На категории топологических пространств давно были построены две модельные категории: стандартная (принадлежащая Квиллену) и модельная категория Арне Строма, которая появилась в начале 70-х
( Read more... )
Насколько я знаю - и попытался указать на это в треде у Аввы - модельная структура Строма изучалась неявно, и до его работы тоже. Расслоения Гуревича, корасслоения и настоящие гомотопические эквивалентности являются центральными понятиями теории гомотопий, как легко убедится, взглянув на книги Постникова, tom Dieck-Kpams-Puppe (это на немецком), и другие.
На работу Строма имеется около 20 ссылок, зарегистрированных MathSciNet (то есть за последние 10 лет, не больше). Что очень неплохо для столь давней работы. Я посмотрел одну из этих работ, Dwyer-Weiss-Williams, на мой взгляд очень интересную. Там ссылаются на работу Строма для доказательства того, что некая категория является категорией Вальдхаузена, что, видимо, очень важно для работы Dwyer-Weiss-Williams.
По поводу Мэя. Мэй не один раз писал, и не только в рассылках, но и в публикациях и reviews (рассылок еще и не было), что та или иная работа чем-то плоха, или что он видит в ней существенные дыры. Его обычная цель - перенаправить читателя к его собственным трудам. Мне это кажется не очень достойным поведением. В целом влияние Мэя на этот предмет на мой посторонний взляд убийственное. Изучать работы Мэя невозможно - по каждому поводу он пишет несколько книг, и ради чего их читать - непонято. Но он вытеснил практически всех, кто не принадлежит к его школе.
При этом я вполне допускаю, что Стром допустил ту же ошибку, что и другие в его время - работал с топологическими пространствами там, где нужны компактно-порожденные. Чтобы это выяснить, надо читать работу, а не агитацию Мэя.
Судя по тому, что удается найти в сети, Стром бросил математику после трех работ, и это наводит на мысль, что все идеи этих трех работ принадлежат его руководителю. Мне не удалось даже выяснить, кто был его руководителем. Мои предположения - D. Puppe, V. Puppe, T. tom Dieck, A. Dold. Это я к тому, что не стоит называть эту категорию категорией Строма. Лучше придумать нейтральное название; я бы предложил такие категории называть по названию используемых расслоений.
Интересно, есть ли модельная категория, в которой расслоениями являются расслоения Дольда?
Мне кажется, что использование модельной категории Серра (используя предложенную терминологию) как минимум не очень элегантно. Мы не стремимся изучать детально все гомотопические типы, но абстрактная теория хорошо работает и в случае Гуревича, и многие слабые гомотопические эквивалентности на самом деле являются настоящими (один из Puppe).
Расслоения Гуревича, корасслоения и настоящие гомотопические эквивалентности являются центральными понятиями теории гомотопий -- с этим было бы странно спорить, но как Вы совершенно справедливо заметили все основные взаимосвязи между этими понятиями были установлены задолго до Строма и в наши дни практически не изучаются, хотя конечно используются (в основном геометрическими топологами). Сами же статьи устанавливающие существование модельной категории невелики по объему и не содержат новых методов. Основная трудность возникающая при чтении состоит в том, что автор ссылается на очень старые работы, а Мэй намекнул, что некоторые ссылки возможно неверны. Я поговорил об этом с несколькими людьми (кажется с Двайером тоже) и никто мне не мог с уверенностью сказать, что нападки Мэя беспочвенны.
Так или иначе, но пересмотреть работу Строма стоило давно, и по-видимому студент Мэя это сделал (компактная порожденность для пространств это не существенное ограничение). Если бы он выложил свой препринт 5 лет назад, то я бы с удовольствием его прочитал, а так я наткнулся на его статью только когда искал ссылки для ответа Вам, но интерес мой к этой теме давно прошел.
С Вашего позволения, я уклонюсь от обсуждения морально-этической стороны поступков Мэя. Он обладает достаточным влиянием, хоть и не столь громадным как Вы пишете, а у меня пока даже постоянства нет. Справедливости ради следует отметить, что никто из топологов не трудоустроил такое количество пост-доков как он.
я бы предложил такие категории называть по названию используемых расслоений -- не годится, Коул как раз и показал, что можно совместить расслоения Гуревича со слабыми эквивалентностями. Можно попробовать называть их по эквивалентностям, соответственно "сильной" и "слабой", но за Квиленовской категорией прочно укоренилось наименование "стандартная".
Приведенный Вами пример с безусловно интересной статьей Dwyer-Weiss-Williams я не могу принять в качестве существенного использования сильной модельной категории. Проверить наличие структуры Вальдхаузена на порядок проще, чем установить существование модельной категории (нет факторизаций), кроме того они ограничивают рассмотрение пространствами гомотопически эквивалентными CW-комплексам, короче ссылка на Строма чисто формальная, призванная показать то, что и так очевидно (тривиальную часть аксиом модельной категории).
Я попытаюсь объяснить что я имею в виду под приложением для модельной категории. Это должна быть одна из тех вещей, для которых модельные категории действительно полезны. Например вычисление гомотопических пределов (для этого хорошо бы уметь продолжать модельную структуру на категорию диаграмм пространств), или для классификации/построения гомологических инвариантов (хорошо бы построить стабилизацию сильной модельной категории) и научиться локализовать по отношению к ним или по отношению к произвольным морфизмам. Ничего этого нет даже после работы Коула. Именно поэтому я так удивился, что Вы упомянули сильную категорию.
Интересно, есть ли модельная категория, в которой расслоениями являются расслоения Дольда? -- вполне естественный вопрос. Если бы категория Строма была изучена лучше, наверное на него не сложно было бы ответить. (Есть препринт Тибора Беке, в котором он строит много модельных категорий на симплициальных множествах варьируя расслоения и корасслоения, а эквивалентности оставляя без изменений; наверняка что-то подобное можно сделать и для пространств).
