Треугольник в прямоугольнике
(из комментариев)
На мой взгляд, то что хочет от детей этот плаксивый учитель математики (провести высоту в треугольнике, чтобы убедиться, что он занимает половину прямоугольника) - плохое решение, именно потому, что не развивает геометрическую интуицию.
В комментариях справедливо заметили, что трюк не помогает для пирамиды в параллелипипеде. Несколько комментаторов признались, что получить 1/3 для пирамиды могут, только применив анализ. И все хором жалуются на пространственный кретинизм. Нет, это не пространственный кретинизм. Это закономерное следствие определенного метода преподавания геометрии.
Рассуждать можно так (пусть для простоты у нас будет квадрат и куб; это неважно). Поделим квадрат диагональю. Получаем два треугольника, которые делят смежную сторону - диагональ. Две другие стороны у них одинаковы, значит они конгруентны, и каждый треугольник занимает по площади 1/2 квадрата. Сдвинем вершину треугольника по стороне. Поделим треугольник на горизонтальные полоски, параллельные основанию. Каждая полоска делит треугольник на меньший треугольник, подобный большему; коэффициент подобия - функция высоты. Поэтому длины полосок во всех треугольниках не будут меняться от сдвига. По принципу Кавальери не изменится и площадь всего треугольника. Треугольник общего положения будет занимать 1/2 прямоугольника.
Таким же рассуждением можно решить объемную задачу. Режем куб на три одинаковых пирамиды с основаниями на сторонах, их объем - 1/3 куба. Тут нарисовано как резать
http://math.stackexchange.com/a/644
Почему пирамидки одинаковы? Потому, что у них все грани одинаковы: три по методу разреза, а четвертая принадлежит каждой из двух пирамидок. Двигаем вершину пирамиды по грани куба, режем на слои параллельно основанию - и применяем принцип Кавальери. Получаем, что пирамида всегда занимает 1/3 объема. Такие разрезы можно сделать и для n-мерного куба, получив n пирамидок, т.е. общий ответ 1/n. Одно и то же незамысловатое рассуждение годится для любой размерности пространства.
Такое решение выглядит более замысловато. Но вот какая штука: после него через 20-30 лет не надо сетовать на пространственный кретинизм и хвататься за анализ. Анализ проще, спору нет. Замечательно, когда кто-то позаботился о тебе и изготовил пушку, из которой можно стрелять по воробьям; для сложных задач, однако, этой пушки уже не будет, поэтому стоит с самого начала обходиться без пушек. Если для простейшей стереометрической задачи приходится бросать геометрию и вести рассуждение в других представлениях - это признак того, что у человека с раннего возраста систематически сбивалась интуиция. Начинается это с малого: "учимся, играя" решений, которые на деле ничему не учат.
***
Почему кажется, что треугольник занимает именно 2/3, я не знаю, но то, что это будет число > 1/2 ожидаемо и, более того, верно.
Мы видим прямоугольник в перспективе - как трапецию. Делим трапецию диагональю. Нижний треугольник больше по площади верхнего, значит, так же будет для любого треугольника. С другой стороны: проведем из вершины треугольника линии, параллельные боковым сторонам. Внутренние треугольнички, образованные этими прямыми, будут равны внешним; в середине клин. На него-то треугольник и больше половины.
Если я начерчу такой чертеж и покажу вам, он подскажет глазу, что это действительно трапеция, а не перспективное изображение прямоугольника. Если я начерчу одну высоту, это будет восприниматься как сигнал, что передо мною перспективное изображение прямоугольника на какой-то плоскости; сознание послушно "доворачивает" картинку в эту плоскость. Концептуальная сложность задачи - в переходе от перспективного рисунка (как я вижу чертеж) к воображаемой плоскости, в которой четырехугольник - прямоугольник; только в ней треугольник займет ровно 1/2 площади. Проведение высоты - не столько развитие геометрической интуиции, сколько ее убийство; своего рода трюк.
