Встреча 30.05.09
На последней встрече в субботу мы разобрали несколько графических примеров: строили формулы по рисункам. Занятие весёлое, но отнимающее массу времени.
Затем мы познакомились с понятием строгой моноидальной категории и начали знакомство собственно с моноидальными категориями.
Срогой моноидальной категорией (СМК) называется тройка ⟨C, ⊗, 1⟩, где C категория, ⊗: C × C → C бифунктор в C, 1 объект в C, причём выполнены равенства: (X⊗Y)⊗Z = X⊗(Y⊗Z), X⊗1 = X = 1⊗X для всех объектов X, Y, Z категории C.
Как обычно, допуская вольность, говорят, что категория C это СМК, если можно задать ⊗ и 1, такие что тройка ⟨C, ⊗, 1⟩ будет удовлетворять определению СМК.
Было замечено, что свойство быть СМК весьма ограничительно. К примеру, категория множеств Set с декартовым произведением × и одноэлементным множеством {*} не явлется строгой моноидальной категорией, потому что для любого множества A = {a, b, ...}: A×{*} ≠ A (а именно, {(a,*), (b,*), ...} ≠ {a, b, ...}). Один из немногих примеров СМК - категория эндофункторов End(C) для некоторой категории C.
Владимир Алексеевич поднимал вопрос, являются ли векторные пространства (ВП) с тензорным произведением СМК. Я думаю, что нет. Примерно по той же причине, что и множества, в общем.
Я напомню, что такое тензорные произведения ВП (лучше брать не ВП, а модули, но вдруг так кому-то проще). Пусть даны два ВП: X, Y над полем k (далее все ВП будут рассматриваться над этим полем). Рассмторим категорию билинейных отображений из X × Y в произвольные векторные пространства (это отображения от двух аргументов, первый из X, второй из Y, поочерёдно фиксируя каждый из которых, мы получаем линейное отображение по второму). Морфизмами в этой категории являются линейные отображения ВП, такие что, если f: X × Y → Z₁, g: X × Y → Z₂ - два объекта этой категории, то h: Z₁ → Z₂ является морфизмом из f в g, если и только если g = hf. Обозначим эту категорию Bilin(X, Y).
Тензорным произведением ВП X и Y называется инициальный объект в Bilin(X, Y) (Ленг, XVI, §1).
Это абстрактное определение ВП. Там, где за основу берётся оно, сразу доказывается что соответствующий инициальный объект существует, причём доказательство конструктивно, то есть предъявляется конструкция соответствующего отображения. Более традиционным является подход, где всё начинается с этой конструкции.
Сначала нужно определить ВП - область значений искомого билинейного отображения X × Y. Пусть M это свободное ВП, порождённое множеством X × Y, т.е. множество всех конечных формальных сумм
\sum_i {α_i(x_i,y_i)},
где α_i из k, x_i из X, y_i из Y с естественными операцией сложения (сумма двух конечных сумм - конечная сумма, при необходимости приводятся подобные; это похоже на сложение многочленов от большого числа переменных, x_i, y_i) и умножением на скаляр из k. Определим отображение f̂: X × Y → M так: f̂(x,y) = (x,y). Чтобы получить из f̂ билинейное отображение - назовём его f - нужно отождествить некоторые элементы M. Например, для билинейности требуется, чтобы f(αx,y) = αf(x,y), тогда нужно отождествить α(x,y) и (αx,y). Отождествление в алгебре делается с помощью факторизации. Определим подмодуль M: N - модуль порождённый элементами, имеющими один из следующих четырёх видов:
α(x,y) - (αx, y), β(x,y) - (x, βy), (x₁+x₂,y) - (x₁,y) - (x₂,y), (x,y₁+y₂) - (x,y₁) - (x,y₂).
Определено каноническое отображение j: M → M/N, сопоставляющее каждому элементу M его класс эквивалентности в M/N. Интересующее нас билинейное отображение это f = jf̂.
Часто тензорным произведением называют не f, а M/N, так как f получается композицией двух довольно тривиальных отображений. M/N обозначают X⊗Y. Элемент f(x,y) обозначают x⊗y.
Теперь, собственно вопрос, являются ли ВП с произведением ⊗ СМК. По приведённой выше конструкции видно, что нет, потому что результат операции ⊗ начинается с декартова произведения. И так же как в случае множеств даже после натягивания свободной конструкции и факторизации там не будет одинаковых множеств, а значит - и одинаковых ВП. Так, в случае X⊗(Y⊗Z) элементом множества будет класс эквивалентности (то есть просто множество) конечных формальных сумм, слагаемыми которых являются пары: элемент x и элемент Y⊗Z, а в случае (X⊗Y)⊗Z - пары: элемент (X⊗Y) и элемент Z. Очевидно, такие множества не равны.
Понятие (нестрогой) моноидальной категории очень похоже на СМК: также требуется существование ⊗ и 1, но условия на них теперь содержат не равенства, а естественные изоморфизмы соответствующих агрегатов. Однако необходимо добавить дополнительное условие согласования (или, как пишет Маклейн, когерентности) «повторных произведений» (выражений вида (X₁⊗(X₂⊗(X₃⊗X₄))), где скобки можно расставлять по-разному). Это условие мы рассмотреть не успели.
Векторные пространства с тензорным произведением ⊗ уже является моноидальной категорией.
Семинар делает летний перерыв. Время возобновления точно пока не определено.