Мне кажется, что использование модельной категории Серра (используя предложенную терминологию) как минимум не очень элегантно -- оно оправдано уже тем, что эта категория оказывается эквивалентной (по Квиллену) симплициальным множествам, и хотя гомотопические топологи как правило предпочитают работать симплициально, слабая структура на пространствах важна, т.к. в ней все объекты фибрантны, а это часто бывает полезно.
многие слабые гомотопические эквивалентности на самом деле являются настоящими -- если между CW-комплексами, то это старший Вайтхед.
Мне кажется, что предмет спора - если он вообще есть, вдруг от нас ускользнул. Получилось, что я как бы защищаю важность работы Строма, которою я, на самом деле, считаю малозначительной. Давайте вспомним, с чего все началось - с удивления Аввы, что в топологии вдруг немотивированно появляется понятие гомотопии, связанное с вещественными числами. Мое объяснение состояло в том, что отсутствие мотивации - это неслучайное обстоятельство (её нет).
И что затруднение объясняется тем случайным обстоятельством, что совсем элементарную часть теории гомотопий можно построитьь для всех (хаусдорфовых) пространств. Если бы граница "элементарного" была бы проведена в другом месте, это было бы невозможно.
В этом контексте выполнение аксиом модельной категории являются просто свидетельством того, что наши определения основных понятий разумны (согласуются друг с другом естественным образом). Собственно, это все, что мне нужно о работы Строма. Если там есть пробелы в доказательствах, меня это не удивит и не обеспокоит. Не он один, пробелы есть в куда как более важных работах.
Равным образом, с Вашего позволения, я, наверное, могу высказывать свое мнение о Мэе. "Справедливости ради следует отметить, что никто из топологов не трудоустроил такое количество пост-доков как он." Это и есть свидетельство влияния, едва ли не самое главное. Так или иначе, я позиции не ищу (и никогда не буду в области Мэя), а найти доказательство или хотя бы понятную формулировку какого-нибудь результата бывает нужно. Мэй закрыл эту область от посторонних - поскольку предварительными сведениями к чему угодно содержательному является тысяча страниц его трудов. И к разному - разные тысячи. И еще - вполне конкретная претензия - Мэй закрыл дорогу к публикации очень красивых работ Бордмана по спектрам (утверждая на каждом шагу, что его спектры лучше). В результате эти работы почти недоступны.
Я не предлагал общий принцип - называть модельную категории по названию её расслоений. Но в этих двух случаях мне это кажется разумным.
У нас, видимо, разные представления о том, что такое приложение. Я бы не назвал Ваши примеры приложениями - это некоторые технические средства, которые, в свою очередь, надо к чему-то прилагать. В этом смысле, должен признаться, я вообще не знаю (прямых) приложений модельных категорий.
То, что категория Серра эквивалентна симлициальным множествам, это скорее минус, а не плюс с точки зрения элегантности. "...гомотопические топологи как правило предпочитают работать симплициально..." Это еще одно средство закрыть науку от посторонних. Так или иначе, практически все объекты естественно возникают как пространства, а не симплициальные множества, и хочется работать с ними в таком виде. С другой стороны, реализация гомотопического типа как пространства бывает очень полезна.
Нет, не между CW-комплексами. Этого Уайтхеда неправильно называть старшим, поскольку они не родственики, и имена (и даже инициалы) разные.
предмет спора - если он вообще есть, вдруг от нас ускользнул -- для спора, видимо, предмет не обязателен. С другой стороны, не обязательно любой разговор в ЖЖ считать спором, наши мнения по большинству вопросов почти не отличаются. Давайте считать это обсуждением.
Получилось, что я как бы защищаю важность работы Строма -- меня тоже удивило, что Вы за это взялись.
выполнение аксиом модельной категории являются просто свидетельством того, что наши определения основных понятий разумны -- да, теперь я понял как Вы к этому пришли, просто когда разговор ведется на уровне мотивировок, способных вызвать интерес к предмету, то стоит указать какое направление является основным, а какое побочным. Все что я хотел сделать, это указать на эзотеричность сильной модельной категории. Путаница в таких вопросах не столь уж безобидна, как может показаться. Мне известна еще одна относительно недавняя работа (диссертация написанная у моего научного руководителя незадолго до меня) изучающая сильные эквивалентности, правда в эквивариантном контексте и без использования модельных категорий. Она была невероятно технически сложна, и так и осталась не опубликованной, в первую очередь потому, что результат оказался через чур "сильным" и абсолютно не востребованным.
я, наверное, могу высказывать свое мнение о Мэе -- конечно, взгляд со стороны мне очень интересен. Что касается Бордмана, то мне всегда казалось, что он избегал конфликтов с Мэем, по крайней мере в истории с открытием операд он предпочел не высказываться. Его работы про спектры не единственное, что он не опубликовал. У него есть очень интересный обзор спектральных последовательностей с алгебраической точки зрения. Он увидел свет только в конце 90х, хотя препринты ходили с середины 70х. Возможно, что причина кроется в его личной пониженной амбициозности? Про спектры есть еще одна важная работа оставшаяся неопубликованной. Я говорю о работе Лидакиса, которая конкурировала с EKMM. О причинах, по которым она осталась неопубликованной остается только догадываться, с доступностью ее, правда, проблем нет, благодаря интернету, но автор практически ушел из математики (хоть и работает в университете на Крите, но статей не пишет и на конференции не ездит).
я вообще не знаю (прямых) приложений модельных категорий -- интересно, а работу Мореля-Воеводского Вы признаете приложением модельных категорий? Я согласен, что мои примеры не являются приложениями в прямом смысле, но не имея в своем распоряжении этих технических средств, невозможно найти и приложения подобдого работе Мореля-Воеводского. (Правда исторически как раз эта работа во многом дала толчок развитию абстрактной теории).
