закон природы

[rus4]

А вот еще какое наблюдение принадлежит моему другу Душану.

Пусть ABCDEFG правильный семиугольник, диагонали AD и CG пересекаются в точке H.

Точки E и F отмечены. Постройте точку H циркулем и линейкой.

Под катом два решения.

Comments

[platonicus]

А зачем циркуль? Почему просто не провести диагонали?

[platonicus]

А, дошло. То есть у нас нет самого семиугольника.

[rus4]

да, всё стёрли, кроме точек E и F. Ни одну другую вершину циркулем и линейкой не восстановить, а точку H можно.

[allocco]

А вот меня всегда интересовало - задачи про построение циркулем и линейкой имеют какую-нибудь учёную интерпретацию?

[akopyan]

Скажи Душану, чтобы он нам в журнал статьёй прислал!

[rus4]

Напишите вместе. В процессе установите аналогичные равенства для других правильных многоугольников и докажите все геометрически. Лучше всего было бы просто посчитать геометрически гауссову сумму заодно со знаком.

[trushkov]

А ты сам не хочешь написать какой-нибудь понятный текст про это дело?

[rus4]

Мало ли чего я хочу, задача Душана, у Сени прекрасное геометрическое решение, а я просто рядом проходил.

[udod]

Красиво как

[gaz_v_pol]

Вроде бы HF/EF = sqrt(2), да ?

А ещё AH = EF, забавно.

[rus4]

Да, а как ты доказываешь?

Что AH равно стороне как раз не очень удивительно, там просто углы считаются прямо на картинке.

[gaz_v_pol]

Докажем, что 2·EF² = FH². Пусть X - основание перпендикуляра из F на AD.

2·EF² = 2·EF² - ( AB·CD + AD·BC - AC·BD )         теорема Птолемея для ABCD
          = 2·AH² - ( AH² + 2·AX·AH - AF² )                пишем AН вместо всех сторон семиугольника, 2·AX вместо AD, AF вместо AC и BD
          = ( AH² - 2·AX·AH + AX² ) + ( AF² - AX² )     добавили и вычли AX²
          = ( AX - AH )² + FX² = XH² + FX² = FH²        по т. Пифагора для AFX и HFX.

[rus4]

спасибо, тоже неплохо