Логарифм
Mатематический плач мне посоветовали в дискусии (в комментариях): может ли ребенок в пропагандируемом автором стиле "учимся, играя" открыть логарифмы?
Я всяких детей видал, включая патентованных вундеркиндов. Таких, которые сами открыли логарифмы, я не встречал и о таких не слыхал. Я музейный экспонат: пользовался таблицами Брадиса, логарифмической линейкой, номограммами и пр. диковинками. Тогда учили пользоваться этим инвентарем как можно раньше. Естественная среда для логарифмов - анализ или пред-анализ. К тому времени, что до таких материй добирались, логарифмы уже объяснялись на уровне общей идеи и алгоритма: до появления контекста, в котором ребенок мог бы их открыть сам.
Есть, однако, смущающие моменты. Первый - я не знаю и тех детей, которые бы придумали тригонометрический простaферезис (умножение косинусов через их сложение), зная соответствующие формулы. Голова как-то не работала в эту сторону: придумывать таблицы. Когда требовалось что-то считать, я выкрадывал у отца хьюллет-паккардовский калькулятор, на котором мелькали квадратненькие красные цифры.
Даже когда идею подсовывали под нос, она не шла. Я помню, решал классе в 7-м листочек с задачей, подводящей к дробной простаферетической функции
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F
...Использование простаферетической функции при вычислениях вручную позволяет резко сократить объём используемых таблиц. Так, таблица умножения чисел от 1 до 1000 должна включать 500500 значений, в то время как таблица простаферетической функции должна содержать всего 2001 значение. Таблица умножения чисел от 11 до 99 в «Четырёхзначных математических таблицах» Брадиса занимает 23 страницы, таблица же значений простаферетической функции уместилась бы на 1 странице.
Я не вижу, почему толковое дите не смогло бы само дотумкать до такой функции, но и такое дите я не видал. И после показа трюка мы все равно лезли в ненавистные таблицы Брадиса. Складывать, вычитать и искать значения функции, а потом опять вычитать занимало больше времени, чем найти произведение.
Kогда еще существовала побудительная причина, "открыть" логарифм (или нечто подобное) ребенку самому было слишком сложно; когда ребенок потенциально дозревал, было уже поздно. "Играя" с функцией ф(аб)=ф(а)+ф(б), сообразить, что с ее помощью можно составить таблицы или изготовить линейку для перемножения чисел, по-моему, непосильная задача даже для самого одаренного сегодняшнего ребенка, разве что он гений. Наоборот, кстати, тоже: изобретатель логарифмических таблиц - Непер - до конца жизни понятия не имел, что такое логарифм.
***
Сегодня И-П поведал поразительную вещь: детям не нужно открывать логарифмы; они и так их интуитивно знают. Первые несколько лет школы уходят на то, чтобы отбить это внутреннее, естественное понимание.
http://www.cs.cmu.edu/~jlbooth/sieglerbooth-cd04.pdf
...each time we are confronted with an Arabic numeral, our brain cannot but treat it as a analogical quantity and represent it mentally with decreasing precision, pretty much as a rat or chimpanzee would do. This translation from symbols to quantities imposes an important and measurable cost to the speed of our mental operations. The speed with which we compare two Arabic numerals does not depend solely on the distance between them, but also on their size. It takes much more time to decide that 9 is larger than 8 than to decide that 2 is larger than 1. For equal distance, larger numbers are more difficult to compare than smaller ones. This slowing down for large numbers is again reminiscent of the perceptual abilities of babies and animals, which are similarly affected by numerical distance and size effects. Such an astonishing parallel confirms that, starting with a symbol such as an Arabic numeral, our brain retrieves an internal representation of quantities remarkably similar to the one present in animals and young children. In fact, just as in animals, the parameter that governs the ease with which we distinguish two numbers is not so much their absolute numerical distance but their distance relative to their size. Subjectively speaking, the distance between 8 and 9 is not identical to that between 1 and 2. The "mental ruler" with which we measure numbers is not graduated with regularly spaced marks. It tends to compress larger numbers into a smaller space. Our brain represents quantities in a fashion not unlike the logarithmic scale on a slide rule, where equal space is allocated to the interval between 1 and 2, between 2 and 4, or between 4 and 8. As a result, the accuracy and speed with which calculations can be performed necessarily decreases as the numbers get larger.
https://p4mriunpat.files.wordpress.com/2011/10/the-number-sense-how-the-mind-creates-mathematics.pdf
Когда шестилетних детей просят вслепую нанести числа от 1 до 100 на числовой отрезок, они наносят их логарифмически (с очень хорошей точностью). По мере обучения, они наносят их линейно от 1 до 100 (ко второму классу), но по-прежнему логарифмически для трехзначных чисел. Лишь к шестому классу, числа от 1 до 1000 наносятся б/м линейно.