топологи как правило предпочитают работать симплициально... Это еще одно средство закрыть науку от посторонних -- я с этим не согласен. Симплициальные методы настолько хорошо зарекомендовали себя не только в топологии, но и в алгебре, а сегодня активно внедряются в алгебраическую геометрию, что "посторонним" лучше бы их выучить. Конечно почти всегда удается распространить результат на топологические пространства, но это зачастую связано с техническими трудностями, и совершенно не очевидно, что их имеет смысл преодолевать. Имеются, кстати и обратные примеры, т.е. утверждения верные для топологических пространств, которые не удается немедленно распространить на симплициальные множества, но это и не обязательно делать -- в конце концов предметом изучения гомотопической топологии остается гомотопическая категория, а различные ее модели это всего лишь средства.
"Все что я хотел сделать, это указать на эзотеричность сильной модельной категории."
На мой взгляд, она более чем естественна, а расслоения Серра, слабые эквивалентности, etc. - это от бедности, или, скорее, от стремления поскорее получить результат (Серр просто выбрал простейшее свойство, достаточное для того, чтобы его доказательства работали, а остальное его не интересовало).
"...он избегал конфликтов с Мэем..."
Похоже, что мой взгляд на Мэя разделяют и люди внутри предмета. (Мои представления основаны на опубликованных текстах, а не инсайдерской информации - у меня ее нет.) Я рискну высказать гипотезу: Мэй жутко завидует Бордману, с его vision, которому Мэй может противопоставить только техническую силу.
"...правда в эквивариантном контексте..."
Стандарный способ сделать что-нибудь безнадежно сложным и потом сказать, что только моя теория годится для преодоления этих сложностей (метод Мэя).
"Возможно, что причина кроется в его личной пониженной амбициозности?"
Предисловие к препринтам о спектрах более чем амбициозное.
По поводу Мореля-Воеводского я готов согласиться с Вашим описанием, с той оговоркой, что из него как раз и следует, что это не настоящее приложение. А это важно? Много ли приложений у общей топологии?
"Симплициальные методы настолько хорошо зарекомендовали себя не только в топологии, но и в алгебре, а сегодня активно внедряются в алгебраическую геометрию, что "посторонним" лучше бы их выучить."
В алгебраическую геометрию они не внедряются, они уже давным-давно (в 60-е) внедрены. Но как их учить посторонним? По чудовищной книге Мэя? Или по книге Goerss-Jardine, которое предполагает свободное владение теорией категорий на уровне, далеко превосходящим тот, который обычно встречается у посторонних? Вроде как больше ничего нет.
"...предметом изучения гомотопической топологии остается гомотопическая категория"
Это какой-то очень узкий взгляд на вещи. И что значит "изучать категорию"? Изучать ее категорные свойства? Без приложений это не особенно интересно. Поскольку при этом вы настаиваете на категории Серра-Квиллена, получается, что теория гомотопий не является частью гомотопической топологии, что довольно странно, неправда ли?
...это не настоящее приложение. -- Мне не слишком понятно чем "настоящее" приложение отличается от "не настоящего", впрочем я не горю желанием это выяснять. Просто "приложение" без всякого прилагательного звучит достаточно убедительно.
А это важно? Много ли приложений у общей топологии? -- Конечно важно! Вам ли этого не понимать? Все упирается в финансирование. Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году? Или хотя бы живых экспертов? Нет уж, Ваше сравнение совершенно не адекватно.
...уже давным-давно (в 60-е) внедрены. -- Наверное Вы имеете в виду работу Артина-Мазура? Ничего другого даже на ум не приходит. Но это сложно назвать внедрением. Большинство алгебраических геометров (по-крайней мере из тех с кем мне доводилось общаться) в лучшем случае только слышали о ней. Да и сегодня этальная гомотопическая теория изучается в основном гомотопическими топологами. Гротендик писал Квиллену в "Pursuing stacks", что так и не освоил симплициальных методов, правда тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на самом деле" и оказался прав. Под современным внедрением я имел в виду производную алгебраическую геометрию, которая вроде бы благосклонно воспринимается алгебраическими геометрами, по крайней мере связанными с геометрической теорией представлений, и конечно же мотивную гомотопическую теорию.
Это какой-то очень узкий взгляд на вещи -- Ну почему же узкий? Разве не правомощно сказать, что предметом изучения алгебраической геометрии является категория алгебраических многообразий? Изучать категорию означает решать задачи, которые в ней можно сформулировать. Для гомотопической категории хорошо бы, например, научиться вычислять множества морфизмов между объектами. Нужны, разумеется, и приложения, без них финансирование прикроют и будет все как с общей топологией.
...получается, что теория гомотопий не является частью гомотопической топологии, что довольно странно... -- Это именно то, что я пытаюсь Вам объяснить. То есть формально, конечно же является (именно об этом работа Строма), но на практике ее прекратили активно изучать с появлениями работ старого(?) Уайтхеда и диссертации Серра. В последние же 30 лет мне вообще неизвестно ни одной работы посвященной сильным гомотопическим эквивалентностям (т.е. конечно же исключения найти можно, например недавние работы Коула, но они скорее будут подтверждать правило). Я не исключаю, что со временем ситуация изменится, но это потребует дополнительного развития теории модельных категорий и, самое главное, новых приложений.
"Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году?"
Не интересовался, но думаю, что такие люди есть. Общая топология - более-менее законченная наука, и важна не своими внутренними задачами, а языком, на котором могут изъясняться другие науки.
"Все упирается в финансирование."
Вы дважды упомнянули слово "финансирование". Это уведет нас далеко в сторону. Я считаю, что госфинансирование только вредит математике.
Да, Артин-Мазур, Э. Фридлендер - это первое, что приходит в голову.
"...тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на самом деле" и оказался прав."
А вот про это я не знаю. Как оно все устроено на самом деле?
" Разве не правомочно сказать, что предметом изучения алгебраической геометрии является категория алгебраических многообразий?"
Нет, конечно. Алгебраическая геометрия сушествовала раньше теории категорий, поменяла предмет изучения с алгебраических многообразий на схемы, затем расширила предмет до алгебраических пространств и стэков, и я не возьмусь предсказать, чем алгебраическая геометрия будет заниматься через 10 лет, и будет ли оно категорией.
