Я тут после работы вдохновленный "Эстетической геометрией" немножко думал, прогуливаясь по парку, про круги с бесконечным радиусом. И поскольку все дилетанты обожают мучать профессионалов своими бредовыми теориями, то решил и я последовать их примеру и вывалить результат Вам на голову.
Геометрия окружности с бесконечно удаленным центром.
Рассмотрим окружность a конечного радиуса R. По законам инверсии, каждая точка пространства снаружи a имеет взаимнооднозначное соответствие внутри нее. Бесконечно удаленная точка отображается в центре окружности aОБратим внимание, что только в центре окружности мы имеем бесконечное множество отображений бесконечно удаленных точек. В то время как все остальные точки внутри окружности имеют одно единственное отображение вне ее. Это заставляет нас поставить вопрос: а не является ли бесконечное множество бесконечно удаленных от окружности точек плоскости одной единственной бесконечно удаленной точкой
( ... )
Но что нам мешает рассмотреть ее в 4 измерениях? и тогда и в 4 измерениях получится единственный центр. Собственно, опять же методом индукции мы можем получить бесконечное число центров на бесконечном числе измерений.
Я не вижу смысла рассматривать новые размерности. Перечитал Ваш текст и вижу, что Вы верно поняли многие моменты про бесконечно удаленную точку. Добавлю, что прямая - окружность, с бесконечноудаленным центром, который ЛЕЖИТ на этой самой прямой. Все прямые пересекаются в бесконечноудаленной точке. Если мы рассмотрим окружности. пересекающиеся в одной точке, а потом осуществим инверсию с центром в этой точке, то окружности перейдут в прямые, а сама точка - в бесконечноудаленную. Один из "трюков" геометрии окружности: сначала мы вводим "бесконечноудаленную" точку, а потом говорим, что любую точку можно рассматривать как бесконечноудаленную. Мы ведь бесконечно далеки от бесконечноудаленной точки, следовательно с ее точки зрения - мы и есть бесконечноудаленная точка. Примерно так. Я в учебнике уделяю этой точке мало внимания, т.к. она важна лишь для выделения прямых (окружностей. проходящих через нее), а изучаю эстетическую геометрию надо научиться мыслить без прямых.
Сразу возникает вопрос: точка А' единственная на окружности, бесконечно удаленная от А?
Предположим, что это так. В таком случае для точки B, находящейся рядом с точкой А точка A' уже не будет удалена на бесконечное расстояние. Поскольку единственная бесконечно удаленная точка для B - это ее антипод B'. А поскольку точка B не удалена на бесконечное расстояние от точки А, то переместившись из точки А в точку B на конечное расстояние ,мы окажемся в положении, в котором точка A' не удалена на бесконечно большое расстояние. Соответственно, мы приходим к двум взаимоисключающим тезисам о том, что точка A' одновременно удалена от точки А на бесконечное расстояние и одновременно удалена от нее на конечное расстояние. Следовательно, исходное предположение неверно.
Разрешить указанное противоречие можно двумя способами: Или для точки B точка A' является столь же бесконечно удаленной, или точка B бесконечно удалена от точки А. Второе предположение противоречит на первый взгляд тому, что мы взяли точку B близко к точке А, следовательно
( ... )
Есть всего одна бесконечноудаленная точка. Что значит - "точка бесконечно удалена"? Среди прочего - что из других точек мы не сможем достичь ее никаким движением. Или - при всех движениях она остается на месте. Все движения основаны на симметриях. следовательно она должна оставаться неподвижной при всех симметриях, "лежать на всех прямых". поэтому все прямые проходят через нее.
Рассмотрим поподробнее изменения, происшедшие с окружностью, ставшей конечной. Очевидно, что у старой окружности с бесконечным радиусом и у новой будет всего одна общая точка А. При этом при изменении окружности эта общая точка не испытает перемещения. Ее антипод точка A' испытала бесконечно большое перемещение. Ранее мы доказали, что все остальные точки окружности, кроме А также при изменении радиуса с бесконечного на конечный испытали бесконечно большое перемещение. Таким образом, операция изменения кривизны окружности является бесконечной операцией, причем ее бесконечность отличается от бесконечности самого радиуса. Очевидно, что изменяя по разному кривизну прямой, мы получаем разные бесконечные операции. То есть величина опперанда зависит от величины окружности. Назовем этот операнд "квантором бесконечности" Qu. Таким образом , окружность радиуса R получается из прямой воздействием на нее квантора бесконечности Qu(R). "Внутренняя окружность" g = бесконечность - Qu(g) , внешняя окружности G = - бесконечность + Qu(g)Из
( ... )
Кстати, из всего вышеизложенного, следует, что кривизна окружности это инвертированное расстояние. При движении на бесконечное расстояние мы должны будем сделать качественный скачок на бесконечно большое расстояние , а при изменении кривизны прямой - точно такой же качественный скачок на бесконечно малую величину. Отсюда вывод - что бесконечно малая величина столь же непреодолима в конечных числах, что и бесконечно большая.
