закон природы

[rus4]

А вот еще какое наблюдение принадлежит моему другу Душану.

Пусть ABCDEFG правильный семиугольник, диагонали AD и CG пересекаются в точке H.

Точки E и F отмечены. Постройте точку H циркулем и линейкой.

Под катом два решения.


Треугольник HEF равнобедренный с отношением сторон, равным квадратному корню из двух.

Первое решение (Арсений Акопян).

Обозначим угол
.

Заметим, что
и
~--- равнобокие трапеции, так что
~--- параллелограмм, а следовательно и ромб.
Таким образом,
.

Пусть лучи
,
пересекаются в точке
.

Считая вписанные углы в семиугольнике получаем, что
,
, так что треугольник
равнобедренный,
.

Далее, треугольники
,
равны по двум сторонам и углу
между ними, так что
и


,

так что можно построить правильный семиугольник
.

Пусть отрезки
,
пересекаются в точке
.

Тогда


(это равенство аналогично
, но в новом семиугольнике),


из симметрии,


.

Значит, треугольники
,
равны по двум сторонам и углу между ними, так что
и
.

Таким образом,
есть середина
и
.

Отношения
и
оказываются соответственными отношениями в двух наших правильных семиугольниках, так что они равны, что и требовалось доказать.

Второе решение (Душан Джукич, авторское).

Как и в первом решении, начнем с наблюдения, что
~--- параллелограмм, пусть
~--- общая середина его диагоналей,
~--- середина
.

Тогда
по теореме о средней линии треугольника
.

Нам понадобится такой общий факт:

если
,
,
,
любые 4 точки плоскости,


~--- середины соответствующих отрезков
, то



Установить его можно, например, рассмотрев параллелограммы Вариньона
для перестановок


,

написав для них равенства параллелограмма и вычтя из суммы двух третье.

Или применяя декартовы координаты.

Рассматривая четырехугольник
мы видим, что
,
, так что
, что и требовалось.