"Для гомотопической категории хорошо бы, например, научиться вычислять множества морфизмов между объектами."
Может, и хорошо. Что значит "вычислять"? Гомотопические группы сфер вычислимы, а тольку-то?
"То есть формально, конечно же является (именно об этом работа Строма), но на практике ее прекратили активно изучать с появлениями работ старого(?) Уайтхеда и диссертации Серра."
Это просто неверно. Теория гомотопий развивалась в основном после диссертации Серра, а не до. Даже понятие расслоения Гуревича появилось после Серра.
"В последние же 30 лет мне вообще неизвестно ни одной работы посвященной сильным гомотопическим эквивалентностям..."
В последние 30 лет это не единственная и не главная проблема с развитием математики и вообще науки. (Это недавно обсуждалось в ЖЖ.) Честно говоря, мне трудно вообразить себе работу, "посвященную сильным гомотопическим эквивалентностям". Не намного легче, чем работу, посвященную "компактным топологическим пространствам".
"...это потребует дополнительного развития теории модельных категорий..."
У нас, несоменно, совершенно разное отношение к математике. Я не могу думать о развитии теории модельных категорий как о самостоятельной задаче - равно как и о развитии теории гомотопических эквивалентностей.
Вы дважды упомянули слово "финансирование" -- я имел в виду, что приложения необходимы любой области, чтобы убедить коллег в своей полезности, иначе ни то что грантов, рабочих мест не увидать последователям. По-поводу гос-финансирования я склонен с Вами согласиться (перечитал дискуссию годичной давности у Вас в журнале), но ведь институт Клэя и AIM вроде бы частные инициативы (сюда же наверное следует отнести институт Миттага-Леффлера, хотя сегодня он и поддерживается государством), так что не все потеряно.
Как оно все устроено на самом деле? -- Кроме симплициальных комплексов топологи рассматривали также кубические (Серр их использовал для вывода спектральной последовательности расслоения). Потом необходимость в них в основном отпала и их почти прекратили изучать (кроме Бангорской школы). Зато симплициальные комплексы переросли в симплициальные множества и развились в полноценную гомотопическую теорию. Оставался вопрос, а можно ли то же самое повторить для кубических множеств или каких-нибудь других, или же симплексы (категория конечных ординалов) какие-то особенные? Гротендик предложил рассматривать тестовые категории, характеризующиеся двумя свойствами: во-первых они должны быть стягиваемыми, а второе свойство более техническое, но наверняка имеет явный геометрический смысл, просто я что-то не соображу сейчас; вот лекция Жардина на эту тему. Так вот, первая гипотеза заключалась в том, что предпучки на тестовых категориях должны оснащаться модельной структурой эквивалентной пространствам. Эта гипотеза (и несколько других) была недавно (2003) доказана Сизинским (франц.; имеется так же пересказ Жардина по английски, который, кстати, за год до доктората Сизинского независимо построил модельную категорию для кубических множеств, но решил не публиковать когда увидел общее решение), а вся эта область получила название "гомотопической теории Гротендика" и активно развивается в основном, к сожалению, усилиями французской школы.
На сегодняшний день мне известно только одно утверждение, которое указывает на то, что симплексы чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще. Это лемма Мура говорящая что симплициальные группы автоматически фибрантны как симплициальные множества. Я спрашивал и у Жардина и у Сизинского, они не знают выполняется ли это свойство в других категориях. Хорошая тема для мастерской диссертации.
Зашкалил за лимит ЖЖ для длинны комментов, продолжение следует.
Клэй - в основном a public relation stunt. Это способ поддерживать не математику, а репутацию Клэя. Пожалуй, на данный момент его деятельность вреднее госфинансирования. AIM будет потише. Но их манера организовывать конференции...
Спасибо за ссылки. Все это очень интересно, но мне осталось непонятным, почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?".
Симплексы, на мой взгляд, хороши тем, что возникают естественно.
...почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?" -- потому, что показывает что симплексы ни чем не лучше чего бы то ни было еще. Дискретные модели гомотопических типов пространств можно строить из чего угодно. Это важное концептуальное заключение, хотя не уверен, что с практической точки зрения оно будет иметь какие-то последствия в ближайшее время. Слишком хорошо проработана симплектическая теория, чтобы от нее отказываться. У кубов есть некоторые технические преимущества (произведение кубов снова куб), но они пока не перетягивают чашу весов.
Мне известен только один контекст, в котором симплексы появляются "естественно". Это комбинаторное описание полиэдров при помощи симплициальных комплексов. Топологи давно отказались от него из-за чудовищных категорных свойств, но комбинаторики, в особенности алгебраические, продолжают использовать, приводя даже топологические аргументы, которые не всегда просто перевести на язык симплициальных множеств, хотя такой перевод добавляет понимания.
Мы по-разному понимаем вопрос "Как оно все устроено на самом деле?"
С моей точки зрения, то, что что-то можно делать иначе, не имеет к нему никакого отношения.
Симплексы появились естественно в теории гомологий. То, что произведение кубов является кубом, известно давно, и даже использовалось, но то, что за почти 60 лет это не привело к распространению кубов, на мой взгляд, кое-то о них говорит.
Симплексы появились естественно в теории гомологий -- Вы слишком часто используете слово "естественно". Поскольку в теории категорий оно имеет строгий смысл, мне все время хочется потребовать у Вас доказательство. Кубы тоже появились в теории гомологий, ну и что? Как определить кто более естественен? Ответ на вопрос: "Чем симплексы лучше?", получен -- ничем (кроме леммы Мура, с которой вопрос пока открыт). Все кроме комбинаториков (или комбинаторов?) вроде бы удовлетворены. Видимо Вы занимаетесь комбинаторикой. Учитывая Вашу эрудированность в некоторых областях, скорее алгебраической комбинаторикой. Прошу не считать это попыткой вскрыть Вашу real identity.
