Сразу возникает вопрос: точка А' единственная на окружности, бесконечно удаленная от А?
Предположим, что это так. В таком случае для точки B, находящейся рядом с точкой А точка A' уже не будет удалена на бесконечное расстояние. Поскольку единственная бесконечно удаленная точка для B - это ее антипод B'. А поскольку точка B не удалена на бесконечное расстояние от точки А, то переместившись из точки А в точку B на конечное расстояние ,мы окажемся в положении, в котором точка A' не удалена на бесконечно большое расстояние. Соответственно, мы приходим к двум взаимоисключающим тезисам о том, что точка A' одновременно удалена от точки А на бесконечное расстояние и одновременно удалена от нее на конечное расстояние. Следовательно, исходное предположение неверно.
Разрешить указанное противоречие можно двумя способами: Или для точки B точка A' является столь же бесконечно удаленной, или точка B бесконечно удалена от точки А. Второе предположение противоречит на первый взгляд тому, что мы взяли точку B близко к точке А, следовательно расстояние АВ конечно. Рассмотрим первый способ.
предположим, что для точки B точка A' отличающаяся от точки-антипода B' также бесконечно удалена. В таком случае , мы задаем тот же самый вопрос, что и в исходном случае. Мы берем точку С и выясняем , бесконечно ли удалены от нее точки A' и B'? Следуя точно таким же рассуждениям, что и для точки B, мы приходим к аналогичному выводу. Точки A' и B' бесконечно удалены от точек A,B и С. очевидно, что, воспользовавшись математической индукцией, мы приходим к выводу, что все точки окружности бесконечно большого радиуса бесконечно далеки от любой другой точки , взятой на этой же окружности. ТО есть мы приходим к варианту 2: любая точка B не совпадающая с А бесконечно далека от нее.
Это противоречит тезису о том, что мы взяли точку B достаточно близко к точке А. Противоречие разрешается тем, что этот тезис был неверен. Что мы не можем взять на окружности бесконечного радиуса точку B, не совпадающую с точкой А, которая не была бы бесконечно удалена от нее. Однако из определения прямой ,как бесконечного отрезка, мы одновременно можем взять любую точку на прямой как угодно близкую к другой точке, Таким образом, мы приходим к выводу, что любая точка , взятая на прямой, является одной и той же точкой А. Или - если конечная окружность состоит из точек, равноудаленных от центра , то окружность бесконечного радиуса состоит из "перерожденных" точек - прямых, каждая точка которых является одной и той же точкой
Рассмотрим прямую в качестве общей линии двух бесконечных окружностей. Увеличивая кривизну с 0 до любого конечного значения мы получим одну окружность, ставшую конечной, а вторую - с отрицательной кривизной ( т. е. радиусом "большим, чем бесконечность).
Увеличивая кривизну до бесконечности мы получим точку или окружность с бесконечно малым радиусом.
Есть всего одна бесконечноудаленная точка. Что значит - "точка бесконечно удалена"? Среди прочего - что из других точек мы не сможем достичь ее никаким движением. Или - при всех движениях она остается на месте. Все движения основаны на симметриях. следовательно она должна оставаться неподвижной при всех симметриях, "лежать на всех прямых". поэтому все прямые проходят через нее.
Сразу возникает вопрос: точка А' единственная на окружности, бесконечно удаленная от А?
Предположим, что это так. В таком случае для точки B, находящейся рядом с точкой А точка A' уже не будет удалена на бесконечное расстояние. Поскольку единственная бесконечно удаленная точка для B - это ее антипод B'. А поскольку точка B не удалена на бесконечное расстояние от точки А, то переместившись из точки А в точку B на конечное расстояние ,мы окажемся в положении, в котором точка A' не удалена на бесконечно большое расстояние. Соответственно, мы приходим к двум взаимоисключающим тезисам о том, что точка A' одновременно удалена от точки А на бесконечное расстояние и одновременно удалена от нее на конечное расстояние. Следовательно, исходное предположение неверно.
Разрешить указанное противоречие можно двумя способами: Или для точки B точка A' является столь же бесконечно удаленной, или точка B бесконечно удалена от точки А. Второе предположение противоречит на первый взгляд тому, что мы взяли точку B близко к точке А, следовательно расстояние АВ конечно. Рассмотрим первый способ.
предположим, что для точки B точка A' отличающаяся от точки-антипода B' также бесконечно удалена. В таком случае , мы задаем тот же самый вопрос, что и в исходном случае. Мы берем точку С и выясняем , бесконечно ли удалены от нее точки A' и B'? Следуя точно таким же рассуждениям, что и для точки B, мы приходим к аналогичному выводу. Точки A' и B' бесконечно удалены от точек A,B и С.
очевидно, что, воспользовавшись математической индукцией, мы приходим к выводу, что все точки окружности бесконечно большого радиуса бесконечно далеки от любой другой точки , взятой на этой же окружности. ТО есть мы приходим к варианту 2: любая точка B не совпадающая с А бесконечно далека от нее.
Это противоречит тезису о том, что мы взяли точку B достаточно близко к точке А. Противоречие разрешается тем, что этот тезис был неверен. Что мы не можем взять на окружности бесконечного радиуса точку B, не совпадающую с точкой А, которая не была бы бесконечно удалена от нее. Однако из определения прямой ,как бесконечного отрезка, мы одновременно можем взять любую точку на прямой как угодно близкую к другой точке, Таким образом, мы приходим к выводу, что любая точка , взятая на прямой, является одной и той же точкой А. Или - если конечная окружность состоит из точек, равноудаленных от центра , то окружность бесконечного радиуса состоит из "перерожденных" точек - прямых, каждая точка которых является одной и той же точкой
Рассмотрим прямую в качестве общей линии двух бесконечных окружностей. Увеличивая кривизну с 0 до любого конечного значения мы получим одну окружность, ставшую конечной, а вторую - с отрицательной кривизной ( т. е. радиусом "большим, чем бесконечность).
Увеличивая кривизну до бесконечности мы получим точку или окружность с бесконечно малым радиусом.
Reply
Что значит - "точка бесконечно удалена"? Среди прочего - что из других точек мы не сможем достичь ее никаким движением. Или - при всех движениях она остается на месте.
Все движения основаны на симметриях. следовательно она должна оставаться неподвижной при всех симметриях,
"лежать на всех прямых". поэтому все прямые проходят через нее.
Reply
Leave a comment