Вы написали многое. пока замечу: бесконечно удаленная точка - одна. В нее, как Вы правильно пишете отображается центр окружности, сферы.
Мы осмыслить ее двояко. На плоскости: куда перейдет центр окружности при симметрии относительно окружности? Логично считать. что центр перейдет в точку, как и он сам (центр) равноудаленную от точек окружности. Но такая точка только одна - сам центр? Как быть? Как подобрать ему пару? а вот бесконечноудаленная точка равноудалена от всех точек окружности! они ведь все от нее на бесконечном расстоянии. Как и любые точки плоскости.
Объемно. На сфере можно ввести инверсию без всяких бесконечно-удаленных точек. например. с помощью А-отображений (посмотрите учебник, начало). А есть отображение сферы на плоскость, стереографическая проекция. Сфера лежит на плоскости, наш глаз в верхней точке сферы. Каждая точка сферы переходит в какую-то точку плоскости, кроме... самого глаза, верхней точки сферы. Так вот, мы дополняем нашу плоскость такой точкой, куда "глаз" переходит, назвав новую, дополненную точку - бесконечно удаленной точкой.
Но что нам мешает рассмотреть ее в 4 измерениях? и тогда и в 4 измерениях получится единственный центр. Собственно, опять же методом индукции мы можем получить бесконечное число центров на бесконечном числе измерений.
Я не вижу смысла рассматривать новые размерности. Перечитал Ваш текст и вижу, что Вы верно поняли многие моменты про бесконечно удаленную точку. Добавлю, что прямая - окружность, с бесконечноудаленным центром, который ЛЕЖИТ на этой самой прямой. Все прямые пересекаются в бесконечноудаленной точке. Если мы рассмотрим окружности. пересекающиеся в одной точке, а потом осуществим инверсию с центром в этой точке, то окружности перейдут в прямые, а сама точка - в бесконечноудаленную. Один из "трюков" геометрии окружности: сначала мы вводим "бесконечноудаленную" точку, а потом говорим, что любую точку можно рассматривать как бесконечноудаленную. Мы ведь бесконечно далеки от бесконечноудаленной точки, следовательно с ее точки зрения - мы и есть бесконечноудаленная точка. Примерно так. Я в учебнике уделяю этой точке мало внимания, т.к. она важна лишь для выделения прямых (окружностей. проходящих через нее), а изучаю эстетическую геометрию надо научиться мыслить без прямых.
Мы осмыслить ее двояко. На плоскости: куда перейдет центр окружности при симметрии относительно окружности?
Логично считать. что центр перейдет в точку, как и он сам (центр) равноудаленную от точек окружности. Но такая точка только одна - сам центр? Как быть? Как подобрать ему пару?
а вот бесконечноудаленная точка равноудалена от всех точек окружности! они ведь
все от нее на бесконечном расстоянии. Как и любые точки плоскости.
Объемно. На сфере можно ввести инверсию без всяких бесконечно-удаленных точек. например. с помощью А-отображений (посмотрите учебник, начало).
А есть отображение сферы на плоскость, стереографическая проекция. Сфера лежит на плоскости, наш глаз в верхней точке сферы. Каждая точка сферы переходит в какую-то точку плоскости, кроме... самого глаза, верхней точки сферы. Так вот, мы дополняем нашу плоскость такой точкой, куда "глаз" переходит, назвав новую, дополненную точку - бесконечно удаленной точкой.
Reply
Reply
Если мы рассмотрим окружности. пересекающиеся в одной точке, а потом осуществим инверсию с центром в этой точке, то окружности перейдут в прямые, а сама точка - в бесконечноудаленную.
Один из "трюков" геометрии окружности: сначала мы вводим "бесконечноудаленную" точку, а потом говорим, что любую точку можно рассматривать как бесконечноудаленную. Мы ведь бесконечно далеки от бесконечноудаленной точки, следовательно с ее точки зрения - мы и есть бесконечноудаленная точка. Примерно так.
Я в учебнике уделяю этой точке мало внимания, т.к. она важна лишь для выделения прямых (окружностей. проходящих через нее), а изучаю эстетическую геометрию надо научиться мыслить без прямых.
Reply
Leave a comment