Нет, мое употребление слова "естественный" имеет слабое отношение к его специфическому категорному смыслу. Пересечение, конечно есть. Я использую его в обычном разговорном смысле.
Кубы появились в теории гомологии - и исчезли. Для меня это свидетельство того, что они неестественны. То, что и симплексы, и кубы, и еще что-то удовлетворяют некоторому набору аксиом, никак не может означать, что симплексы "ничем не лучше". Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать. Есть масса конструкций, которые ведут к каноническому разбиению на симплексы полезных пространств. И я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба.
Любопытно, что меня уже не в первый раз принимают за специалиста по алгебраической комбинаторике. Правда, раньше принимали за вполне конкретного.
Кубы появились в теории гомологии - и исчезли -- до конца никогда не исчезали; Рони Браун даже как-то обиделся на Жардина за то, что тот высказался в этом духе в своем препринте. Но даже если и исчезли, вон теперь снова появились. Это о чем говорит? Миша Поляк как-то агитировал за кубические комплексы, через которые удобно определять инварианты конечного типа. Одним из аргументов был следующий. Помните старые советские пакеты из-под молока? Тетраэдральные? Так вот, в конце концов их заменили на прямоугольные параллелепипеды, так что кубы всегда побеждают.
Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать -- может быть, но этот эффект не измерить. На одном семинаре по комбинаторике меня позабавило, что докладчик все время говорил про джойны симплициальных комплексов, но ни разу не упомянул про их произведение. В какой-то момент я спросил почему бы не воспользоваться произведением? На что получил ответ, что оно не определено. Я попытался объяснить, что можно перемножить пространства, а потом взять какое-нибудь разбиение на симплексы, и что с джойном по сути происходит тоже самое, но тут меня спросили что такое джойн топологических пространств... Вобщем стало понятно, что у нас отсутствует достаточная общая база для конструктивного обсуждения. Не от излишнего ли увлечения симплексами это произошло?
...я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба -- скорее всего такая конструкция Вам пока была не нужна. Не думаю что возникли бы сложности с ее построением, понадобись она кому-нибудь. Например аналог сингулярного функтора в кубическом случае имеется.
На работу Строма имеется около 20 ссылок, зарегистрированных MathSciNet (то есть за последние 10 лет, не больше). Что очень неплохо для столь давней работы. Я посмотрел одну из этих работ, Dwyer-Weiss-Williams, на мой взгляд очень интересную. Там ссылаются на работу Строма для доказательства того, что некая категория является категорией Вальдхаузена, что, видимо, очень важно для работы Dwyer-Weiss-Williams.
По поводу Мэя. Мэй не один раз писал, и не только в рассылках, но и в публикациях и reviews (рассылок еще и не было), что та или иная работа чем-то плоха, или что он видит в ней существенные дыры. Его обычная цель - перенаправить читателя к его собственным трудам. Мне это кажется не очень достойным поведением. В целом влияние Мэя на этот предмет на мой посторонний взляд убийственное. Изучать работы Мэя невозможно - по каждому поводу он пишет несколько книг, и ради чего их читать - непонято. Но он вытеснил практически всех, кто не принадлежит к его школе.
При этом я вполне допускаю, что Стром допустил ту же ошибку, что и другие в его время - работал с топологическими пространствами там, где нужны компактно-порожденные. Чтобы это выяснить, надо читать работу, а не агитацию Мэя.
Судя по тому, что удается найти в сети, Стром бросил математику после трех работ, и это наводит на мысль, что все идеи этих трех работ принадлежат его руководителю. Мне не удалось даже выяснить, кто был его руководителем. Мои предположения - D. Puppe, V. Puppe, T. tom Dieck, A. Dold. Это я к тому, что не стоит называть эту категорию категорией Строма. Лучше придумать нейтральное название; я бы предложил такие категории называть по названию используемых расслоений.
Интересно, есть ли модельная категория, в которой расслоениями являются расслоения Дольда?
Мне кажется, что использование модельной категории Серра (используя предложенную терминологию) как минимум не очень элегантно. Мы не стремимся изучать детально все гомотопические типы, но абстрактная теория хорошо работает и в случае Гуревича, и многие слабые гомотопические эквивалентности на самом деле являются настоящими (один из Puppe).
Reply
Reply
Так или иначе, но пересмотреть работу Строма стоило давно, и по-видимому студент Мэя это сделал (компактная порожденность для пространств это не существенное ограничение). Если бы он выложил свой препринт 5 лет назад, то я бы с удовольствием его прочитал, а так я наткнулся на его статью только когда искал ссылки для ответа Вам, но интерес мой к этой теме давно прошел.
С Вашего позволения, я уклонюсь от обсуждения морально-этической стороны поступков Мэя. Он обладает достаточным влиянием, хоть и не столь громадным как Вы пишете, а у меня пока даже постоянства нет. Справедливости ради следует отметить, что никто из топологов не трудоустроил такое количество пост-доков как он.
я бы предложил такие категории называть по названию используемых расслоений -- не годится, Коул как раз и показал, что можно совместить расслоения Гуревича со слабыми эквивалентностями. Можно попробовать называть их по эквивалентностям, соответственно "сильной" и "слабой", но за Квиленовской категорией прочно укоренилось наименование "стандартная".
Приведенный Вами пример с безусловно интересной статьей Dwyer-Weiss-Williams я не могу принять в качестве существенного использования сильной модельной категории. Проверить наличие структуры Вальдхаузена на порядок проще, чем установить существование модельной категории (нет факторизаций), кроме того они ограничивают рассмотрение пространствами гомотопически эквивалентными CW-комплексам, короче ссылка на Строма чисто формальная, призванная показать то, что и так очевидно (тривиальную часть аксиом модельной категории).
