семинаре по комбинаторике меня позабавило, что докладчик все время говорил про джойны симплициальных комплексов, но ни разу не упомянул про их произведение. В какой-то момент я спросил почему бы не воспользоваться произведением? На что получил ответ, что оно не определено. Я попытался объяснить, что можно перемножить пространства, а потом взять какое-нибудь разбиение на ( ... )
Reply
"...может быть, но этот эффект не измерить."
Очень даже можно. Сколько работ используют симплициальные множества и "симплициальные комплексы" (в классическом смысле), и сколько - кубы?
Если кто-то не знает, как триангулируется произведение двух симплексов - это значит только то, что он плохо учился.
Про сингулярные кубические гомологии я знаю. Я не знаю естественно возникающего пространства с естественным разбиением на кубы.
Reply
Leave a comment