олимпиадное
Поиграли сегодня в олимпиаду "Ломоносов" 2014/2015 по математике для 5-7 класса. Кому интересны задания, прошу под кат.
Задание для разминки: Найдите наименьшее трехзначное число, сумма цифр которого равна 21.
Задания отборочного тура:
1. У отца есть три сына, родившихся в один и тот же день, но в разные годы. Младшему из сыновей 2 года. Через 12 лет возраст отца станет равен сумме возрастов его трех сыновей. Определите нынешний возраст среднего и старшего сыновей, если известно, что отцу сейчас 33 года.
2. Стопку листов формата А4 перегнули посередине и сложили в два раза (получилась брошюра формата А5). После этого перенумеровали страницы получившейся брошюры: 1, 2, 3, ... Оказалось, что сумма чисел на одном из листов равна 74. Сколько листов было в стопке?
3. На рисунке изображена сетка, состоящая из 25 маленьких правильных треугольников.
Сколько ромбов, можно составить из двух соседних маленьких треугольников? Пунктуация сохранена (прим. моё)
4. Сказка про жадных медвежат. Два медвежонка нашли большую круглую головку сыра. Хотели поделить её поровну, но не сумели - каждый боялся, что другому достанется больше. Вдруг откуда ни возьмись подошла к ним лиса.
- Давайте я вам поделю сыр поровну.
- Вот хорошо-то! - обрадовались медвежата. - Дели!
Лиса взяла сыр и разломила его на две части, но так, что один кусок был больше другого. Медвежата закричали:
- Этот больше!
Лиса успокоила их:
- Сейчас я всё улажу. Она откусила от большей части кусок, равный меньшей части. Теперь большим стал другой кусок.
- И так неровно! - забеспокоились медвежата.
- Ну, полно, - сказала лиса. - Я сама знаю своё дело! И она снова откусила от большей кусок, равный меньшей части.
Лиса продолжала так делить сыр, пока не наелась. Всего она откусила по 3 раза от каждой части таким же образом - откусывая от одной части кусок, равный другой части. А медвежата только чёрными носами водили туда-сюда, туда-сюда: от большего куска - к меньшему, от меньшего - к большему. Но вот куски сравнялись, а медвежатам почти и сыра не осталось: два маленьких кусочка по 20 граммов каждый.
- Ну что ж, - сказала лиса, - хоть и помалу, да зато поровну! Приятного вам аппетита, медвежата! - И, помахав хвостом, плутовка убежала.
Определите вес головки сыра, найденной медвежатами. Орфография сохранена (прим. моё)
5. В таблице 3x3 написаны следующие числа:
10 20 40
32 61 91
100 1000 2000
Разрешается за один ход менять местами любые два числа. За какое наименьшее количество ходов можно добиться того, чтобы сумма чисел в каждом столбце делилась на 3?
6. Найдите количество чисел от 1 до 3400, кратных 34 и имеющих ровно 2 нечетных натуральных делителя. Например, само число 34 имеет делители 1, 2, 17 и 34, ровно два из которых нечетные.
7. Известно, что дробь a/b меньше дроби c/d и b > d > 0. Определите, что меньше: среднее арифметическое этих двух дробей или дробь (a+c)/(b+d).
В задаче 7 прошу помощи зала - решил брутфорс-методом, что есть подстановкой чисел, удовлетворяющих условию. Также неясна задача 3 - ИМХО, ответ: 1. Остальные решения очевидны.
Задание для разминки: Найдите наименьшее трехзначное число, сумма цифр которого равна 21.
Задания отборочного тура:
1. У отца есть три сына, родившихся в один и тот же день, но в разные годы. Младшему из сыновей 2 года. Через 12 лет возраст отца станет равен сумме возрастов его трех сыновей. Определите нынешний возраст среднего и старшего сыновей, если известно, что отцу сейчас 33 года.
2. Стопку листов формата А4 перегнули посередине и сложили в два раза (получилась брошюра формата А5). После этого перенумеровали страницы получившейся брошюры: 1, 2, 3, ... Оказалось, что сумма чисел на одном из листов равна 74. Сколько листов было в стопке?
3. На рисунке изображена сетка, состоящая из 25 маленьких правильных треугольников.
Сколько ромбов, можно составить из двух соседних маленьких треугольников? Пунктуация сохранена (прим. моё)
4. Сказка про жадных медвежат. Два медвежонка нашли большую круглую головку сыра. Хотели поделить её поровну, но не сумели - каждый боялся, что другому достанется больше. Вдруг откуда ни возьмись подошла к ним лиса.
- Давайте я вам поделю сыр поровну.
- Вот хорошо-то! - обрадовались медвежата. - Дели!
Лиса взяла сыр и разломила его на две части, но так, что один кусок был больше другого. Медвежата закричали:
- Этот больше!
Лиса успокоила их:
- Сейчас я всё улажу. Она откусила от большей части кусок, равный меньшей части. Теперь большим стал другой кусок.
- И так неровно! - забеспокоились медвежата.
- Ну, полно, - сказала лиса. - Я сама знаю своё дело! И она снова откусила от большей кусок, равный меньшей части.
Лиса продолжала так делить сыр, пока не наелась. Всего она откусила по 3 раза от каждой части таким же образом - откусывая от одной части кусок, равный другой части. А медвежата только чёрными носами водили туда-сюда, туда-сюда: от большего куска - к меньшему, от меньшего - к большему. Но вот куски сравнялись, а медвежатам почти и сыра не осталось: два маленьких кусочка по 20 граммов каждый.
- Ну что ж, - сказала лиса, - хоть и помалу, да зато поровну! Приятного вам аппетита, медвежата! - И, помахав хвостом, плутовка убежала.
Определите вес головки сыра, найденной медвежатами. Орфография сохранена (прим. моё)
5. В таблице 3x3 написаны следующие числа:
10 20 40
32 61 91
100 1000 2000
Разрешается за один ход менять местами любые два числа. За какое наименьшее количество ходов можно добиться того, чтобы сумма чисел в каждом столбце делилась на 3?
6. Найдите количество чисел от 1 до 3400, кратных 34 и имеющих ровно 2 нечетных натуральных делителя. Например, само число 34 имеет делители 1, 2, 17 и 34, ровно два из которых нечетные.
7. Известно, что дробь a/b меньше дроби c/d и b > d > 0. Определите, что меньше: среднее арифметическое этих двух дробей или дробь (a+c)/(b+d).
В задаче 7 прошу помощи зала - решил брутфорс-методом, что есть подстановкой чисел, удовлетворяющих условию. Также неясна задача 3 - ИМХО, ответ: 1. Остальные решения очевидны.