Я попытаюсь объяснить что я имею в виду под приложением для модельной категории. Это должна быть одна из тех вещей, для которых модельные категории действительно полезны. Например вычисление гомотопических пределов (для этого хорошо бы уметь продолжать модельную структуру на категорию диаграмм пространств), или для классификации/построения гомологических инвариантов (хорошо бы построить стабилизацию сильной модельной категории) и научиться локализовать по отношению к ним или по отношению к произвольным морфизмам. Ничего этого нет даже после работы Коула. Именно поэтому я так удивился, что Вы упомянули сильную категорию.
Интересно, есть ли модельная категория, в которой расслоениями являются расслоения Дольда? -- вполне естественный вопрос. Если бы категория Строма была изучена лучше, наверное на него не сложно было бы ответить. (Есть препринт Тибора Беке, в котором он строит много модельных категорий на симплициальных множествах варьируя расслоения и корасслоения, а эквивалентности оставляя без изменений; наверняка что-то подобное можно сделать и для пространств).
Мне кажется, что использование модельной категории Серра (используя предложенную терминологию) как минимум не очень элегантно -- оно оправдано уже тем, что эта категория оказывается эквивалентной (по Квиллену) симплициальным множествам, и хотя гомотопические топологи как правило предпочитают работать симплициально, слабая структура на пространствах важна, т.к. в ней все объекты фибрантны, а это часто бывает полезно.
многие слабые гомотопические эквивалентности на самом деле являются настоящими -- если между CW-комплексами, то это старший Вайтхед.
Reply
И что затруднение объясняется тем случайным обстоятельством, что совсем элементарную часть теории гомотопий можно построитьь для всех (хаусдорфовых) пространств. Если бы граница "элементарного" была бы проведена в другом месте, это было бы невозможно.
В этом контексте выполнение аксиом модельной категории являются просто свидетельством того, что наши определения основных понятий разумны (согласуются друг с другом естественным образом). Собственно, это все, что мне нужно о работы Строма. Если там есть пробелы в доказательствах, меня это не удивит и не обеспокоит. Не он один, пробелы есть в куда как более важных работах.
Равным образом, с Вашего позволения, я, наверное, могу высказывать свое мнение о Мэе. "Справедливости ради следует отметить, что никто из топологов не трудоустроил такое количество пост-доков как он." Это и есть свидетельство влияния, едва ли не самое главное. Так или иначе, я позиции не ищу (и никогда не буду в области Мэя), а найти доказательство или хотя бы понятную формулировку какого-нибудь результата бывает нужно. Мэй закрыл эту область от посторонних - поскольку предварительными сведениями к чему угодно содержательному является тысяча страниц его трудов. И к разному - разные тысячи. И еще - вполне конкретная претензия - Мэй закрыл дорогу к публикации очень красивых работ Бордмана по спектрам (утверждая на каждом шагу, что его спектры лучше). В результате эти работы почти недоступны.
Я не предлагал общий принцип - называть модельную категории по названию её расслоений. Но в этих двух случаях мне это кажется разумным.
У нас, видимо, разные представления о том, что такое приложение. Я бы не назвал Ваши примеры приложениями - это некоторые технические средства, которые, в свою очередь, надо к чему-то прилагать. В этом смысле, должен признаться, я вообще не знаю (прямых) приложений модельных категорий.
То, что категория Серра эквивалентна симлициальным множествам, это скорее минус, а не плюс с точки зрения элегантности. "...гомотопические топологи как правило предпочитают работать симплициально..." Это еще одно средство закрыть науку от посторонних. Так или иначе, практически все объекты естественно возникают как пространства, а не симплициальные множества, и хочется работать с ними в таком виде. С другой стороны, реализация гомотопического типа как пространства бывает очень полезна.
Нет, не между CW-комплексами. Этого Уайтхеда неправильно называть старшим, поскольку они не родственики, и имена (и даже инициалы) разные.
Reply
Получилось, что я как бы защищаю важность работы Строма -- меня тоже удивило, что Вы за это взялись.
выполнение аксиом модельной категории являются просто свидетельством того, что наши определения основных понятий разумны -- да, теперь я понял как Вы к этому пришли, просто когда разговор ведется на уровне мотивировок, способных вызвать интерес к предмету, то стоит указать какое направление является основным, а какое побочным. Все что я хотел сделать, это указать на эзотеричность сильной модельной категории. Путаница в таких вопросах не столь уж безобидна, как может показаться. Мне известна еще одна относительно недавняя работа (диссертация написанная у моего научного руководителя незадолго до меня) изучающая сильные эквивалентности, правда в эквивариантном контексте и без использования модельных категорий. Она была невероятно технически сложна, и так и осталась не опубликованной, в первую очередь потому, что результат оказался через чур "сильным" и абсолютно не востребованным.
я, наверное, могу высказывать свое мнение о Мэе -- конечно, взгляд со стороны мне очень интересен. Что касается Бордмана, то мне всегда казалось, что он избегал конфликтов с Мэем, по крайней мере в истории с открытием операд он предпочел не высказываться. Его работы про спектры не единственное, что он не опубликовал. У него есть очень интересный обзор спектральных последовательностей с алгебраической точки зрения. Он увидел свет только в конце 90х, хотя препринты ходили с середины 70х. Возможно, что причина кроется в его личной пониженной амбициозности? Про спектры есть еще одна важная работа оставшаяся неопубликованной. Я говорю о работе Лидакиса, которая конкурировала с EKMM. О причинах, по которым она осталась неопубликованной остается только догадываться, с доступностью ее, правда, проблем нет, благодаря интернету, но автор практически ушел из математики (хоть и работает в университете на Крите, но статей не пишет и на конференции не ездит).
я вообще не знаю (прямых) приложений модельных категорий -- интересно, а работу Мореля-Воеводского Вы признаете приложением модельных категорий? Я согласен, что мои примеры не являются приложениями в прямом смысле, но не имея в своем распоряжении этих технических средств, невозможно найти и приложения подобдого работе Мореля-Воеводского. (Правда исторически как раз эта работа во многом дала толчок развитию абстрактной теории).