Сегодня пришел к любопытному выводу. Если рассмотреть инверсию одной концентрической окружности (скажем , А) на другой , внутренней по отношению к ней ( Б) , то она инвертируется в концентрическую окружностям А и Б окружность В. Если мы будем увеличивать радиус окружности А, то придем к необходимому выводу, что бесконечно удаленная точка на самом деле является бесконечно большой окружностью. (можно конечно и без инверсии рассмотреть, но по поведению окружности В все очевиднее).
Ваш вывод неверен. Но верно Ваше наблюдение: семейство концентрических окружностей замкнуто относительно инверсии (образует группу). Т.е. инверсия одной конц. относительно другой конц. снова концетрическая. Попробую пояснить про "бесконечно большую окружность". Представьте себе пучок окружностей, касающихся данной (чертежи на этот случай есть в учебнике). Окружность сначала мала, потом увеличивается. превращается в бесконечно-большу (прямую), перегибается и снова стягивается в ту же точку. откуда и возникла. Теперь посмотрим на "мнимый пучок" и его центры. Он также есть в учебнике. Окружность раздувается из одного центра, становится прямой, перегибается и сжимается к другому центру. В случае концентрических окружностей один центр пучка - центр окружностей. Другой - Б.У.Т. Кстати. инверсией мы можем обычный "мнимый пучок" превратить в семейство концентрических окружностей.
Comments 11
Геометрия окружности с бесконечно удаленным центром.
Рассмотрим окружность a конечного радиуса R. По законам инверсии, каждая точка пространства снаружи a имеет взаимнооднозначное соответствие внутри нее. Бесконечно удаленная точка отображается в центре окружности aОБратим внимание, что только в центре окружности мы имеем бесконечное множество отображений бесконечно удаленных точек. В то время как все остальные точки внутри окружности имеют одно единственное отображение вне ее. Это заставляет нас поставить вопрос: а не является ли бесконечное множество бесконечно удаленных от окружности точек плоскости одной единственной бесконечно удаленной точкой ( ... )
Reply
Reply
Reply
Если мы рассмотрим окружности. пересекающиеся в одной точке, а потом осуществим инверсию с центром в этой точке, то окружности перейдут в прямые, а сама точка - в бесконечноудаленную.
Один из "трюков" геометрии окружности: сначала мы вводим "бесконечноудаленную" точку, а потом говорим, что любую точку можно рассматривать как бесконечноудаленную. Мы ведь бесконечно далеки от бесконечноудаленной точки, следовательно с ее точки зрения - мы и есть бесконечноудаленная точка. Примерно так.
Я в учебнике уделяю этой точке мало внимания, т.к. она важна лишь для выделения прямых (окружностей. проходящих через нее), а изучаю эстетическую геометрию надо научиться мыслить без прямых.
Reply
Сразу возникает вопрос: точка А' единственная на окружности, бесконечно удаленная от А?
Предположим, что это так. В таком случае для точки B, находящейся рядом с точкой А точка A' уже не будет удалена на бесконечное расстояние. Поскольку единственная бесконечно удаленная точка для B - это ее антипод B'. А поскольку точка B не удалена на бесконечное расстояние от точки А, то переместившись из точки А в точку B на конечное расстояние ,мы окажемся в положении, в котором точка A' не удалена на бесконечно большое расстояние. Соответственно, мы приходим к двум взаимоисключающим тезисам о том, что точка A' одновременно удалена от точки А на бесконечное расстояние и одновременно удалена от нее на конечное расстояние. Следовательно, исходное предположение неверно.
Разрешить указанное противоречие можно двумя способами: Или для точки B точка A' является столь же бесконечно удаленной, или точка B бесконечно удалена от точки А. Второе предположение противоречит на первый взгляд тому, что мы взяли точку B близко к точке А, следовательно ( ... )
Reply
Что значит - "точка бесконечно удалена"? Среди прочего - что из других точек мы не сможем достичь ее никаким движением. Или - при всех движениях она остается на месте.
Все движения основаны на симметриях. следовательно она должна оставаться неподвижной при всех симметриях,
"лежать на всех прямых". поэтому все прямые проходят через нее.
Reply
"Внутренняя окружность" g = бесконечность - Qu(g) ,
внешняя окружности G = - бесконечность + Qu(g)Из ( ... )
Reply
Reply
Reply
Reply
Но верно Ваше наблюдение: семейство концентрических окружностей замкнуто относительно инверсии (образует группу). Т.е. инверсия одной конц. относительно другой конц. снова концетрическая.
Попробую пояснить про "бесконечно большую окружность". Представьте себе пучок окружностей, касающихся данной (чертежи на этот случай есть в учебнике). Окружность сначала мала, потом увеличивается. превращается в бесконечно-большу (прямую), перегибается и снова стягивается в ту же точку. откуда и возникла.
Теперь посмотрим на "мнимый пучок" и его центры. Он также есть в учебнике. Окружность раздувается из одного центра, становится прямой, перегибается и сжимается к другому центру.
В случае концентрических окружностей один центр пучка - центр окружностей. Другой - Б.У.Т. Кстати. инверсией мы можем обычный "мнимый пучок" превратить в семейство концентрических окружностей.
Reply
Leave a comment