На мой взгляд, то что хочет от детей этот плаксивый учитель математики (провести высоту в треугольнике, чтобы убедиться, что он занимает половину прямоугольника) - плохое решение, именно потому, что не развивает геометрическую интуицию.
В комментариях справедливо заметили, что трюк не помогает для пирамиды в параллелипипеде. Несколько комментаторов признались, что получить 1/3 для пирамиды могут, только применив анализ. И все хором жалуются на пространственный кретинизм. Нет, это не пространственный кретинизм. Это закономерное следствие определенного метода преподавания геометрии.
Рассуждать можно так (пусть для простоты у нас будет квадрат и куб; это неважно). Поделим квадрат диагональю. Получаем два треугольника, которые делят смежную сторону - диагональ. Две другие стороны у них одинаковы, значит они конгруентны, и каждый треугольник занимает по площади 1/2 квадрата. Сдвинем вершину треугольника по стороне. Поделим треугольник на горизонтальные полоски, параллельные основанию. Каждая полоска делит треугольник на меньший треугольник, подобный большему; коэффициент подобия - функция высоты. Поэтому длины полосок во всех треугольниках не будут меняться от сдвига. По принципу Кавальери не изменится и площадь всего треугольника. Треугольник общего положения будет занимать 1/2 прямоугольника.
Таким же рассуждением можно решить объемную задачу. Режем куб на три одинаковых пирамиды с основаниями на сторонах, их объем - 1/3 куба. Тут нарисовано как резать
http://math.stackexchange.com/a/644
Почему пирамидки одинаковы? Потому, что у них все грани одинаковы: три по методу разреза, а четвертая принадлежит каждой из двух пирамидок. Двигаем вершину пирамиды по грани куба, режем на слои параллельно основанию - и применяем принцип Кавальери. Получаем, что пирамида всегда занимает 1/3 объема. Такие разрезы можно сделать и для n-мерного куба, получив n пирамидок, т.е. общий ответ 1/n. Одно и то же незамысловатое рассуждение годится для любой размерности пространства.
Такое решение выглядит более замысловато. Но вот какая штука: после него через 20-30 лет не надо сетовать на пространственный кретинизм и хвататься за анализ. Анализ проще, спору нет. Замечательно, когда кто-то позаботился о тебе и изготовил пушку, из которой можно стрелять по воробьям; для сложных задач, однако, этой пушки уже не будет, поэтому стоит с самого начала обходиться без пушек. Если для простейшей стереометрической задачи приходится бросать геометрию и вести рассуждение в других представлениях - это признак того, что у человека с раннего возраста систематически сбивалась интуиция. Начинается это с малого: "учимся, играя" решений, которые на деле ничему не учат.
***
Почему кажется, что треугольник занимает именно 2/3, я не знаю, но то, что это будет число > 1/2 ожидаемо и, более того, верно.
Мы видим прямоугольник в перспективе - как трапецию. Делим трапецию диагональю. Нижний треугольник больше по площади верхнего, значит, так же будет для любого треугольника. С другой стороны: проведем из вершины треугольника линии, параллельные боковым сторонам. Внутренние треугольнички, образованные этими прямыми, будут равны внешним; в середине клин. На него-то треугольник и больше половины.
Если я начерчу такой чертеж и покажу вам, он подскажет глазу, что это действительно трапеция, а не перспективное изображение прямоугольника. Если я начерчу одну высоту, это будет восприниматься как сигнал, что передо мною перспективное изображение прямоугольника на какой-то плоскости; сознание послушно "доворачивает" картинку в эту плоскость. Концептуальная сложность задачи - в переходе от перспективного рисунка (как я вижу чертеж) к воображаемой плоскости, в которой четырехугольник - прямоугольник; только в ней треугольник займет ровно 1/2 площади. Проведение высоты - не столько развитие геометрической интуиции, сколько ее убийство; своего рода трюк.