топологи как правило предпочитают работать симплициально... Это еще одно средство закрыть науку от посторонних -- я с этим не согласен. Симплициальные методы настолько хорошо зарекомендовали себя не только в топологии, но и в алгебре, а сегодня активно внедряются в алгебраическую геометрию, что "посторонним" лучше бы их выучить. Конечно почти всегда удается распространить результат на топологические пространства, но это зачастую связано с техническими трудностями, и совершенно не очевидно, что их имеет смысл преодолевать. Имеются, кстати и обратные примеры, т.е. утверждения верные для топологических пространств, которые не удается немедленно распространить на симплициальные множества, но это и не обязательно делать -- в конце концов предметом изучения гомотопической топологии остается гомотопическая категория, а различные ее модели это всего лишь средства.
Reply
На мой взгляд, она более чем естественна, а расслоения Серра, слабые эквивалентности, etc. - это от бедности, или, скорее, от стремления поскорее получить результат (Серр просто выбрал простейшее свойство, достаточное для того, чтобы его доказательства работали, а остальное его не интересовало).
"...он избегал конфликтов с Мэем..."
Похоже, что мой взгляд на Мэя разделяют и люди внутри предмета. (Мои представления основаны на опубликованных текстах, а не инсайдерской информации - у меня ее нет.) Я рискну высказать гипотезу: Мэй жутко завидует Бордману, с его vision, которому Мэй может противопоставить только техническую силу.
"...правда в эквивариантном контексте..."
Стандарный способ сделать что-нибудь безнадежно сложным и потом сказать, что только моя теория годится для преодоления этих сложностей (метод Мэя).
"Возможно, что причина кроется в его личной пониженной амбициозности?"
Предисловие к препринтам о спектрах более чем амбициозное.
По поводу Мореля-Воеводского я готов согласиться с Вашим описанием, с той оговоркой, что из него как раз и следует, что это не настоящее приложение. А это важно? Много ли приложений у общей топологии?
"Симплициальные методы настолько хорошо зарекомендовали себя не только в топологии, но и в алгебре, а сегодня активно внедряются в алгебраическую геометрию, что "посторонним" лучше бы их выучить."
В алгебраическую геометрию они не внедряются, они уже давным-давно (в 60-е) внедрены. Но как их учить посторонним? По чудовищной книге Мэя? Или по книге Goerss-Jardine, которое предполагает свободное владение теорией категорий на уровне, далеко превосходящим тот, который обычно встречается у посторонних? Вроде как больше ничего нет.
"...предметом изучения гомотопической топологии остается гомотопическая категория"
Это какой-то очень узкий взгляд на вещи. И что значит "изучать категорию"? Изучать ее категорные свойства? Без приложений это не особенно интересно. Поскольку при этом вы настаиваете на категории Серра-Квиллена, получается, что теория гомотопий не является частью гомотопической топологии, что довольно странно, неправда ли?
Reply
А это важно? Много ли приложений у общей топологии? -- Конечно важно! Вам ли этого не понимать? Все упирается в финансирование. Вы много знаете общих топологов получивших позицию в прошлом году? Или хотя бы живых экспертов? Нет уж, Ваше сравнение совершенно не адекватно.
...уже давным-давно (в 60-е) внедрены. -- Наверное Вы имеете в виду работу Артина-Мазура? Ничего другого даже на ум не приходит. Но это сложно назвать внедрением. Большинство алгебраических геометров (по-крайней мере из тех с кем мне доводилось общаться) в лучшем случае только слышали о ней. Да и сегодня этальная гомотопическая теория изучается в основном гомотопическими топологами. Гротендик писал Квиллену в "Pursuing stacks", что так и не освоил симплициальных методов, правда тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на самом деле" и оказался прав. Под современным внедрением я имел в виду производную алгебраическую геометрию, которая вроде бы благосклонно воспринимается алгебраическими геометрами, по крайней мере связанными с геометрической теорией представлений, и конечно же мотивную гомотопическую теорию.
Это какой-то очень узкий взгляд на вещи -- Ну почему же узкий? Разве не правомощно сказать, что предметом изучения алгебраической геометрии является категория алгебраических многообразий? Изучать категорию означает решать задачи, которые в ней можно сформулировать. Для гомотопической категории хорошо бы, например, научиться вычислять множества морфизмов между объектами. Нужны, разумеется, и приложения, без них финансирование прикроют и будет все как с общей топологией.
...получается, что теория гомотопий не является частью гомотопической топологии, что довольно странно... -- Это именно то, что я пытаюсь Вам объяснить. То есть формально, конечно же является (именно об этом работа Строма), но на практике ее прекратили активно изучать с появлениями работ старого(?) Уайтхеда и диссертации Серра. В последние же 30 лет мне вообще неизвестно ни одной работы посвященной сильным гомотопическим эквивалентностям (т.е. конечно же исключения найти можно, например недавние работы Коула, но они скорее будут подтверждать правило). Я не исключаю, что со временем ситуация изменится, но это потребует дополнительного развития теории модельных категорий и, самое главное, новых приложений.
Reply
Не интересовался, но думаю, что такие люди есть. Общая топология - более-менее законченная наука, и важна не своими внутренними задачами, а языком, на котором могут изъясняться другие науки.
"Все упирается в финансирование."
Вы дважды упомнянули слово "финансирование". Это уведет нас далеко в сторону. Я считаю, что госфинансирование только вредит математике.
Да, Артин-Мазур, Э. Фридлендер - это первое, что приходит в голову.
"...тут же выдвинул свою гипотезу "как оно все устроено на самом деле" и оказался прав."
А вот про это я не знаю. Как оно все устроено на самом деле?
" Разве не правомочно сказать, что предметом изучения алгебраической геометрии является категория алгебраических многообразий?"
Нет, конечно. Алгебраическая геометрия сушествовала раньше теории категорий, поменяла предмет изучения с алгебраических многообразий на схемы, затем расширила предмет до алгебраических пространств и стэков, и я не возьмусь предсказать, чем алгебраическая геометрия будет заниматься через 10 лет, и будет ли оно категорией.