Тогда детей начинают учить логарифмам.
Я всяких детей видал, включая патентованных вундеркиндов. Таких, которые сами открыли логарифмы, я не встречал и о таких не слыхал. Я музейный экспонат: пользовался таблицами Брадиса, логарифмической линейкой, номограммами и пр. диковинками. Тогда учили пользоваться этим инвентарем как можно раньше. Естественная среда для логарифмов - анализ или пред-анализ. К тому времени, что до таких материй добирались, логарифмы уже объяснялись на уровне общей идеи и алгоритма: до появления контекста, в котором ребенок мог бы их открыть сам.
Есть, однако, смущающие моменты. Первый - я не знаю и тех детей, которые бы придумали тригонометрический простaферезис (умножение косинусов через их сложение), зная соответствующие формулы. Голова как-то не работала в эту сторону: придумывать таблицы. Когда требовалось что-то считать, я выкрадывал у отца хьюллет-паккардовский калькулятор, на котором мелькали квадратненькие красные цифры.
Даже когда идею подсовывали под нос, она не шла. Я помню, решал классе в 7-м листочек с задачей, подводящей к дробной простаферетической функции
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F
...Использование простаферетической функции при вычислениях вручную позволяет резко сократить объём используемых таблиц. Так, таблица умножения чисел от 1 до 1000 должна включать 500500 значений, в то время как таблица простаферетической функции должна содержать всего 2001 значение. Таблица умножения чисел от 11 до 99 в «Четырёхзначных математических таблицах» Брадиса занимает 23 страницы, таблица же значений простаферетической функции уместилась бы на 1 странице.
Я не вижу, почему толковое дите не смогло бы само дотумкать до такой функции, но и такое дите я не видал. И после показа трюка мы все равно лезли в ненавистные таблицы Брадиса. Складывать, вычитать и искать значения функции, а потом опять вычитать занимало больше времени, чем найти произведение.
Kогда еще существовала побудительная причина, "открыть" логарифм (или нечто подобное) ребенку самому было слишком сложно; когда ребенок потенциально дозревал, было уже поздно. "Играя" с функцией ф(аб)=ф(а)+ф(б), сообразить, что с ее помощью можно составить таблицы или изготовить линейку для перемножения чисел, по-моему, непосильная задача даже для самого одаренного сегодняшнего ребенка, разве что он гений. Наоборот, кстати, тоже: изобретатель логарифмических таблиц - Непер - до конца жизни понятия не имел, что такое логарифм.
***
Сегодня И-П поведал поразительную вещь: детям не нужно открывать логарифмы; они и так их интуитивно знают. Первые несколько лет школы уходят на то, чтобы отбить это внутреннее, естественное понимание.
http://www.cs.cmu.edu/~jlbooth/sieglerbooth-cd04.pdf
...each time we are confronted with an Arabic numeral, our brain cannot but treat it as a analogical quantity and represent it mentally with decreasing precision, pretty much as a rat or chimpanzee would do. This translation from symbols to quantities imposes an important and measurable cost to the speed of our mental operations. The speed with which we compare two Arabic numerals does not depend solely on the distance between them, but also on their size. It takes much more time to decide that 9 is larger than 8 than to decide that 2 is larger than 1. For equal distance, larger numbers are more difficult to compare than smaller ones. This slowing down for large numbers is again reminiscent of the perceptual abilities of babies and animals, which are similarly affected by numerical distance and size effects. Such an astonishing parallel confirms that, starting with a symbol such as an Arabic numeral, our brain retrieves an internal representation of quantities remarkably similar to the one present in animals and young children. In fact, just as in animals, the parameter that governs the ease with which we distinguish two numbers is not so much their absolute numerical distance but their distance relative to their size. Subjectively speaking, the distance between 8 and 9 is not identical to that between 1 and 2. The "mental ruler" with which we measure numbers is not graduated with regularly spaced marks. It tends to compress larger numbers into a smaller space. Our brain represents quantities in a fashion not unlike the logarithmic scale on a slide rule, where equal space is allocated to the interval between 1 and 2, between 2 and 4, or between 4 and 8. As a result, the accuracy and speed with which calculations can be performed necessarily decreases as the numbers get larger.
https://p4mriunpat.files.wordpress.com/2011/10/the-number-sense-how-the-mind-creates-mathematics.pdf
Когда шестилетних детей просят вслепую нанести числа от 1 до 100 на числовой отрезок, они наносят их логарифмически (с очень хорошей точностью). По мере обучения, они наносят их линейно от 1 до 100 (ко второму классу), но по-прежнему логарифмически для трехзначных чисел. Лишь к шестому классу, числа от 1 до 1000 наносятся б/м линейно.
Тогда детей начинают учить логарифмам.