"Для гомотопической категории хорошо бы, например, научиться вычислять множества морфизмов между объектами."
Может, и хорошо. Что значит "вычислять"? Гомотопические группы сфер вычислимы, а тольку-то?
"То есть формально, конечно же является (именно об этом работа Строма), но на практике ее прекратили активно изучать с появлениями работ старого(?) Уайтхеда и диссертации Серра."
Это просто неверно. Теория гомотопий развивалась в основном после диссертации Серра, а не до. Даже понятие расслоения Гуревича появилось после Серра.
"В последние же 30 лет мне вообще неизвестно ни одной работы посвященной сильным гомотопическим эквивалентностям..."
В последние 30 лет это не единственная и не главная проблема с развитием математики и вообще науки. (Это недавно обсуждалось в ЖЖ.) Честно говоря, мне трудно вообразить себе работу, "посвященную сильным гомотопическим эквивалентностям". Не намного легче, чем работу, посвященную "компактным топологическим пространствам".
"...это потребует дополнительного развития теории модельных категорий..."
У нас, несоменно, совершенно разное отношение к математике. Я не могу думать о развитии теории модельных категорий как о самостоятельной задаче - равно как и о развитии теории гомотопических эквивалентностей.
Reply
Как оно все устроено на самом деле? -- Кроме симплициальных комплексов топологи рассматривали также кубические (Серр их использовал для вывода спектральной последовательности расслоения). Потом необходимость в них в основном отпала и их почти прекратили изучать (кроме Бангорской школы). Зато симплициальные комплексы переросли в симплициальные множества и развились в полноценную гомотопическую теорию. Оставался вопрос, а можно ли то же самое повторить для кубических множеств или каких-нибудь других, или же симплексы (категория конечных ординалов) какие-то особенные? Гротендик предложил рассматривать тестовые категории, характеризующиеся двумя свойствами: во-первых они должны быть стягиваемыми, а второе свойство более техническое, но наверняка имеет явный геометрический смысл, просто я что-то не соображу сейчас; вот лекция Жардина на эту тему. Так вот, первая гипотеза заключалась в том, что предпучки на тестовых категориях должны оснащаться модельной структурой эквивалентной пространствам. Эта гипотеза (и несколько других) была недавно (2003) доказана Сизинским (франц.; имеется так же пересказ Жардина по английски, который, кстати, за год до доктората Сизинского независимо построил модельную категорию для кубических множеств, но решил не публиковать когда увидел общее решение), а вся эта область получила название "гомотопической теории Гротендика" и активно развивается в основном, к сожалению, усилиями французской школы.
На сегодняшний день мне известно только одно утверждение, которое указывает на то, что симплексы чем-то лучше кубов или чего бы то ни было еще. Это лемма Мура говорящая что симплициальные группы автоматически фибрантны как симплициальные множества. Я спрашивал и у Жардина и у Сизинского, они не знают выполняется ли это свойство в других категориях. Хорошая тема для мастерской диссертации.
Зашкалил за лимит ЖЖ для длинны комментов, продолжение следует.
Reply
Спасибо за ссылки. Все это очень интересно, но мне осталось непонятным, почему это отвечает на вопрос "Как оно все устроено на самом деле?".
Симплексы, на мой взгляд, хороши тем, что возникают естественно.
Reply
Мне известен только один контекст, в котором симплексы появляются "естественно". Это комбинаторное описание полиэдров при помощи симплициальных комплексов. Топологи давно отказались от него из-за чудовищных категорных свойств, но комбинаторики, в особенности алгебраические, продолжают использовать, приводя даже топологические аргументы, которые не всегда просто перевести на язык симплициальных множеств, хотя такой перевод добавляет понимания.
Reply
С моей точки зрения, то, что что-то можно делать иначе, не имеет к нему никакого отношения.
Симплексы появились естественно в теории гомологий. То, что произведение кубов является кубом, известно давно, и даже использовалось, но то, что за почти 60 лет это не привело к распространению кубов, на мой взгляд, кое-то о них говорит.
Reply
Reply
Кубы появились в теории гомологии - и исчезли. Для меня это свидетельство того, что они неестественны. То, что и симплексы, и кубы, и еще что-то удовлетворяют некоторому набору аксиом, никак не может означать, что симплексы "ничем не лучше". Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать. Есть масса конструкций, которые ведут к каноническому разбиению на симплексы полезных пространств. И я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба.
Любопытно, что меня уже не в первый раз принимают за специалиста по алгебраической комбинаторике. Правда, раньше принимали за вполне конкретного.
Reply
Может, они лучше чисто психологически - о них легче думать -- может быть, но этот эффект не измерить. На одном семинаре по комбинаторике меня позабавило, что докладчик все время говорил про джойны симплициальных комплексов, но ни разу не упомянул про их произведение. В какой-то момент я спросил почему бы не воспользоваться произведением? На что получил ответ, что оно не определено. Я попытался объяснить, что можно перемножить пространства, а потом взять какое-нибудь разбиение на симплексы, и что с джойном по сути происходит тоже самое, но тут меня спросили что такое джойн топологических пространств... Вобщем стало понятно, что у нас отсутствует достаточная общая база для конструктивного обсуждения. Не от излишнего ли увлечения симплексами это произошло?
...я не знаю ни одной конструкции, ведущей к разбиению на кубы чего-нибудь, кроме куба -- скорее всего такая конструкция Вам пока была не нужна. Не думаю что возникли бы сложности с ее построением, понадобись она кому-нибудь. Например аналог сингулярного функтора в кубическом случае имеется.
Reply
"...может быть, но этот эффект не измерить."
Очень даже можно. Сколько работ используют симплициальные множества и "симплициальные комплексы" (в классическом смысле), и сколько - кубы?
Если кто-то не знает, как триангулируется произведение двух симплексов - это значит только то, что он плохо учился.
Про сингулярные кубические гомологии я знаю. Я не знаю естественно возникающего пространства с естественным разбиением на кубы.
Reply
Leave a comment